水力学典型例题分析(上)

例题1
在旋转锥阀与阀座之间有厚度为1δ，动力粘度为μ的一层油膜，锥阀高为h,上、下底半径分别为1r 和2r 。

试证明，锥阀以角速度ω旋转时，作用在锥阀上的阻力矩为：
2222
121212()()()2r r r r r r h T πμωδ
++-+=
〔解〕证明：
任取r 到r+dr 的一条微元锥面环带，在半径r 处的速度梯度是
δ
ωγ
，切应力ωγτμδ=，
假定锥面上的微元环形面积为dA ，则作用在锥阀微元环带表面上的微元摩擦力是dF=τdA
微元摩擦力矩 dT=τdA ⨯r
下面讨论dA 的表达式，设半锥角为θ,显然，由锥阀的几何关系可得 2
2
2121)(h
r r r r Sin +--=
θ
θ
ππθSin rdr dA rdr dASin 22=
= ∴ dr r Sin rdA dT 3
2θ
δπμωτ=
= ()
1
1
2
2
44123
2sin 2sin r r r
r
r r T dT r dr πμωπμωδθδθ
-=
=
=
⎰⎰ 将)(4
24
1r r -进行因式分解，并将Sin θ的表达式代入化简整理上式可得 2
222121212()()()2T r r r r r r h πμωδ
=
++-+ 例题2
盛有水的密闭容器，其底部圆孔用金属圆球封闭，该球重19.6N ，直径D=10cm ，圆孔直径d=8cm ，水深H 1=50cm 外部容器水面低10cm ，H 2=40cm ，水面为大气压，容器内水面压强为p 0
求：
(1)当p 0也为大气压时，求球体所受的压力； (2)当p 0为多大的真空度时，球体将浮起。

解：
(1)计算p 0=p a 时，球体所受的水压力
因球体对称，侧向水压力相互抵消，作用在球体上仅有垂直压力。

如解例题2(a)图，由压力体的概念球体所受水压力为
()()⎥
⎦⎤⎢⎣
⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=464622132213d H H D d H H D P γπγππ ())(205.0408.04.05.06
1.014.3980023↑=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡⨯--⨯⨯=N
(2)计算密闭容器内的真空度 设所求真空度为Hm(水柱)高，欲使球体浮起，必须满足由于真空吸起的“吸力”+上举力=球重，如
解例题2(b)图所示，即有平衡式
6.19205.04
2
=+d H πγ
()
()m d H 39.008
.014.398004
205.06.194205.06.192
2=⨯⨯⨯-=-=γπ γ
K
P ≥0.39 p K ≥9800×0.39=3822N/m
2
当真空度p K ≥3822N/m 2
时，球将浮起。

例题3
管道从1d 突然扩大到2d 时的局部水头损失为j h '，为了减小水头损失的数值，在1d 与2d 之间再增加一个尺寸为d 的管段，试问：(1)d 取何值时可使整体的损失为最小；(2)此时的最小水头损失j h 为多少?
〔解〕(1)根据已知的圆管突然扩大局部水头损失公式
g
V V h j 2)('2
21-=
根据连续方程2211A V A V =，增加直径为d 的管段后，仍满足2211A V VA A V == 由此可得
22
112211)(,)(d d V V d d V V
== (4-1) 在1d 与2d 之间加入直径为d 的管段后，水头损失j h 应该是两个突然扩大的局部水头损失之和，
即
g
V V g V V h j 2)
(2)(2
221-+
-= []
V V V V V V V g
2222122
122221-+-+=
⎥⎦⎤⎢⎣
⎡-+-+=))((2)()(2)(21211221212121V V V V V V V V
V V g
V
将(4-1)式代入
⎥⎦⎤⎢
⎣
⎡--++=
2122121421212
1)()(2)(2)()(12d d d d d d d d d d g
V h j 求导数 ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡++-=---322
4
1
321541214482d d d d d d d g V dd dh j
⎥⎦⎤
⎢⎣
⎡++-=--22122132121)(12)4(2d d d d d d g V 当
0=dd dh j 时，j h 取得极小值
令
0=dd
dh j ，则
⎪⎩
⎪
⎨⎧=++-==--0)(12)(002212
213d d d d d d 不合题意，舍去 22
121)(1)(
2d d
d d +=
2
2
212
2
212
2d d d d d += 22
21
212d
d d d d +=
(4-2)
(2)求j h 的极小值
[]
2221min )()(21
v v v v g
h j -+-=
将211)(
d d V V =及222)(d
d
V V =代入上式，则 22
22
12min
11221()()2j
d d h V V V V g d d ⎧⎫⎡⎤⎡⎤⎪⎪=-+-⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎪⎪⎩⎭
再将(4-2)式代入并整理可得
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡--+-=22
2212
12222222212221min
)12()2((21d d d d V d d d V g h j 利用(4-1)式，则
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-+-=2212221221min
)1(4)1(421V V V V V V g h j
g
V V V V V V g 2)(21)(41)(4121221221221-⨯=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-+-=
'min
2
1j j h h =
加中间段所得的损失正是原来突然扩大不加中间段时损失的一半，由此可见，逐渐扩大比突然扩大的损失要小得多。

例题4
比重S=0.85，运动粘度ν=0.125cm 2
/s 的油在粗糙度△=0.04mm 的钢管中流动，管径
d=300mm ，流量Q=100l/s,试确定：
(1)流动型态；(2)沿程阻力系数λ(3)粘性底层厚度δ(4)管壁上的切应力0τ 〔解〕首先判别流态 2000339533
.010125.01
.0444
>=⨯⨯⨯⨯==
=
-ππνν
d Q Vd
R e
紊流
(1)假定光滑紊流区，用布拉修斯公式计算λ值，即
0233.03164
.025
.0==
e R λ
粘性底层厚度 0233.08.3225
.0==
e
R d
δ 粘性底层厚度 mm m R d e 9.110898.10233
.0339533.08.328.323≈⨯=⨯=
=
-λ
δ
由于
3.002.09
.104
.0<==
∆
δ
，流动处于紊流光滑区，前述假定正确。

(2)沿程阻力系数λ=0.0233 (3)粘性底层厚度δ=1.9mm (4)管壁处的切应力
2*20
)(8181A
Q S V ρλλρτ== 89.4)3
.01.04(100085.00233.08122
0=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=πτ2
/m N 例题5
两水池的水位差H=24m ，中间由四段管道连接，如图所示。

已知水池水位保持不变，管长 l 1=l 2=l 3=l 4=100m ，管道直径d 1=d 2=d 4=100mm ，d 3=200mm ，沿程阻力系数
,02.0,025.03421====λλλλ阀门局部阻力系数 ζ
=30，其余局部阻力忽略不计。

试求： (1)管道中的流量
(2)如果关闭阀门，流量如何变化
〔解〕将阀门处的局部水头损失折合成第3管段适当长度L e 上的沿程水头损失，则
ζ g V 22
3=3λ2
332e l v d g
令 33
d l
e λζ=
，故 3
3
λζd l e = 沿程水头损失 25
2282Q d
g l
g d V l h f πλλ=⋅⋅= 令 5
28d g l
S πλ=
，管道摩阻
2SQ h f =
先求出每条管道的摩阻值 7.206561.08.9100
025.0885
25
1
2111
=⨯⨯⨯⨯=
=
ππλd g l S
S 33325
25
30.2
80.02(10030)
8()
0.022065.679.80.2e l l g d λππ⨯⨯+⨯+=
=
=⨯⨯
可见 S 1=S 2=S 4=10 S 3
(1)求管道通过的流量
根据连续方程 Q 1=Q 4=Q 2+Q 3=Q (4-1) 2管与3管并联 2f h =3f h 2
332
22Q S Q S = 10
3233
2Q
S S Q Q == (4-2) 将(4-2)式代入(4-1)式，得
Q Q Q =+3310
1
Q Q 76.03= (4-3) Q Q 24.02= (4-4) 在图示的复杂管道中
421f f f h h h H ++=
2
42
222
1Q S Q S Q S ++= 2
42
21)24.0(Q S S S +⨯+=
）（124.017.206562
2++⨯=Q
2
23.42503Q =
s l Q /76.2323
.4250324
==
所以
s
l Q Q s l Q Q s
l Q Q /06.1876.0/70.524.0/76.2332
41======
(2)当关闭了管中的阀门，流量如何变化阀门全部关闭后，成为三条管道串联，即 Q Q Q Q ===421 242221421Q S Q S Q S h h h H
f f f ++=++=
因为 7.20656421===S S S 所以 2
7.206563Q H ⨯= 42
10873.37
.20656324
-⨯=⨯=
Q
s l Q /68.19=
可见，关闭阀门后，虽然2管的流量增大了，但1管和4管的流量减小，使得从水池A 到水池B 的输水能力降低了。

例题6
梯形断面土渠，通过的流量Q=0.75s m /3
，底坡i=
550
1
，边坡系数m=1.5。

砂质粘土，粗糙系数n=0.025，当渠道中水深为0.4～1.0m 时不冲允许流速V ′=1.0m/s ，不淤允 许流速V ″=0.4m/s ，试按宽深比β=1.5设计断面尺寸。

〔解〕当渠道中形成均匀流时 Q=AC
Ri
面积 A=（b +m h ）h =（1.5h+1.5h ）h=3.02
h 湿周 χ= b+2h
21m +=1.5h+2h 25.11+=5.11h
水力半径 R =χA =
h h h 587.011.50.32
= 谢才系数 C=n
1
61
R
Q=A n 132R i =3.0⨯2
h ⨯
025
.01⨯(0.587h)32
⨯550
1
=3.587h 38
h 3
8=
587.3Q = 21.0587
.375
.0=
h=0.56m
b=βh=1.5 ⨯0.56=0.84m 校核渠道允许流速 A=3.0 ⨯0.562=0.941 2
m =
V A Q =797.0941
.075.0=s m / '
"
V V V << 断面平均流速在允许流速范围之内。

例题7
证明：当断面比能E s 及渠道断面形式，尺寸(b 、m)一定时，最大流量相应的水深是临界水深。

证明 2
2
2
22gA
Q h g
V h E s
αα+
=+
= （4---1）
)(22
2
h E gA Q s -=
α
（4---2）
当E s 一定时，断面形式，尺寸一定，A=f(h)，上式为Q=F(h)，绘出Q ～h 关系曲线见6-3-4图。

由图可知，Q=F(h)取得极大值，将(4-2)式对h 取一阶导数，可得 ])(2[222A h E dh
dA
A g dh dQ Q S --=α 令
)(,0h F Q dh
dQ
==取得极大值，只能 ,0)(22=--A h E dh dA A S 因为,B dh
dA
=则
0)(2=--A h E B s 将(4-1)式代入上式，可得
23
Q A g B
α=
(4-3)式即为水流作临界流时临界水深关系式，可见，当断面比能Es 一定，断面形状、尺寸一定时，最大流量时的水流作临界流，水深即为临界水深h s ，即
k
k B A g
Q 3
2max
=α （4-3） 5、某矩形断面渠道，底宽b=2m ，试确定： (1)流量Q=2m 3
/s 时的临界水深及最小断面比能 (2)断面比能Es=1m 时的临界水深及最大流量 〔解〕(1)当Q=2m 3/s 时
当Q 一定时，断面比能最小时的水深为临界水深 2
2
2
22gA
Q h g
V h E s
αα+
=+
= （5-1）
将上式对h 取一阶导数，并令
0=dh
dE s
，Es 取得极小值，此时临界水深满足 323
32
)(k k k k h b b
bh B A g Q ===α
g
q gb Q h
k
2
2
2
3
αα=
=
22
3
32
1.020.459.82
k q
h m g
α⨯==
=⨯ 最小断面比能
7.025.045.0)45.02(8.9220.145.022
2
2
min
=+=⨯⨯⨯⨯+=+=g V h E K k s α
(2)当Es=1m 时 ，流量最大时的水深为临界水深，由(5-1)式可得 )(222
h E A g
Q s -=
α
将上式对h 取一阶导数，并令
0=dh
dQ
，Q 取得极大值，此时临界水深满足
3232k k
k m
h b B A g
Q ==α 2
23gb
Q h m
k
α=
(5-3)
因为 222
22k
m
k k k s gA
Q h g
V h E αα+
=+
= (5-4)
联立求解(5-3)式和(5-4)式，可得 s m Q m h k /43.3,67.03
max ==
k h =0.67m ，max Q =3.43m 3/s
故临界水深为0.67m ，最大流量为3.43m 3
/s 。