空间解析几何双曲抛物面

例1 作出球面 x2 y2 z2 8 与旋转抛物面 x2 y2 2z 的交线。
解 两曲面的交线为
x2 y2 z2 8
x
2
y2
2z
（2）代入（1）得
z2 2z 8 0
（1） （2）
即
(z 4)(z 2) 0
∴ z 4 或 z 2
由（2）知 z 0 ，所以取 z 2，因此交线方程
y2 b2
2z
用坐标平面z 0曲截割曲面，就得
是什么曲线？
x2
a
2
y2 b2
0
z 0
（5）
这是一对相交于原点的直线，方程可以进一步写为：
x
y
0
a b
与
x
y
0
a b
（5'）
z 0
z 0
其次用坐标平面 y 0 与 x 0 来截割曲面
分别得方程
x2 2a2z y 0
（6）
x2 a2
y2 b2
2z
与
y2 2b2 z
（7）
x 0
两抛物线.源自文库这两抛物线叫做双曲抛物面的主抛物线.
主抛物线的特点.
z
x2 2a2z y 0
（6）
y o
y2 2b2 z
（7）
y x 00
x
x 0
它们所在的平面互相垂直，
有相同的顶点与对称轴.
但两抛物线的开口方向不同，抛物 线（6）沿z 轴 方向开口，而抛物线（7）的开口方向却与 z 轴 方向相反.
z
0 y
双曲抛物面 （马鞍面）
x2 y2
2z
a2 b2
z
平行截割法
用z = a截曲面
x
用y = 0截曲面
0
用x = b截曲面
y
.
双曲抛物面 （马鞍面）
x2 y2
2z
a2 b2
z
平行截割法
用z = a截曲面
x
用y = 0截曲面
0
用x = b截曲面
y
.
椭圆抛物面与双曲抛物面统称为抛物面，它们 都没有对称中心，所以又叫做无心二次曲面。
双曲抛物面主截线
x2 y2 2z
a2 b2
z=0
z y
x=0
o
x
y=0
与坐标面平行的平面的截口
x2 a2
y2 b2
2z
如果用平行于 xoy面的平面 z h(h 0)
来截割曲面 截线方程为:
x2
y2
2a
2
h
2b2h
1
（8）
z h
总是双曲线.
z y
o x
当 h 0 时，双曲线（8）的实轴
（7）
因此，曲面被 xoy平面分割成上下两部分，
上半部沿x轴的两个方向上升，
下半部沿 y 轴的两个方向下降，
z
y
曲面的大体形状象一只 马鞍子，
所以双曲抛物面也叫做 马鞍曲面.
o x
双曲抛物面的形状比较复杂，为了进一步明确它的 结构，我们再来观察用平行于xoz面的一组平行平面
y t 来截割曲面
用平行于xoz面的一组平行平面
3.顶点
(0,
t
,
t2 2b
2
)
y
在另一主抛物线（7）上
o
y2 2b2 z
x 0
（7）
x
即: 抛物线(9)的顶点在(7)上, 开口、大小与（6）相
同且平行. 它这样移动就生成整个马鞍面(双曲抛物
面
看下面的演示
双曲抛物面 （马鞍面）
x2 y2 2z
a2 b2
平行截割法
用z = a截曲面
x
用y = 0截曲面 用x = b截曲面
y t 来截割曲面
z
所得的截线方程
x
2
2a2 (z
t2 2b2
)
（9）
y t
o
这时截线仍然为抛物线
x2 a2
y2 b2
2z
y
与主抛物线(6)比较
x2
2a2z
（6）
y 0
x 1.与抛物线（6）是全等的，
2.平行于这个主抛物线所在 的平面xoz
x
2
2a2 (z
t2 2b2
)
（9）
z
y t
与x轴平行，虚轴与 y 轴平行，
x2
2a
2
h
y2 2b2h
1
z h
（8）
在主抛物线（6）上
h>0时顶点(a 2h,0, h) z y
x2 2a2z
（6）
o
y 0
x
当 h 0 时，双曲线（8）的实轴 与y轴平行，
虚轴与x轴平行， 顶点 (0,b 2h, h)
在主抛物线（7）上
y2 2b2 z x 0
双曲抛物面 也称马鞍面
2. 双曲抛物面
定义 2 在直角坐标系下，由方程
x2 a2
y2 b2
2z
（2）
所表示的曲面叫做双曲抛物面，方程（2）叫
做双曲抛物面的标准方程，其中 a, b 为任意的正
常数.
对称性
显然曲面（2）关于 xOz面，yOz面与 z 轴
对称，但是它没有对称中心.
与坐标面的截线
x2 a2
可改写为
x2 y2 z2 8
或
z 2
x2 y2 4
z
2
z
这是平面 z 2上
的一个圆，圆心
为（0,0,2），半径
为 2 ，它的图形 如图.
O
y
x