利用定义计算定积分

试证
lim n
n→∞
f
⎛ ⎜⎝
1 n
⎞ ⎟⎠
⋅
f
⎛ ⎜⎝
2 n
⎞⎟⎠L
f
⎛ ⎜⎝
n n
⎞ ⎟⎠
= e∫01ln f ( x)dx.
证 利用对数的性质得
lim n
n→∞
f
⎜⎛ ⎝
1 n
⎟⎞ ⋅ ⎠
f
⎜⎛ ⎝
2 n
⎠⎞⎟L
f
⎜⎛ ⎝
n n
⎞⎟ ⎠
= eln⎜⎛ lim n ⎝ n→∞
f
⎜⎛ ⎝
1 n
⎟⎞⋅ ⎠
(n +1)3 − n3 = 3n2 + 3n +1
n3 − (n −1)3 = 3(n −1)2 + 3(n −1) +1 LLLLLL
23 −13 = 3⋅12 + 3⋅1 +1
两端分别相加, 得
(n +1)3 −1 = 3(12 + 22 +L+ n2 ) + 3(1+ 2 +L+ n) + n
n
012
nn
n−1 1 x
n
2.如何用定积分表示下述极
限
I
=
lim 1 n→∞ n
⎣⎡⎢sin
2π
n
+L+
sin
nπ
n
+ sin
(n
+ 1)π
n
⎤ ⎥⎦
提示:
∑ I = lim 1 n sin kπ ⋅π
n→∞ π k =1 n n
− lim 1 sin nπ + lim 1 sin (n +1)π
将
[ 0 ,1]n
等分，分点为
xi
=
i, n
ln f ( x ) 在[0,1]上连续，故
(i = 1,2,L,n)
lim
n
∑ ln
f ⎜⎛ i
⎟⎞ ⋅ 1
n→∞ i=1 ⎝ n ⎠ n
= ∫01ln f (x)d x
= e . 故
lim n
n→∞
f
⎛ ⎜⎝
1 n
⎞ ⎟⎠
⋅
f
⎛ ⎜⎝
2 n
⎞⎟⎠L
f
⎛ ⎜⎝
ξi
0
i−1 i
1x
nn
(2)
lim 1p
n→∞
+
2
p
n
+L
p+1
+
n
p
=
lim
n→∞
n
∑
i=1
(
i n
)p
1 n
∆x i
∫= 1 x p dx 0
ξi
. 试证性质6 （定积分中值定理）
1
≤
π
∫2 0
sin x
x
dx
≤
π
2
.
寻找最值
证 设 f (x) = sin x , 则
f
′( x)
=
x cos x − sxin x x2
=
cos x x2
(x
−
tan
x)
<
0
∴
f (π2 ) < f (x) < f (0+ )
即
2
π
<
f
(x)
< 1,
x ∈ (0,π )
2
x
∈
(0,
π
2
)
π
π
π
故
∫ ∫ ∫ 2 0
2
π
dx
≤
2 f (x) dx ≤
0
2 1dx
0
即
∫ 1 ≤
π 2
sin
x
dx
≤
π
0x
2
.
1. 用定积分表示下述极限 :
i =1
1
Q
lim
x→+∞
1
x(2 x
− 1)=
lim
x→+∞
2x −1= 1
ln 2,
1
x
∴ lim n(2n − 1)= ln 2,
n→∞
1
取q = 2n
∫ ∑ 2 1
1 dx
x
=
lim
λ→0
n i =1
1 ξi
∆xi=
1
lim n(2n
n→∞
− 1) =
ln 2.
. 设函数 f (x) 在区间[0,1]上连续，且取正值
∫ ∫ ∫ [ b f ( x)g( x)d x]2 ≤
b f 2(x)d x
b
g
2
(
x
)
d
x
a
a
a
证 对任何实数 t，有 [ f ( x) + tg( x)]2 = f 2( x) + 2 f ( x)g( x)t + g2( x)t2 ≥ 0.
于是
∫ ∫ b f 2( x)d x + 2t
b
f (x)g(x)d x
n→∞ n n n→∞ n
n
=
1
π
π
∫0
sin
x
dx
极限为 0
例4. 计算从 0 秒到 T 秒这段时间内自由落体的平均 速度.
解: 已知自由落体速度为
v = gt
故所求平均速度
v
=
T
1 −
0
∫T
0
gt d t
= 1 ⋅ 1 g T 2 = gT
T2
2
v v = gt S = 1gT2
2 o Tt
. 利用定积分计算
其长度 ∆xi = qi − qi −1 = qi −1 (q −1)
取 ξi = qi−1（, i = 1,2,L, n）
∑ ∑ ∑ ∑ n
i =1
fຫໍສະໝຸດ Baidu
(ξi )∆xi
=
i
n =1
1
ξi
∆xi
=
i
n =1
1 q i −1
q
i −1
(q
−
1)
=
n
(q − 1)
i =1
n
1
∑ f (ξi )∆xi = n(q −1) = n(2n − 1),
a
a
a
a
a
∫ + t 2 bg2( x)d x ≥ 0 a
上式左端是一个非负的二次三项式，故其判别式
必小于等于零。
∫ ∫ ∫ 4[
b f ( x)g( x)d x]2 − 4
b f 2(x)d x
b
g
2
(
x)d
x
≤
0
a
a
a
∫ ∫ ∫ 故 [ b f ( x)g( x)d x]2 ≤ b f 2( x)d x bg2( x)d x
I
=
lim
n→∞
1 n
⎣⎡⎢sin
π
n
+ sin
2π
n
+
L
+
sin
(n
−1)π
n
⎤ ⎥⎦
∑ ∫ 解
I
=
lim
1
n−1
sin
kπ
⋅π
=
1
π
sin x dx
n→∞ π k=0 n n π 0
0 π 2π
nn
∑ ∫ 或
I
=
lim
n−1
sin(π
⋅
k)
⋅
1
=
1
sin
π
x
dx
n→∞ k =0
nn 0
(n−1)π π x
即
∑ n3 + 3n2 + 3n = 3
n
i2 +3
n(n+1) 2
+
n
∑ ∴
n
i=1
i 2=16 n (n +1)(2n +1)
i=1
.
利用定义计算定积分
∫12
1dx. x
解 f ( x)在[1,2]上连续，必可积分.
将[1, 2]n等份，分点为 q, q2 , L, qn−1
代表小区间为 [qi−1, qi ], （i = 1, 2,L, n）
f
⎜⎛ ⎝
2 n
⎟⎠⎞L
f
⎜⎛ ⎝
n n
⎟⎞ ⎠
⎟⎞ ⎠
极限运算与
lim
1
n
∑
ln
f
⎜⎛
i
⎟⎞
= en→∞ ni=1 ⎝ n ⎠
n
lim ∑ ln
f ⎜⎛
i
⎟⎞⋅1
= en→∞ i=1 ⎝ n ⎠ n
对数运算换序
lim
n
∑ ln
f ⎜⎛ i
⎟⎞ ⋅ 1
n→∞ i=1 ⎝ n ⎠ n
为 ln f ( x )在[0,1]区间 上的积分和：
n⎞ n ⎟⎠
∫01ln f ( x) d x
. 用定积分表示下列极限:
(1)
lim
1
n
∑
1+ i
n→∞ n i=1
n
(2)
lim 1p
n→∞
+
2
p +L+ n p+1
n
p
解
(1)
lim
1
n
∑
n→∞ n i=1
1+
i n
=
n
lim ∑
n→∞ i=1
1+ i ⋅1 nn
∆x i
∫= 1 0
1+ x dx
∫ .
利用定义计算定积分 1 x2 dx .
0
注
解 f ( x)在[0,1]上连续，必可积分. y
将
[0,1]
n
等分,
分点为 xi
=
i n
y = x2
(i = 1,2,L,n)
∆xi
=
1 n
取 ξi
=
i n
,
则
f (ξi )∆xi
= ξi2∆xi
=
i2 n3
o
i 1x
n
∑ ∑ n
i=1
f
(ξi )∆xi
=
1 n3
n
i2=
i=1
1 n3
⋅
1 6
n(n + 1)(2n + 1)
=
1 (1 + 6
1 )(2 + n
1) n
∫ ∑ ∴
1 0
x2
dx
=
lim
λ→0
n i =1
ξ
i2∆xi =
lim
n→∞
1 6
(1 +
1 )(2 n
+
1) n
=
1 3
利用(n +1)3 = n3 + 3n2 + 3n +1 , 得
lim 1 (sin π
n→∞ n n
+
sin 2π
n
+L+
sin (n − 1)π
n
).
解
原式=
1 lim π (sin 0π + sin π +
π n→∞ n
n
n
sin
2π
n
+L+
sin (n − 1)π
n
).
∫ = 1
π
π
sin x d x
0
=
1
π
(−
cos
x
)
π
0
=
2
π
.
. 设f ( x), g( x)在[a,b]上连续，证明柯西不等式