含参量积分的分析性质及其应用

含参量积分的分析性质及其应用

班级：11数学与应用数学一班

成绩：

日期： 2012年11月5日

含参量积分的分析性质及其应用

1. 含参量正常积分的分析性质及应用

1.1含参量正常积分的连续性

定理1 若二元函数),(y x f 在矩形区域],[],[d c b a R ⨯=上连续,则函数

()x ϕ=⎰d

c

dy y x f ),(在[a,b]上连续.

例1 设

)sgn(),(y x y x f -=（这个函数在x=y 时不连续）,试证由含量积

分⎰=10

),()(dx y x f y F 所确定的函数在),(-∞+∞ 上连续.

解 因为10≤≤x ,所以当y<0时,x-y>0,则sgn(x-y)=1,即f(x,y)=1.

-1,x

01)(dx y F .当10≤≤y 时, f(x,y)= 0,x=y,

1,x>y

则⎰⎰-=+-=y

y

y dx dx y F 0

1

.21)1()(

1, y<0

当y>1时, f(x,y)=-1,则⎰-=-=1

01)1()(dx y F ,即F(x)= 1-2y,0≤y<0

-1 y>1

又因).1(1)(lim ),0(1lim 1

F y F F y y =-===→→F(y)在y=0与y=1处均连续,因而F(y)

在),(+∞-∞上连续.

例2 求下列极限：（1）dx a x ⎰

-→+1

1

2

20lim

α; (2)⎰→2

20cos lim xdx x αα.

解 （1）因为二元函数22α+x 在矩形域R=[-1,1]⨯[-1.1]上连续,则由

连续性定理得dx a x ⎰

-+1

1

22在[-1,1]上连续.则

⎰⎰⎰--→-→==+=+1

1

22110

1

1

2201lim lim dx x dx a x dx a x αα.

（2）因为二元函数ax x cos 2在矩形域]2

,2[]2,0[π

π-

⨯=R 上连续,由连续性定理得,函数⎰202cos axdx x 在]2,2[ππ-上连续.则.3

8cos lim 202022

0==⎰⎰→dx x axdx x α

例3 研究函数=)(x F dx y x x yf ⎰

+1

2

2)

(的连续性,其中f （x ）在闭区间[0,1]上是

正的连续函数.

解 对任意00>y ,取0>δ,使00>-δy ,于是被积函数

2

2)

(y

x x yf +在],[]1,0[00δδ+-⨯=y y R 上连续,根据含参量正常积分的连续性定理,则F （y ）在

区间],[00δδ+-y y 上连续,由0y 的任意性知,F （y ）在),0(+∞上连续.又因

dx y

x x yf dx y x x yf y F ⎰⎰

+-=+-=-10221

22)()

()(,则F （y ）在)0,(-∞上连续.当y=0处0)(0=y F .由于)(x f 为[0,1]上的正值连续函数,则存在最小值m>0.

y m dx y x my dx y x x yf y F 1arctan )()(10221

22=+-≥+=⎰⎰

,从而04

)(lim 0>≥+→πm y F y ,但 F(y)在y=0处不连续,所以F （y ）在),0(),(+∞+∞-∞Y 上连续,在y=0处不连续.

定理2 设二元函数f(x,y)在区域G={(x,y)|b x a x d y x c ≤≤≤≤),()(}上连续,其中c(x),d(x)为[a,b]上的连续函数,则函数 F(x,y)= ⎰)

()

(),(x d x c dy y x f 在[a,b]

上连续.

例4 求⎰

+→++α

α

αα

12201lim

x dx

. 解 记⎰

+++α

ααα1221)(x dx I .由于2211

,1,α

αα+++x 都是α和x 的连续函数,由定理2知)(αI 在0=α处连续,所以4

1)0()(lim 1020π

αα=+==⎰→x dx I I .

例5 证明函数dx e y F y x ⎰-∞

--=0)(2

)(在),(+∞-∞上连续.

证明 对),(+∞-∞∈∀y ,令x-y=t,可推得

⎰⎰⎰⎰⎰∞

+-∞

+-----∞

+--+

=+===0

)(2

)(2

2

2

2

2

y

y

t t t t y x dt e dt e dt e dt e dx e y F π

.

对于含多量正常积分⎰--0

2

y

t dt e ,由连续性定理可得⎰--0

2

y

t dt e 在),(+∞-∞上连续,则

dx e y F y x ⎰+∞

--=0

)(2

)(在),(+∞-∞上连续.

1.2含参量正常积分的可微性

定理3 若函数f ()y x ,与其偏导数x

∂∂

f ()y x ,都在矩形区域R=[a,b]*[c,d]上连续,则()x ϕ=dy y x f d c

⎰

),(在[a,b]上可微,且dy y x f x

dy y x f dx d d c d

c ),(),(⎰⎰∂∂=.

定理 4 设f ()y x ,,x f ()y x ,在R=[a,b]*[p,q]上连续,c ()x ,d ()x 为定义在[a,b]上其值含于[p,q]內的可微函数,则函数F ()x =⎰)()

(),(x d x c dy y x f 在[a,b]上可微,

且).())(,()())(,(),()('')()

('x c x c x f x d x d x f dy y x f x F x d x c x -+=⎰

定理5 若函数f ()y x ,及x f ()y x ,都在[a,b;c,d]上连续,同时在[c,d]上

)('y a 及)('y b 皆存在,并且a ≤a(y)≤b,a ≤b(y)≤b (c ≤y ≤d),则

⎰⎰-+==

)()

('

')()

(')(]),([)(]),([),(),()(y b y a y y b y a y a y y a f y b y y b f dx y x f dx y x f dy d y F . 证明 考虑函数F(y)在[c,d]上任何一点处得导数,由于

)()()(),(),(),()(3)

()

(21)

()

()

()

(000y F y F y F dx y x f dx y x f dx y x f y F y a y a y b y b y b y a o -+=-+=⎰

⎰

⎰

.

现在分别考虑)3,2,1)((=i y F i 在点0y 处得导数.由定理5可得

⎰

=)

()

(00'100),()(y b y a y dx y x f y F .

由于0)(02=y F ,所以

dx y y y x f y y y F y y y F y F y F y b y b y y y y o y y o

⎰-=-=--=→→→)()(0

020220;'2000),(lim )

(lim )()(lim

)(.

应用积分中值定理),()

()(lim

)(0

00'20y f y y y b y b y F y y ξ⨯--=→.这里ξ在)(y b 和)(0y b 之间.

再注意到f ()y x ,的连续性及b(y)的可微性,于是得到

]),([)()(000'0'2y y b f y b y F =.