上海市七宝中学高一数学上学期期末模拟试题(A卷)沪教版

上海市七宝中学高一数学上学期期末模拟试题（A 卷）沪教版
高一数学模拟试题
一、填空题（每小题3分，共36分）
1．函数写出命题“若00x y >>且，则2
2
0x y +>”的否命题 2．已知集合{}1,A x =，{}21,B x =且A B =，则x = 0 ．
3．若集合{
}2
M x x =<，{}lg(1)N x y x ==-，则M
N =)2,1(.
4．已知实数,a b 满足2
2
2a b +=，则ab 的最大值为 1 . 5．函数3
1()lg 1x
f x x x
-=++的奇偶性为 奇函数 .
6．函数()2
234x x x f --⎪⎭
⎫
⎝⎛=π的单调递增区间是.
7．若函数f (x )是定义在R 上的偶函数，在]0,(-∞上是减函数，且f (2)=0，则使得f (x )<0 的x 的取值范围是)2,2(-.
8．已知关于x 的方程265x x a -+=有四个不相等的实数根，则a 的取值范围是)4,0(.
9．函数1
3
3,0()31,0x x x f x x ⎧⎪+≤=⎨⎪+>⎩，若()2f a >，则实数a 的取值范围是
]),0(0,1(+∞⋃-.
10．若函数2
x b
y x -=
+在(,4)(2)a b b +<-上的值域为(2,)+∞，则b a +=6-. 11．定义全集U 的子集A 的特征函数为1,()0,A U x A
f x x A
∈⎧=⎨∈⎩，这里U A 表示A 在全集U 中
的补集，那么对于集合U B A ⊆、，下列所有正确说法的序号是 （1）（2）（3） .
（1）)()(x f x f B A B A ≤⇒⊆ （2）()1()U A A
f x f x =-
（3）()()()A
B
A B f x f x f x =⋅ （4）()()()A B A B f x f x f x =+
12．对任意的120x x <<，若函数1
()f x a x x =-的大致图像为如图所示的一条折线（两侧的 射线均平行于x 轴），试写出a 、b 应满足的 条件是0,0=+>-b a b a . 二、选择题（每小题3分，共12分）
13．条件甲：2
3log 2x =是条件乙：3log 1x =成立的（ B ）
A ．充分非必要条件
B ．必要非充分条件
C ．充要条件
D ．既非充分也非必要条件
14．若函数)1,0()1()(≠>--=-a a a a k x f x
x
在R 上既是奇函数，又是减函数，则
)(log )(k x x g a +=的图像是（ A ）
15．已知0x 是函数1
()21x
f x x
=+
-的一个零点.若()()10201,,,x x x x ∈∈+∞，则(B ) A ．()()120,0f x f x <<B ．()()120,0f x f x <>
C ．()()120,0f x f x ><
D ．()()120,0f x f x >> 16．设)(x f 是定义在R 上的函数．
①若存在R x x ∈21,，21x x <，使)()(21x f x f <成立，则函数)(x f 在R 上单调递增； ②若存在R x x ∈21,，21x x <，使)()(21x f x f ≤成立，则函数)(x f 在R 上不可能单调递减； ③若存在02>x 对于任意R x ∈1都有)()(211x x f x f +<成立，则函数)(x f 在R 上递增； ④对任意R x x ∈21,，21x x <，都有)()(21x f x f ≥成立，则函数)(x f 在R 上单调递减． 则以上真命题的个数为（ B ） A.0 B.1 C.2 D.3 三、解答题（10+10+10+10+12=52分）
17．设全集U R =，集合1
{|||1},{|
2}2
x A x x a B x x +=-<=≤-． （1）求集合B ； （2）若U A B ⊆，求实数a 的取值范围．
[1
2025022
(,2)5,)
2x x x x B +-≤--∴≥-=-∞⋃+∞分分[)
{
1215
2,52||1(1,1)2342U U a a B
x a A a a A B
a -≥+≤=-<∴=-+⊆
∴
≤≤分
分
分
18．已知不等式2
30x x m -+<的解集为{}
1,x x n n R <<∈，函数()2
4f x x ax =-++.
（1）求,m n 的值；
（2）若()y f x =在(,1]-∞上递增，解关于x 的不等式()
2
log 320a nx x m -++-<.
解：(1) 由条件得：131n n m +=⎧⎨
⋅=⎩， 所以2
2
m n =⎧⎨
=⎩4分
(2)因为()24f x x ax =-++在(),1-∞在(),1-∞上递增， 所以
12
a
≥，2a ≥. 2分
()()22log 32log 230a a nx x m x x -++-=-+<.
所以2
2
23022310
x x x x ⎧-<⎪⎨-+>⎪⎩分， 所以⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
<><<211230x x x 或.
所以102x <<
或3
12
x <<. 2分 19．设幂函数()(1)(,)k
f x a x a R k Q =-∈∈
的图像过点2). （1）求,a k 的值；
（2
）若函数()()21h x f x b =-+-在[0,1]上的最大值为2，求实数b 的值．
(1)112
2(2)222k a a k -=∴==∴=分分
（2）2
()f x x =
22
2
()21()()1
[0,1]h x x bx b h x x b b b x =-++-=--+-+∈max 1)1,
(1)2
2
b h h b ≥===分
2max 2)01,
()122b h h b b b b <<==-+=∴=
舍）分
max 3)0,(0)1212b h h b b ≤==-=∴=-分
综上：21
2b b ∴==-或分
20．有时可用函数0.115ln ,(6)() 4.4,(6)4a x a x f x x x x ⎧
+≤⎪⎪-=⎨-⎪>⎪-⎩
描述某人学习某学科知识的掌握程度，其中x 表示某学科知识的学习次数（*
x N ∈），()f x 表示对该学科知识的掌握程度，正实
数a 与学科知识有关．
（1）证明：当7x ≥时，掌握程度的增加量(1)()f x f x +-总是单调递减的；
（2）根据经验，学科甲、乙、丙对应的a 的取值区间分别为(115,121]、(121,127]、
(127,133]
．当学习
某学科知识6次时，掌握程度是85%，请确定相应的学科．
0.050.0.42(3)(4)
(3)(4)(3)(4)0.320.115ln 0.85,2,
66x x x x x x a a
e a a ≥--≥---->∴≥+==--（1）当x 7时，f(x+1)-f(x)=
分
而当7时，函数y=单调递增，且 故f(x+1)-f(x)单调递减.
当7，掌握程度的增长量f(x+1)-f(x)总是单调递减.分
（）由题意可知分 整理得05
21．对于函数12(),(),()f x f x h x ，如果存在实数,a b 使得12()()()h x a f x b f x =⋅+⋅，那么称()h x 为12(),()f x f x 的生成函数.
（1）下面给出两组函数，()h x 是否分别为12(),()f x f x 的生成函数？并说明理由； 第一组：12()lg
,()lg10,()lg 10
x
f x f x x h x x ===； 第二组：1)(,1)(,)(22221+-=++=-=x x x h x x x f x x x f ；
（2）设12212
()log ,()log ,2,1f x x f x x a b ====，生成函数()h x .若不等式
2
3()2()0h x h x t ++<在[2,4]x ∈上有解，求实数t 的取值范围；
（3）设121
()(0),()(0)f x x x f x x x
=>=>，取0,0a b >>，生成函数()h x 图像的
最低点坐标为(2,8).若对于任意正实数21,x x 且121x x +=.试问是否存在最大的常数m ，使m x h x h ≥)()(21恒成立？如果存在，求出这个m 的值；如果不存在，请说明理由.
解：（1）①lg lg10lg 10
x
a b x x
+={
10
11,22
a b a b a b +=-=∴==
所以()h x 是12(),()f x f x 的生成函数
2分
② 设2
2
2
()(1)1a x x b x x x x ++++=-+，即2
2
()()1a b x a b x b x x ++++=-+，
则⎪⎩
⎪
⎨⎧=-=+=+111
b b a b a ，该方程组无解.所以()h x 不是12(),()f x f x 的生成函数.2分
（2）122122
()2()()2log log log h x f x f x x x x =+=+=
若不等式2
3()2()0h x h x t ++<在[2,4]x ∈上有解，
23()2()0h x h x t ++<，
即22
223()2()3log 2log t h x h x x x
<--=--2分
设2log s x =，则[1,2]s ∈，22
223log 2log 32y x x s s =--=--，
max 5y =-，故，5t <-.
2分
（3）由题意，得()(0)b h x ax x x =+
>
，则()b
h x ax x
=+≥
2828
b a ⎧
+=⎪
⎨⎪=⎩
，解得28a b =⎧⎨
=⎩，所以8()2(0)h x x x x =+>1分
假设存在最大的常数m ，使m x h x h ≥)()(21恒成立.
于是设)(16644)4)(4(4)()(1
2212121221121x x x x x x x x x x x x x h x h u +++=++== =
22
21212121212121212121212
()2646480
416416432x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++-++⋅=++⋅=+-
2分
令12t x x =，则41)2(
22121=+≤=x x x x t ，即]4
1
,0(∈t 设80432u t t
=+-在]41
,0(∈t 上单调递减，
289)4
1
(=≥u u ，故存在最大的常数289
m =1分。