含参量积分的分析性质及其应用

含参量积分的分析性质及其应用
班级：11数学与应用数学一班
成绩：
日期： 2012年11月5日
含参量积分的分析性质及其应用
1. 含参量正常积分的分析性质及应用
1.1含参量正常积分的连续性
定理1 若二元函数),(y x f 在矩形区域],[],[d c b a R ⨯=上连续,则函数
()x ϕ=⎰d
c
dy y x f ),(在[a,b]上连续.
例1 设
)sgn(),(y x y x f -=（这个函数在x=y 时不连续）,试证由含量积
分⎰=10
),()(dx y x f y F 所确定的函数在),(-∞+∞ 上连续.
解 因为10≤≤x ,所以当y<0时,x-y>0,则sgn(x-y)=1,即f(x,y)=1.
-1,x<y 则⎰==1
01)(dx y F .当10≤≤y 时, f(x,y)= 0,x=y,
1,x>y
则⎰⎰-=+-=y
y
y dx dx y F 0
1
.21)1()(
1, y<0
当y>1时, f(x,y)=-1,则⎰-=-=1
01)1()(dx y F ,即F(x)= 1-2y,0≤y<0
-1 y>1
又因).1(1)(lim ),0(1lim 1
F y F F y y =-===→→F(y)在y=0与y=1处均连续,因而F(y)
在),(+∞-∞上连续.
例2 求下列极限：（1）dx a x ⎰
-→+1
1
2
20lim
α; (2)⎰→2
20cos lim xdx x αα.
解 （1）因为二元函数22α+x 在矩形域R=[-1,1]⨯[-1.1]上连续,则由
连续性定理得dx a x ⎰
-+1
1
22在[-1,1]上连续.则
⎰⎰⎰--→-→==+=+1
1
22110
1
1
2201lim lim dx x dx a x dx a x αα.
（2）因为二元函数ax x cos 2在矩形域]2
,2[]2,0[π
π-
⨯=R 上连续,由连续性定理得,函数⎰202cos axdx x 在]2,2[ππ-上连续.则.3
8cos lim 202022
0==⎰⎰→dx x axdx x α
例3 研究函数=)(x F dx y x x yf ⎰
+1
2
2)
(的连续性,其中f （x ）在闭区间[0,1]上是
正的连续函数.
解 对任意00>y ,取0>δ,使00>-δy ,于是被积函数
2
2)
(y
x x yf +在],[]1,0[00δδ+-⨯=y y R 上连续,根据含参量正常积分的连续性定理,则F （y ）在
区间],[00δδ+-y y 上连续,由0y 的任意性知,F （y ）在),0(+∞上连续.又因
dx y
x x yf dx y x x yf y F ⎰⎰
+-=+-=-10221
22)()
()(,则F （y ）在)0,(-∞上连续.当y=0处0)(0=y F .由于)(x f 为[0,1]上的正值连续函数,则存在最小值m>0.
y m dx y x my dx y x x yf y F 1arctan )()(10221
22=+-≥+=⎰⎰
,从而04
)(lim 0>≥+→πm y F y ,但 F(y)在y=0处不连续,所以F （y ）在),0(),(+∞+∞-∞Y 上连续,在y=0处不连续.
定理2 设二元函数f(x,y)在区域G={(x,y)|b x a x d y x c ≤≤≤≤),()(}上连续,其中c(x),d(x)为[a,b]上的连续函数,则函数 F(x,y)= ⎰)
()
(),(x d x c dy y x f 在[a,b]
上连续.
例4 求⎰
+→++α
α
αα
12201lim
x dx
. 解 记⎰
+++α
ααα1221)(x dx I .由于2211
,1,α
αα+++x 都是α和x 的连续函数,由定理2知)(αI 在0=α处连续,所以4
1)0()(lim 1020π
αα=+==⎰→x dx I I .
例5 证明函数dx e y F y x ⎰-∞
--=0)(2
)(在),(+∞-∞上连续.
证明 对),(+∞-∞∈∀y ,令x-y=t,可推得
⎰⎰⎰⎰⎰∞
+-∞
+-----∞
+--+
=+===0
)(2
)(2
2
2
2
2
y
y
t t t t y x dt e dt e dt e dt e dx e y F π
.
对于含多量正常积分⎰--0
2
y
t dt e ,由连续性定理可得⎰--0
2
y
t dt e 在),(+∞-∞上连续,则
dx e y F y x ⎰+∞
--=0
)(2
)(在),(+∞-∞上连续.
1.2含参量正常积分的可微性
定理3 若函数f ()y x ,与其偏导数x
∂∂
f ()y x ,都在矩形区域R=[a,b]*[c,d]上连续,则()x ϕ=dy y x f d c
⎰
),(在[a,b]上可微,且dy y x f x
dy y x f dx d d c d
c ),(),(⎰⎰∂∂=.
定理 4 设f ()y x ,,x f ()y x ,在R=[a,b]*[p,q]上连续,c ()x ,d ()x 为定义在[a,b]上其值含于[p,q]內的可微函数,则函数F ()x =⎰)()
(),(x d x c dy y x f 在[a,b]上可微,
且).())(,()())(,(),()('')()
('x c x c x f x d x d x f dy y x f x F x d x c x -+=⎰
定理5 若函数f ()y x ,及x f ()y x ,都在[a,b;c,d]上连续,同时在[c,d]上
)('y a 及)('y b 皆存在,并且a ≤a(y)≤b,a ≤b(y)≤b (c ≤y ≤d),则
⎰⎰-+==
)()
('
')()
(')(]),([)(]),([),(),()(y b y a y y b y a y a y y a f y b y y b f dx y x f dx y x f dy d y F . 证明 考虑函数F(y)在[c,d]上任何一点处得导数,由于
)()()(),(),(),()(3)
()
(21)
()
()
()
(000y F y F y F dx y x f dx y x f dx y x f y F y a y a y b y b y b y a o -+=-+=⎰
⎰
⎰
.
现在分别考虑)3,2,1)((=i y F i 在点0y 处得导数.由定理5可得
⎰
=)
()
(00'100),()(y b y a y dx y x f y F .
由于0)(02=y F ,所以
dx y y y x f y y y F y y y F y F y F y b y b y y y y o y y o
⎰-=-=--=→→→)()(0
020220;'2000),(lim )
(lim )()(lim
)(.
应用积分中值定理),()
()(lim
)(0
00'20y f y y y b y b y F y y ξ⨯--=→.这里ξ在)(y b 和)(0y b 之间.
再注意到f ()y x ,的连续性及b(y)的可微性,于是得到
]),([)()(000'0'2y y b f y b y F =.
同样可以证明
]),([)()(000'0'3y y a f y a y F =
于是定理得证.
例6 设,sin )(2
dx x
yx
y F y y ⎰
=求)('y F .
解 应用定理5有 y y y
y y yxdx y F y y
2
23'
sin 1sin 2cos )(2
⋅-⋅+=⎰
y
y y y y
yx
y y
2
3sin sin 2sin 2
-
+=
y
y y 2
3sin 2sin 3-=.
例7 设)(x f 在0=x 的某个邻域U 上连续,验证当U x ∈时,函数
dt t f t x n x n x )()()!1(1
)(10
-⎰--=ϕ （1）
的n 阶导数存在,且).()()(x f x n =ϕ
解 由于（1）中被积函数)()(),(1t f t x t x F n --=及其偏导数),(t x F x 在U 上连续,于是由定理4可得
⎰----+---=
x n n x f x x n dt t f t x n n x 012')()()!
1(1)())(1()!1(1)(ϕ ⎰---=x n dt t f t x n 0
2.)()()!2(1
同理
⎰----+---=
x n n x f x x n dt t x n n x 013'')()()!
1(1))(2()!2(1)(ϕ ⎰---=x n dt t f t x n 0
3.)()()!3(1
如此继续下去,求得k 阶导数为
⎰-----=
x k n k dt t f t x k n x 0
1
)(.)()()!1(1)(ϕ
特别当1-=n k 时有
⎰=-x
n dt t f x 0
)1(,)()(ϕ
于是).()()(x f x n =ϕ
例8 计算积分.1)1ln(1
2dx x
x I ⎰++=.
解 考虑含参量积分
.1)
1ln()(1
02dx x
x ⎰
++=ααϕ 显然,)1(,0)0(I ==ϕϕ且函数21)
1ln(x
x ++α在R=[0,1]⨯[0,1]上满足定理3的条件,
于是
⎰
++=1
02'.)
1)(1()(dx x x x
ααϕ.
因为
),11(11)1)(1(22
2x x
x x x x αα
ααα+-+++=++ 所以
)('αϕ)111(11101010222⎰⎰⎰+-++++=
dx x dx x
x dx x αα
αα ]
)1ln()1ln(21arctan [111
0102102x x x ααα
+-+++= )].1ln(2ln 214[112απαα
+-+⋅+=
因此
⎰1
0'
)(ααϕd ⎰+-++=1
02
)]1ln(2ln 21
4
[11αααπαd )
1(arctan 2ln 2
1
)1ln(810102ϕααπ-++= )1(2ln 8
2ln 8ϕππ-+=
)1(2ln 4
ϕπ-=.
另一方面
⎰=-=1
0'
),1()0()1()(ϕϕϕααϕd 所以
.2ln 8
)1(π
ϕ=
=I
1.3含参量正常积分的可积性
定理6 若f ()y x ,在矩形区域R=[]b a ,×[]d c ,上连续,则()x ϕ和()x ψ分别在
[]b a ,和[]d c ,上可积.其中()x ϕ=()⎰d c y x f ,dy,x ∈[]b a ,,()x ψ=()⎰b
a y x f ,dy.
这就是说：在f ()y x ,连续性假设下,同时存在求积顺序不同的积分：
()dx dy y x f b
a d c ⎰⎰⎥⎦
⎤⎢⎣⎡,与()dy dx y x f d
c
b a ⎰
⎰⎥⎦
⎤⎢⎣⎡,,简便记为
()dy
y x f dx b a
d
c
⎰⎰,与
()dx y x f dy d
c
b
a
⎰
⎰,,前者表示f ()y x ,先对y 求积然后对x 求积,后者则表示先对x 求
积再对y 求积.它们统称为累次积分或更确切地称为二次积分.
由可积性的定理进一步指出,在f ()y x ,连续性假设下,累次积分与求积顺序无关,即若f ()y x ,在矩形区域R=[]b a ,×[]d c ,上连续,则
()dy y x f dx b
a
d c
⎰
⎰,=()dx y x f dy d c
b
a
⎰⎰,.
定理7 若f ()y x ,在矩形区域R=[]b a ,×[]d c ,上连续,g ()x 在[]b a ,上可积,则作为y 的函数()()dx x g y x f b
a
⎰,在[]d c ,上连续,且
()()dy y x f dx x g d cc
b
a
⎰⎰
,=()()dx x g y x f dy d c
b
a
⎰⎰,.
注意 推论中闭区间[]d c ,可以换成开区间或无穷区间,因为可积性定理是由连续性推得的,连续性是局部性质.
例9 求I=dx x
x x a
b ⎰-1
ln （b>a>0）. 解 由x
x x dy x a
b b
a
y
ln -=
⎰
得I=dx dy x b a y ⎰⎰⎪⎭
⎫ ⎝⎛1
0=⎰⎰10b a y dy x dx ,因为()y x y x f =,在矩形区域[][]b a ,1,0⨯上连续,由定理可得I=dx x dy b a
y ⎰⎰1
=dy y b
a ⎰
+11
=ln a
b ++11. 例10 试求累次积分()
dy y
x
y x dx ⎰⎰+-101
2
22
2
2与()
⎰⎰
+-10
1
2
22
2
2dx y
x
y x dy ,并指出它们为什
么与定理的结果不符.
解：()
dy y x
y x dx ⎰⎰+-10
10
22
2
2
2=
()dx dy y x y x ⎰⎰⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡++1
0102
2222=(
)(
)
dx y x y x d y y x dy ⎰⎰⎰⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣⎡++-+1010102222
222
=dx y x yd y x dy ⎰⎰
⎰⎥⎦⎤⎢⎣
⎡+++101
01022221=dx x ⎰+10211=0arctan 1arctan -=4π. ()
⎰⎰+-1
1
22
2
2
2dx y x
y x dy =()
dx x y
x y dy ⎰⎰+--1
01
2
2
2
2
2,由()
dy y x
y x dx ⎰
⎰
+-1
1
2
2
2
2
2=4
π
,同理可得
()
dx x y
x y dy ⎰⎰+-10
1
2
2
2
2
2=
4π,所以()⎰⎰+-10102222
2dx y x y x dy =–4
π.
即()
dy y
x
y x dx
⎰⎰+-1
01
2
22
2
2≠
()
⎰⎰+-10
1
2
22
2
2dx y
x
y x dy ,这与定理不符.
因为()()
()
2
22
2
20,0,lim
y
x
y x y x +-→=()()
()
2
2
2
2
220,0,2lim
y x
y y x y x +-+→=()()()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣
⎡+-+→22222
20,0,21lim y x y y x y x 不存在, 所以()()
2
22
2
2,y
x
y x y x f +-=
在点()0,0处极限不存在,即在矩形区域[][]1,01,0⨯上不连
续,不满足定理的条件.
例11 应用积分号下的积分法求积分,dx x x
x x a
b ln 1ln sin 1
0-⎪
⎭
⎫ ⎝⎛⎰ ()0>>a b . 解 令()x
x x x x g a
b ln 1ln sin -⎪⎭⎫ ⎝⎛=,x x x dy x a b b a y
ln -=⎰.
因为()()()(),01,00,0lim ,0lim 1
====→→+g g x g x g x x 所以()x g 在[]1,0上连续.
所以dx x x
x x a b ln 1ln sin 1
0-⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰=()⎰10x g =dx dy x x b a y ⎰⎰⎥⎦
⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛101ln sin . 令()y x f ,= y
x x ⎪⎭
⎫ ⎝⎛1ln
sin , 10≤<x , 0 , 0=x .
则()y x f ,在矩形区域[][]b a ,1,0⨯上连续,由定理可知
dx dy x x b a
y ⎰⎰⎥⎦
⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛1
01ln sin =
dx x x dy y
b
a ⎰⎰⎪⎭
⎫
⎝⎛1
01ln sin =
()⎰
⎰+∞
+-b
a
t
y tdt
e dy 0
1sin =
()()()a b dy y b
a +-+=++⎰1arctan 1arctan 111
2.
2. 含参量反常积分的分析性质及应用
2.1含参量反常积分的连续性
定理8 设),(y x f 在⨯I [+,c ∞）上连续,若含参量反常积分
)(x φ=⎰+∞
c dy
y x f ),(
在I 上一致连续,则Φ（x ）在I 上连续.
推论 ),(y x f 在⨯I [+,c ∞）上连续,若dy y x f x c
⎰+∞
=Φ),()(在I 上內闭一致
收敛,则Φ（x ）在I 上连续.
这个定理也表明,在一致收敛的条件下,极限运算与积分运算可以交换：
dy y x f x dy y f dy y x f x c x c o c x o
x ),(lim ),(),(lim 0⎰⎰⎰+∞
→+∞+∞→==
例12 证明⑴dy x e xy
⎰+∞
-0
⑴在[a,b]（a>0）上一致收敛;⑵ 在[0,b]上不一
致收敛.
证明 ⑴∀ x ),(b a ∈,y ),0[+∞∈,有be
xe
ay
xy
--≤≤0,而dy
be xy ⎰+∞-0
收敛（a>0）,由M 判别法,知反常积分dy x e xy
⎰+∞
-0
在[a,b]（a>0）上一致收敛.
⑵因Φ（x ）=dy x e xy ⎰+∞
-0
= 0,0=x ，
1,0b x ≤≤.
在x=0处不连续,而xe xy -在0≤ x ≤ b,0≤y ≤ +∞ 內连续,由连续性定理知
dy x e xy
⎰
+∞
-0
在0≤ x ≤ b 上不一致连续.
例13 回答对极限dy xy xy e x ⎰
+∞
→
-+
2
20
lim 能否施行极限与积分运算顺序的变换来
求解？ 解
110lim ][0lim lim
2
2
2
2
2lim ==--=-=-+++
+
→+∞
→∞
+→
∞
+→
⎰⎰x x x x xy xy
e
xye
e d
xy dy xy
o . 而
000
2lim 2
==-⎰
⎰∞
+∞
+→
+
dy dy xy
xye
x 运算顺序不能交换,是因为
dy xy
xye
⎰∞
+-0
22
在[0,b]
（b>0）上不一致收敛,故不满足含参量反常积分连续性条件.
定理9 如果函数),(u x f 在[a,+∞）×[βα,]上连续,而且积分⎰+∞
a
dx
u x f ),(在[βα,]上一致收敛,那么由Φ（x ）=⎰
+∞
a
dx u x f ),(所确定的函数Φ在[βα,]
上连续.
证明 由于
⎰
+∞
a
dx u x f ),(在[βα,]上一致连续,故对任意ε>0,存在A 0>a,使
得不等式︱⎰+∞
A dx u x f 0),(︱<3ε对[βα,]中所有的u 成立.因为函数),(u x f 在
[βα,]上连续,⎰+∞
A dx u x f 0),(是[βα,]中的连续函数,因而对任意0u ∈[βα,],任意ε>0,存在δ>0 , 当u ∈[βα,]且δ<-0u u 时,
︱⎰
A dx u x f a
),(-⎰A dx u x f a
),(0
︱<3
ε.
于是当u ∈[βα,]且︱u -0u ︱<δ时, ︱()
u ϕ-
()0u ϕ︱=︱
⎰
+∞
a
dx
u x f ),(-⎰
+∞
a
dx
u x f ),(0︱≤
︱
⎰
A dx
u x f a
),(-
⎰
A dx
u x f a
),(0︱
+
︱
⎰+∞
A
dx u x f 0
),(︱
+
︱⎰+∞
A
dx u x f 0
),(0︱<3ε+3ε+3ε
=ε.
这就证明了ϕ在0u 处是连续的.由于0u 是[βα,]中的任意点,所以ϕ在[βα,]上连续.
这个定理也可以写成：
⎰⎰
⎰
+∞
→+∞
+∞
→
=a u a
a
u dx u x f u dx x f dx u x f u u )),(lim (),(),(0
0lim 即在积分一致收敛的条件下,极限号与积分号可以交换.
例14 讨论函数=)(αϕdx x x x
)
2(arctan 3
+⎰
+∞α
的连续性区间.
解 先看函数)(αϕ的定义域是什么,即上述积分在什么范围内收敛.在x=0附近,x x x dx x 1312
1~)
2(arctan -+αα.所以当α<2时,积分dx x
x x
)
2(arctan 3
+⎰+∞
α
收敛.
当x +∞→时,dx x x x )
2(arctan 3
+α～x
3
1
2
+απ,所以积分dx x
x x
)
2(arctan 3
1
+⎰
+∞
α
当α>-2时收敛.
由此得知)(αϕ的定义域是（-2,2）.我们只需证明ϕ在任意[a,b]⊂（-2,2）上连续.根据定理9只要证明上面的积分在[a,b]上一致收敛.
当x )1,0(∈时,设a ≤b<2,这时存在常数c 使得dx x x x a )2(arctan 3+≤x a c 1-≤x
b c 1
-而b-1<1,故由比较判别法,积分dx x
x x a )
2(arctan 3
1
+⎰
在（+∞,b]一致收敛.当x ∈[1,+∞）时,设
-2<a ≤α,
x
x
x x
a a dx x
3
3
3
1
2
1
2
)
2(arctan ++≤
≤
+ππα
.而a+3>1,故有比较判别法,积分
dx x
x x
)
2(arctan 3
1
+
⎰
∞
+α
在[a,+∞）上一致收敛,把积分合在一起,即知dx x
x x
)
2(arctan 3
+⎰
+∞
α
在
[a,b]⊂（-2,2）上一致收敛,故ϕ在（-2,2）上连续.
注意 与级数的情形一样,积分的一致收敛只是保证ϕ连续的一个充分不必要条件.但在f 非负的条件下,积分的一致收敛便是ϕ连续的必要条件. 2.2含参量反常积分的可微性
定理10 设),(y x f 与),(y x f x 在区域I ⨯[,c )∞+上连续.若
dy y x f x c
⎰
+∞
=Φ),()(在I 上收敛,dy y x f c
x ),(⎰
+∞
在I 上一致收敛,则)(x Φ在I 上可
微,且dy y x f x c
x ),()('⎰
+∞=Φ.
例15 求积分dx x xy
e x
2
cos -⎰+∞-. 解 记J(y)= dx x
xy e x 20
cos -⎰+∞-,有参量反常积分可微性定理推得)('y J = dx x
xy
e x
sin 0
⎰
+∞
-=y arctan ,而0)0(=J ,所以
dx x
xy
e x
20
cos 1-⎰
+∞
-=)(y J =⎰y dt t J 0)(', )1ln(2
1
arctan arctan 20y y y tdt I y +-==⎰.
例16 对dy e x x F y x 2
3)(-+∞
⎰=能否运用积分与求导运算顺序变换求解.
逻辑推理 验证函数dy e x x F y x 2
3)(-+∞
⎰
=
是否满足可微性定理条件,若不满
足条件,则不能变换顺序. 1,0≠x ,
解 由于⎰⎰+∞--+∞-=∂∂0420
322)23()(dy e y x x dy e x x
y x y
x = 0,0=x .
因而dy e x x
y
x )(20
3-+∞⎰
∂∂在[]1,0上不一致收敛,故不能运用含参量反常积分可微性定理.实际上,因dy e x x F y x 2
3)(-+∞
⎰
=
=x ,()+∞∞-∈,x ,则,1)('=x f 而
⎰⎰+∞--+∞
-=∂∂0
420322)23()(dy e y x x dy e x x y
x y x 在x =0处为零.故积分与求导运算不能交换顺序.
定理11（积分号下求导定理） 设),(y x f 与),(y x f x 在⨯I [,c )∞+上连续.若dy y x f x c
⎰
+∞=Φ),()(在I 上收敛,而dy y x f c
x ),(⎰
+∞
在I 上内闭一致收敛,则)
(x Φ在I 上可微,且dy y x f x c
x ),()('⎰
+∞=Φ.
证明 设｛n C ｝()c C o =为一递增且趋于∞+的数列,记
dy y x f x u n
n c c n ⎰
-=1
),()(,n=1,2···,
且有)(x I =)(1
x u n n ∑∞=.由正常积分的连续性定理得)(x u n （n=1,2···,）在[]b a ,上
可微,且dy y x f x u n
n c c n ⎰
-=
1
),()(',n=1,2···,由已知条件dy y x f c
x ),(⎰
+∞
在[]b a ,上一
致收敛,又因若含参变量反常积分dy y x f c
),(⎰
+∞关于[]b a x ,∈一致收敛,则函数项
级数)('1
x u n n ∑∞=关于[]b a x ,∈一致收敛.从而函数项级数
=
=⎰
∑
∑
-∞
=∞
=dy y x f x u n
n c c x n n n 1
),()('1
1
dy y x f c
x ),(⎰
+∞
也在[]b a ,上一致收敛,根据函数项级数的逐项求导定理,即得)(x I 在[]b a ,上可微,且
=
=∑∞
=)(')('1x u x I n n dy y x f c
x ),(⎰
+∞
.
上述定理的结果也可记成
dy y x f x dy y x f dx d c c
),(),(⎰⎰+∞+∞
∂∂=. 定理12 如果函数f 和u f ∂∂都在[)[]βα,,⨯+∞a 上连续,积分dx u
u x f a ⎰+∞
∂∂),(在
[]βα,上一致收敛,那么⎰+∞
=a
dx u x f u ),()(ϕ在[]βα,上可微,而且
βαϕ≤≤∂∂=⎰
+∞u dx u
u x f u a
,)
,()('. 证明 对于任意正整数a n >,令⎰=n a
n dx u x f x ),()(ϕ.又因为若函数f 及其偏导数
u
f
∂∂都在闭矩形[][]βα,,⨯=b a I 上连续,那么函数⎰=b a dx u x f x ),()(ϕ在[]βα,上可微,而且dx u x f u
x du d b
a
)),(()(⎰∂∂=ϕ.所以n ϕ在[]βα,上有连续的导函数
dx u
u x f u n
a
n ⎰
∂∂=)
,()('ϕ. 由于.),(dx u
u x f a
⎰+∞
∂∂在[]βα,上一致收敛,所以函数列{})('u ϕ在[]βα,上一致收敛,
且因{}n ϕ在[]βα,上收敛于ϕ,故ϕ在[]βα,上连续可微,且
βαϕ≤≤∂∂=⎰
+∞u dx u
u x f u a
,)
,()(' 成立.
例17 利用对参数的微分法,计算微分a dx x
e e bx
ax ,0
2
2
2⎰
∞+---﹥0,b ﹥0.
解 把a 看作参数,记上面的积分为),(a I 那么dx e a I ax ⎰+∞
--=0
2
)('.为了说明微
分运算和积分运算的交换是允许的,我们把a 限制在区间[)+∞,δ中,这里δ是任意一个正数.于是.2ax 2
x e e δ-≤-由于.0
2
dx e x ⎰+∞
-δ收敛,故由Weierstrass 判别法
知道,积分
.0
2
dx e ax ⎰
+∞
-对[)+∞∈,δa 中一致收敛,故由上述定理可知上面的运算成
立.由于δ﹥0是任意的,故.)('0
2
dx e
a I ax ⎰
+∞--=在()+∞,0中成立.计算得
a
a I 2)('π-=
, 所以.)(c a a I +-=π由于,,0)(b c b I π==故最后得).()(a b a I -=π 2.3含参量反常积分的可积性
定理13设),(y x f 在[a,b]
⨯[c, )∞+上连续,若dy y x f x c
⎰
+∞
=Φ),()(在[a,b]
上一致收敛,则)(x Φ在[a,b]上可积,且
dy y x f dx c
b a
⎰
⎰+∞
),(=dx y x f dy b
a
c
⎰⎰+∞
),(.
定理14 设),(y x f 在[a,b]⨯[c, )∞+上连续,若（1）⎰+∞a
dx y x f ),(关于y
在[c, )∞+上内闭一致收敛,⎰+∞
c
dy y x f ),(关于x 在[a,)∞+上内闭一致收敛；（2）
积分⎰⎰
+∞
+∞
a c
dy y x f dx ),(与⎰⎰
+∞
+∞c
a
dx y x f dy ),(中有一个收敛.则
⎰
⎰
+∞
+∞
a
c
dy y x f dx ),(=dx y x f dy a
c
⎰
⎰+∞
+∞
),(.
例18 等式dy e b
a
xy
⎰-=x
e
e bx
ax
---出发,计算积分dx x
e e bx ax ⎰
∞+---0
（b>a>0）.
解 因为xy e -在[0,)∞+⨯[ a,b]上连续,且xy ≥ax,则有0<ax xy e e --≤而
dx e ax ⎰
+∞
-0
=-
∞+-0
1ax e a
=
a
1收敛,由M 判别法可推断含参量反常积分dx e ax ⎰+∞
-0在
[ a,b]（a>0）上一致收敛.由可积性定理知()=
I y ⎰
+∞
-0
dx e xy 在[ a,b]上可积.且
dy e dx b a
xy ⎰⎰
-+∞
=dx x e e bx ax ⎰∞
+---0
=dx e dy xy
b a ⎰⎰+∞-0=⎰+∞
-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-b a xy dy e y 0
1=⎰
b
a
dy y 1
=a
b ln . 例19 对dx e xy y dy xy ⎰⎰+∞
--031
03
)22(能否运用积分顺序交换来求解？
解：令u=x 2y ,则
dx e
xy y dy xy ⎰
⎰+∞
--0
3
10
3
)22(=[]
dy ue y
u
∞+-⎰0
1
02
=
⎰1
0dy =0
而
[]
x x
u u
x xy xy e ue x
du e u x dxy e xy x dy e xy y -----==-=-=
-⎰⎰⎰
021021
31)1(1)1(1)22(22
.
则
dy e xy y dx xy ⎰⎰
-+∞
-1
30
3
)22(=dx e x ⎰+∞
-0
=1. 所以积分运算顺序不能变换.原因是dx e xy y xy
⎰+∞--0
33
)22(在[0,1]上不一致收敛,故
不满足参量反常积分可积性定理条件.。