实数理论

• 注: 当x,y是有限小数时, 与有理数中的序一致 • 实数的序具有三歧性: x,yR, 则x<y, x=y,
x>y中有且仅有一种情形成立
• 证明: 任取x,yR,
– 若x=y, 由整数序的三歧性, 不会有x<y或x>y成立; – 若xy, 则nN:x(n)y(n), 有归纳法,可设n是满足
这一性质的最小自然数, 因而由实数序的定义和 整数序的三歧性可得有且仅有x<y或x>y中的一个 成立.
c(0)<b0, 由b0的定义, xR有x(0)=b0>c(0),则
x>c. 如果c(0)=b0, 由m>0, c(m)<9. 由b的定义,
xR,x(0)= b0,j=1,…,m, x(j)=9, 则x>c. 因此b
是A的上确界.
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实数的完备性(V)
• 6. 假设(2)成立, 则bR. 令b=b. 首先说明b是上 界. 用反证法, 若b不是A的上界,则xA, x>b, 这就存在k0, j<k, x(j)=b(j)= bj, x(k)>b(k)=bk, 这与bk的取法矛盾.
• 上确界:设AQ, A, bQ叫做A的上确界, 如 果(1) b是A的上界, (2) c<b, aA, a>c
• 上确界的惟一性 • 序的完备性: 任何有上界的集合都有上确界 • 有理数的不完备性: 存在有理数有上界而没有
上确界的非空子集: • 例如{aQ | a>0, a^2<2} (习题)
16
8
§2 定义实数遇到的困难
• 如何从有限小数过渡到无限小数 • 基本想法都是利用有理数序列逼近(极限),
这就有两个问题
– 引入序列和极限等相关的概念 – 即便如此, 也要先定义清楚作为极限的实数
• 虽然知道实数的众多性质, 如何写出一个 逻辑上正确、清晰和不难接受的实数理 论仍然有待努力
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§3 我们如何定义实数
– xA, x(0)b0, xA满足x(0)=b0;
– h=0,…, k-1, Ah={x(h+1)| xA, x>b0+0.b1…bh} – h=1,…, k-1, bh+1是Ah的上确界并且xA满足
x(n)=bn, n=0,…,h
• 若b0+0.b1…bk是A的上界,令b=b0+0.b1…bk.就得 到了上确界,否则考虑整数集
§5 实数定义
• 实数的十进小数定义 • 有理数的十进小数表示 • 实数的序
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实数的十进小数定义
• 实数的十进小数定义: 实数集合R定义为: {x:NZ|n>0,x(n){0,…,9};k>0,n>k, x(n)<9} • 为了回归中学的习惯, 引入下列术语:
– x(0)叫作实数x的整数部分, 记作[x]; – k>0, x(k)叫作x的第k位小数, 记作xk ; – x也写成: x=[x]+0.x1x2… – 记{x}= 0.x1x2…叫作x的小数部分 – n>0, sn(x)=[x]+0.x1x2…xn叫作x的n位小数(舍值)近
第二章 实数理论
郇中丹 2006-2007年度第一学期
1
为什么要讲实数理论
• 以往教材上关于实数处理的方式:
– 以Dedekind分割或Cauchy基本列方式定义 – 以公理化方式定义实数来回避直接定义实数
• 上述处理方式的缺陷:
– 分割和基本列的方式定义需要引入一系列的 工具，并且与中小学教材脱节
• 事实1: 确界的惟一性 • 事实2: 整数子集具有完备性，并且上确
界在所讨论的集合中
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实数的完备性(I)
• R的非空有上界的子集必有上确界. • 证明: 设AR非空且有上界. 取定A的一个上
界z. 下面归纳地构造A的上确界b. • 1. 考虑整数集合A0={x(0) | xA}, 则x(0)z(0).
– 设AR, A, 若bR使得aA, ab, 就称b 为A的一个下界, 并且说A是下有界的
– 设bR是AR的下界, 如果c>b, aA, a<c, 就称b为A的下确界
• 推论1. R的非空有下界的子集必有下确界. • 推论2. R的非空子集的上确界和下确界是
惟一的(即至多只有一个). • 上述两个推论的证明留作习题.
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常用记号和名词
• 集合A的上,下确界分别记为sup A和inf A, 有时 也分别叫作A的最小上界和最大下界
• 如果sup AA, 称sup A为A的最大数, 记sup A 为max A; 类似地, 当inf AA时, 称之为A的最 小数, 记为min A.
• 当集合A没有上界时, 记sup A=+ (或), 也说 A的上确界是正无穷;类似地, 若集合A无下界, 记inf A=-,说A的下确界是负无穷
Ak={x(k+1)|xA, x>b0 +0.b1…bk} 其有上界9, 设bk+1为Ak的上确界,则xA满足 xBiblioteka Baiduh)=bh, h=1,…, k+1. 由归纳法就得到
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实数的完备性(III)
• 3. 下列两种可能性之一必成立: (1) A有有限小 数上确界b=b0+0.b1…bn; (2) 得到b: NZ, b(0) =b0Z, k>0, b(k)=bk{0,…,9},有无限多个bk 0, 满足
• 序与加法和乘法的关系:
– a,b,cQ, a>b a+c>b+c – a,b,cQ且c>0, a>b ac>bc
• 记号: ab表示a<b或a=b; ab表示a>b或a=b • 有理数的稠密性: a,bQ, a<b, cQ: a<c<b
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有理数的不完备性
• 上界: 设AQ, A, 若bQ使得aA, ab, 就称b为A的一个上界, 并且说A是有上界的
• 自然数到有理数的逻辑扩展:
– 由自然数及其笛卡尔积建立整数使得加、减、 乘封闭;
– 由整数及其笛卡尔积建立有理数使得加、减、 乘和除封闭
• 自然数到有理数的直观扩展: 引入负数和 所有正整数份数
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有理数的运算性质
• 加法和乘法满足交换律: a+b=b+a, ab= ba与结合律:a+(b+c)=(a+b)+c, a(bc)= (ab)c
• 与中学实数定义衔接，用十进小数定义实数 系，然后建立相关的性质
• 建立实数的序 • 建立实数的完备性 • 利用有理数的运算和实数的完备性定义实数
的运算
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§4 有理数系的性质
• 自然数系及其运算 • 有理数系的建立 • 有理数的运算性质 • 有理数的序性质和稠密性质 • 有理数的不完备性
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自然数系及其运算
• 建立数系理论为了完善数学分析理论 • 建立数系理论是要保证数学的真实性,非欧几何
的出现,几何失去了其真实性;数学在哲学意义 上的真实性应当建立在算术基础上 (Gauss 1817)
5
实数理论
• 是指以有理数系为基础建立实数理论 • 以往的直观想法: 有理数的极限, 然而必
须先存在才能谈极限
• William R. Hamilton, 1833, 1835提出无理 数的第一个处理, 以时间作为实数的基础. 提出用将有理数分成两类的方法定义无 理数
– 公理化的方式使得学生困惑: 实数变的难以 理解了
• 应当与中小学教材衔接并讲清实数: 讲清 十进小数
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实数理论
• §1 数系理论发展简史 • §2 定义实数遇到的困难 • §3 我们如何定义实数 • §4 有理数系的性质 • §5 实数定义 • §6 实数的完备性 • §7 实数的运算性质 • §8 记号和实数的进一步性质
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数系理论
• 欧几里德的《几何原本》中的比例理论以及 讨论了现在有理数中的相关结果,但是在比 例线段的术语下讨论的.
• Muller 1855《一般算术》和Grassmann 1861 《算术》中有讨论, 但是讲得不清楚
• Peano 1889《算术原理新方法》引入Peano公 理系统解决了这个问题。他用了许多符号: , 和N0表示自然数集。
• 已经完成了逻辑地引入自然数系N={0,1, 2,…}的过程(上一章引入的)
• 加法运算就是数数,乘法运算就是一类特 殊数数的方法.
• 减法: 对小的数加多少的到大的数 • 除法: 分组 • 带余除法: 确定组数和余数 • 归纳法是论证工具
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有理数系Q的建立
• 有理数可以看成是由为了在自然数系中 加、减、乘和除封闭而得到的最小集合
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§1 数系理论发展简史
• 有趣的现象 • 实数理论简史 • 引入实数的方法 • 数系理论
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有趣的现象
• 数的使用几乎与人类的历史一样长, 有人通过 观察推断: 动物有数感. 在人类文明史中, 数的 概念是逐步扩展开来的. 然而数的严格意义上 的理论直到在十九世纪后半叶才完成.
• 虽然欧几里德几何原本中已经讨论了可公度比 和无公度比,但没有定义什么叫无公度比的相等
• Weierstrass (1857), Méray (1869) Dedekind (1872), Cantor (1873)
• (来源于Kline IV P46-47)
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引入实数的方法
• Weierstrass: 有自然数出发定义正有理数, 然后用无穷多个有理数集合定义实数
• Dedekind: 有理数分割 • Canter: 有理数基本列等价类
• aQ, 其十进小数是无限的, 则其十进小数是 循环小数, 有引入有理数十进小数方式, 其十 进小数不会有9循环(习题), 如此 a=p+0.a1…an …自然对应x: x(0)=p,k>0,
x(k)=ak
• 注意这里用到整数部分而可能引起的与中学
十进小数表示的差异
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实数的序
• 实数序的定义: x,yR, x<y, 如果nN:x(n) < y(n), 当n>0时, k<n, x(k)=y(k). 也叫y>x
• 乘法与加法之间满足分配律: a(b+c)= ab+ac
• 0是加法零元: a: a+0=a • 1是乘法单位元: a: a1=a • 每个数a有负数-a: a+(-a)=0 • 每个非零数a有倒数1/a: a(1/a)=1
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有理数序的三歧性和稠密性
• 有理数序的三歧性: a,bQ, 则a<b, a=b, a>b 中有且仅有一种情形成立
似, 也记s0(x)=[x]
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有理数的十进小数表示
• 如果aZ, 自然地对应x: x(0)=a, k>0, x(k)=0
• aQ, 如果a有十进小数表示: a=p+0.a1…an, 对应的x: x(0)=p,0kn, x(k)=ak, k>n, x(k)=0. 称之为有限小数, 用Qf表示R中所有有限小数 的集合.R中的其他数叫无限小数.
– xA, x(0)b0, xA满足x(0)=b0; – hN, Ah={x(h+1)| xA, x>b0+0.b1…bh} – h N, bh+1是Ah的上确界并且xA满足x(n)=bn,
n=0,…,h
下面证明, 由b可以构造出A的上确界.
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实数的完备性(IV)
• 4. 考虑两种情形: (1) 存在k>0, nk, bk= 9, 如 果k>1, bk-1 <9; (2) 有无限多个bk 9. 下面分别
由整数序的完备性, A0有在其中的上确界b0. 即存在xA, x(0)=b0. 很自然地, b0R.若b0是 A的上界,取b=b0就得到了上确界.否则考虑整 数集
A0={x(1)|xA, x>b0} 且A0有上界9
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实数的完备性(II)
• 2.然后重复上面的步骤做下去，在第k步得到 b0+0.b1…bk满足下列性质:
• 证明b是A的上确界: 任取cR, c<b,则存在k0, j<k, c(j)=b(j)=bj, c(k)<b(k)=bk,由bk的取法, x A满足jk, x(j)=b(j)=bj, 由实数序的定义, x>c. 这就得到b是A的上确界.
• 这样实数的完备性就建立了. #
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实数完备性的推论
• 实数集的下界和下确界:
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§6 实数的完备性
• 实数集的上界和上确界 • 实数的完备性 • 实数完备性的推论 • 常用记号和名词
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实数集的上界和上确界
• 上界: 设AR, A, 若bR使得aA, ab, 就称b为A的一个上界, 并且说A是上 有界的
• 上确界:设AR, A, bR叫做A的上确 界, 如果(1) b是A的上界, (2) c<b, aA, a>c
讨论这两种情况:
• 5. 假设(1)成立. 若k=1, 令b= b0+1 (为整数); 若 k>1, 取b= b0+0.b1…bk-1+1.为简单这里仅给出 k=1时的证明, k>1情形的证明留作习题.
• 由xA, x(0)b0<b=b(0)可得b是A的上界.
• 下面证明b是A的上确界, 任取cR, c<b, 如果