高斯光束及其传播特性的仿真
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物像比例公式：
wi
(4.61)
(s
fw0 f) Z
2
0
2 1/ 2 01
(4.62)
项目一：根据高斯光束的特性，在MATLAB 中作出束腰半
径为0.5mm的高斯光束在束腰处的三维光强分布图。
项目二：在 MATLAB 中编程，作出高斯光束在通过薄头镜 变换时，取不同的归一化参数 Z01/f （ 0,0.2,0.4,0.5,1.5 ）的情 况下，归一化物距参数 s0/f 随归一化像距参数 si/f 的变化曲线。 项目三：作出物象比例wi/w0和归一化物距s0/f的关系曲线。
2
(4.15)
( z ) tan1
z 1 z tan 2 ZR w0
(4.16) (4.17)
将式(4.14)带入式(4.3)可将E(r,z)表示为
2 A0 w0 r2 r E (r , z ) exp 2 exp i k z ( z ) w( z ) w ( z) 2 R( z )
(4.18)
振幅部分
相位部分
高斯光束的复参数表示和ABCD定律
1、高斯光束的复参数表示 由式(4.15)~(4.18)可知，高斯光束由R(z)、w(z)和z 中任意即可确定，因此可用复参数将这 3 个量联 系起来。定义q为 1 1 i 2 q R w (4.27) 利用式(4.15)和式(4.16)可得
式(4.13)可改写为 (4.14) 式中， w(z) 为高斯光束的束宽， R(z) 为高斯光束的 等相面曲率半径，Ψ(z)为高斯光束的相位因子，表 达式分别如下：
z z w( z ) w0 1 w 1 0 Z w R 0
X2 (n1 / n2 )Y1 A2 2 X 1 AB ( X 12 Y12 ) B 2
2 1 2 1
( X Y ) BD X1 ( AD BC) AC X2 A2 2 X 1 AB ( X12 Y12 ) B 2
百度文库
(4.46)
实际工作中最感兴趣的是X1=X2=0，即研究入射与出射高 斯光束束腰间的变换问题，此时式(4.46)简化为
1/ 2
(4.52)
高斯光束通过薄透镜的变换
设n2=n1=1，此时传输矩阵
(4.60) 式中，f为薄透镜焦距。将式(4.60)代入式(4.52)， 得到成像公式：
1 M 1 f 0 1
1 1 1 1 2 si f s0 1 Z 01 / s0 ( s0 f )
1 q0 z q q0 z 0 1
(4.39)
将(4.27)、式(4.37)代入式(4.39)中做复数运算，可 以得到
w w0 1 ( z Z R ) 2
(4.40)
z ZR R ZR ( ) ZR z
(4.41)
高斯光束通过复杂光学系统的变换
在折射率 n1 的物空间 s1 处入射复参数为 q1 的高斯光 束，通过以上变换矩阵的复杂光学系统后，在折射 率n2的像空间s2处变换为复参数为q2的高斯光束。 经过计算，可得高斯光束通过复杂光学系统的一般 变换公式：
2 2
kr 2 w0 r2 A(r , z ) A0 exp 2 exp i ( z ) w( z ) w ( z) 2 R( z )
w2 z ZR 0 R( z ) Z R ( ) z 1 ZR z z
1 1 Im 2 w q
(4.30)
(4.31) 其中，Re表示复数取实部；Im表示复数取虚部运算。
2、高斯光束的ABCD定律 高斯光束复参数q通过变换矩阵 换遵守ABCD定律：
A B M 的光学系统的变 C D
(4.32) 如 果 复 参 数 为 q 的 高 斯 光 束 顺 次 通 过 变 换 矩 阵 M1 、 M2，…， Mn的光学系统后变为复参数为q的高斯参数， 利用矩阵乘法易证，此时ABCD定律亦成立。 当q和M1、 M2，…， Mn为已知时，原则上由ABCD定律 可求出任意 z 处的 q ，再由式 (4.30) 和 (4.31) 做复数运算分 离实部和虚部得到R和w。
Aq1 B q2 Cq1 D
现在以高斯光束在自由空间传输为例说明ABCD定 律的应用。设在z=0处有一等相面为平面的高斯光 束： 1 i 2 q0 w0 (4.37)
在自由空间中传输距离 z 后，设其复参数为 q 。因 1 z M 为自由空中的传输矩阵为 0 1 ，由ABCD定律 可得
q z iZ R
(4.28)
用复参数q可将式(4.14)简洁地表示为
ikr 2 iZ R A(r , q ) A0 exp q 2q
(4.29)
这样高斯光束可由复参数q确定。当q已知时，R(z)、 w(z)可按下式求出：
1 1 Re R q
高斯光束及其传播特性的仿真
高斯光束的基本性质
稳态传输的电磁场满足亥姆霍兹方程： (4.1) 容易证明，平面波和球面波都是式 (4.1) 的特解。高斯 光束则不同，它不是式(4.1)的精确解，而是缓变振幅近似 （SVA）下的一个特解。在柱坐标系中设 (4.3) E (r , z ) A(r , z ) exp(ikz) 因此可得到形如
r2 1 1 A(r , z ) A0 exp 2 1 iz / Z R w ( 1 iz / Z ) R 0
E( x, y, z) k 2 E( x, y, z) 0
(4.13)
的高斯光束是式(4.1)在缓变振幅近似下的一个特解，其中 ZR称为瑞利尺寸或共焦参数。
2 BD ACZ01 0 2 B 2 A2 Z 01 Z 02 ( n1 / n2 ) Z 01
(4.49)
当n2=n1=1时，式(4.49)可写成
2 as0 dsi cs0 si b Z 01
c(a bsi ) d cs0
1/ 2
as dsi cs0 si b w02 w01 (a csi ) 2 0 Z 01 1 2 w01 a csi 1 Z 01 (d cs0 ) 2
wi
(4.61)
(s
fw0 f) Z
2
0
2 1/ 2 01
(4.62)
项目一：根据高斯光束的特性，在MATLAB 中作出束腰半
径为0.5mm的高斯光束在束腰处的三维光强分布图。
项目二：在 MATLAB 中编程，作出高斯光束在通过薄头镜 变换时，取不同的归一化参数 Z01/f （ 0,0.2,0.4,0.5,1.5 ）的情 况下，归一化物距参数 s0/f 随归一化像距参数 si/f 的变化曲线。 项目三：作出物象比例wi/w0和归一化物距s0/f的关系曲线。
2
(4.15)
( z ) tan1
z 1 z tan 2 ZR w0
(4.16) (4.17)
将式(4.14)带入式(4.3)可将E(r,z)表示为
2 A0 w0 r2 r E (r , z ) exp 2 exp i k z ( z ) w( z ) w ( z) 2 R( z )
(4.18)
振幅部分
相位部分
高斯光束的复参数表示和ABCD定律
1、高斯光束的复参数表示 由式(4.15)~(4.18)可知，高斯光束由R(z)、w(z)和z 中任意即可确定，因此可用复参数将这 3 个量联 系起来。定义q为 1 1 i 2 q R w (4.27) 利用式(4.15)和式(4.16)可得
式(4.13)可改写为 (4.14) 式中， w(z) 为高斯光束的束宽， R(z) 为高斯光束的 等相面曲率半径，Ψ(z)为高斯光束的相位因子，表 达式分别如下：
z z w( z ) w0 1 w 1 0 Z w R 0
X2 (n1 / n2 )Y1 A2 2 X 1 AB ( X 12 Y12 ) B 2
2 1 2 1
( X Y ) BD X1 ( AD BC) AC X2 A2 2 X 1 AB ( X12 Y12 ) B 2
百度文库
(4.46)
实际工作中最感兴趣的是X1=X2=0，即研究入射与出射高 斯光束束腰间的变换问题，此时式(4.46)简化为
1/ 2
(4.52)
高斯光束通过薄透镜的变换
设n2=n1=1，此时传输矩阵
(4.60) 式中，f为薄透镜焦距。将式(4.60)代入式(4.52)， 得到成像公式：
1 M 1 f 0 1
1 1 1 1 2 si f s0 1 Z 01 / s0 ( s0 f )
1 q0 z q q0 z 0 1
(4.39)
将(4.27)、式(4.37)代入式(4.39)中做复数运算，可 以得到
w w0 1 ( z Z R ) 2
(4.40)
z ZR R ZR ( ) ZR z
(4.41)
高斯光束通过复杂光学系统的变换
在折射率 n1 的物空间 s1 处入射复参数为 q1 的高斯光 束，通过以上变换矩阵的复杂光学系统后，在折射 率n2的像空间s2处变换为复参数为q2的高斯光束。 经过计算，可得高斯光束通过复杂光学系统的一般 变换公式：
2 2
kr 2 w0 r2 A(r , z ) A0 exp 2 exp i ( z ) w( z ) w ( z) 2 R( z )
w2 z ZR 0 R( z ) Z R ( ) z 1 ZR z z
1 1 Im 2 w q
(4.30)
(4.31) 其中，Re表示复数取实部；Im表示复数取虚部运算。
2、高斯光束的ABCD定律 高斯光束复参数q通过变换矩阵 换遵守ABCD定律：
A B M 的光学系统的变 C D
(4.32) 如 果 复 参 数 为 q 的 高 斯 光 束 顺 次 通 过 变 换 矩 阵 M1 、 M2，…， Mn的光学系统后变为复参数为q的高斯参数， 利用矩阵乘法易证，此时ABCD定律亦成立。 当q和M1、 M2，…， Mn为已知时，原则上由ABCD定律 可求出任意 z 处的 q ，再由式 (4.30) 和 (4.31) 做复数运算分 离实部和虚部得到R和w。
Aq1 B q2 Cq1 D
现在以高斯光束在自由空间传输为例说明ABCD定 律的应用。设在z=0处有一等相面为平面的高斯光 束： 1 i 2 q0 w0 (4.37)
在自由空间中传输距离 z 后，设其复参数为 q 。因 1 z M 为自由空中的传输矩阵为 0 1 ，由ABCD定律 可得
q z iZ R
(4.28)
用复参数q可将式(4.14)简洁地表示为
ikr 2 iZ R A(r , q ) A0 exp q 2q
(4.29)
这样高斯光束可由复参数q确定。当q已知时，R(z)、 w(z)可按下式求出：
1 1 Re R q
高斯光束及其传播特性的仿真
高斯光束的基本性质
稳态传输的电磁场满足亥姆霍兹方程： (4.1) 容易证明，平面波和球面波都是式 (4.1) 的特解。高斯 光束则不同，它不是式(4.1)的精确解，而是缓变振幅近似 （SVA）下的一个特解。在柱坐标系中设 (4.3) E (r , z ) A(r , z ) exp(ikz) 因此可得到形如
r2 1 1 A(r , z ) A0 exp 2 1 iz / Z R w ( 1 iz / Z ) R 0
E( x, y, z) k 2 E( x, y, z) 0
(4.13)
的高斯光束是式(4.1)在缓变振幅近似下的一个特解，其中 ZR称为瑞利尺寸或共焦参数。
2 BD ACZ01 0 2 B 2 A2 Z 01 Z 02 ( n1 / n2 ) Z 01
(4.49)
当n2=n1=1时，式(4.49)可写成
2 as0 dsi cs0 si b Z 01
c(a bsi ) d cs0
1/ 2
as dsi cs0 si b w02 w01 (a csi ) 2 0 Z 01 1 2 w01 a csi 1 Z 01 (d cs0 ) 2