2003年全国数学建模优秀论文设计北京SARS的传播研究

小组成员
SARS的传播研究
摘要
SARS从2003年陆续传入，期间先后感染6000多人其中感染2847，我国给我过经济·社会带来严重额的影响，为减少疾病的危害，提高人们对疾病的ARS的认识，疫情分析及对疫情走势的预测研究也变得尤为重要。

为改善现状并提高人们对疾病的是SARS的认识，我们对市的SARS传播问题建立数学模型。

关键词： SARS 人群分类微分模型整体拟合
1、问题重述
1.1问题的背景
严重急性呼吸综合征（Severe Acute Respiratory Syndromes），又称传染性非典型肺炎，简称SARS，是一种因感染SARS冠状病毒引起的新的呼吸系统传染性疾病。

主要通过近距离空气飞沫传播，以发热，头痛，肌肉酸痛，乏力，干咳少痰等为主要临床表现，严重者可出现呼吸窘迫。

本病具有较强的传染性，在家庭和医院有显著的聚集现象。

首发病例，也是全球首例。

于2002年11月出现在，并迅速形成流行态势
1.2问题的叙述
现阶段SARS的传播正处于高峰期。

由于人们对该种疾病的传播机理还不太清楚，因此引起人们的恐慌，它关系社会的稳定和经济的发展。

因此对该问题的研究非常有必要，我们把人口分成四类，即:健康人S(t)SARS病人I(t)病人免疫（包括死亡）的人R(t)及疑似病人P(t)四类人，利用现有数据着重从四类人口中：把该传染病进行统计学分析，归纳出主要特征通过假设，参数以及它们的相互联系，进行数据判定，数据假设，数据处理，数据分析，建立模型，数据总结等得出较为科学的SARS问题的分析，
相关信息（见附件1、2、3）
附件1SARS疫情分析及对走势的预测
附件2市疫情的数据
附件3市接待海外游客人数
附件4相关编程
1.3问题的提出
问题一：对附件1所提供的一个早期的模型，评价其合理性和实用性。

问题二：建立自己的模型，说明为什么优于附件1中的模型，对于卫生部门所采取的措施做出评论，如：提前或延后5天采取严格的隔离措施，对疫情传播所造成的影响做出估计。

问题三：影响SARS传播因素以及对SARS疫情期间疫区人群进行分类。

2、符号说明
N: 人口基数
S)(t：健康易感人群在人口基数中所占的比例，是与时间t有关的函数：
I)(t:未被隔离的SARS病毒感染者在人口基数中所占的比例;
e)(t:已被隔离人群在人口基数中的比例（确诊、疑似）：
e：隔离人群中SARS病毒感染者在人口基数中的比例，排除了e(t)例中没有0
非典的那部分人：
r)(t:人口基数中所占的比例:
d:死亡人数在人口基数中所占的比例:
)(t
:每个未被隔离的SARS病毒感染者每天接触传染的人数：
1
λ :每个已被隔离SARS病毒感染者每天接触传染的人数 :
2
ε :隔离率，随着时间推移会发生变化 :
ε:表示每天被隔离的人数:
N
μ:非典患者的治愈率:
β:非典患者的死亡率:
3、问题分析
我们在科学、客观数据的基础之上，对未来几个月SARS病人发展形势做出科学、合理、简单的假设。

不计影响较小的因素。

在假设的条件之下，建立数学模型。

然后要参考附件1，预测从2003年至2004年的SARS病人数量的变化情况。

可以考虑的到拟合的方法。

针对问题一：
1)合理性：附件1所给出的模型为：N(t)=NO(1+K)
它是基于现实中的自然状态，描述出了SARS传染病最核心最本质的变化趋势。

K 的取值采用半模拟循环计算方法，发展趋势由K值的变化体现。

该模型的优点在于简单，易行，方便对数据采用拟合处理和利用取对数求方差估计与实际数据的误差，说明了该模型所具有的合理性。

2)实用性：任何具有传染性的疾病大致都是会经历“发展(快速蔓延)期一相对稳定期一逐渐消亡期”这样的一个过程，附件一模型准确地体现出了这点，因此它具有普遍实用性。

3)模型的缺陷：此模型把实际问题过于简单化了，有不合理的地方：
(1)模型中的K的取值只能根据已经有的数据拟合，因此模型的精确度严重地依赖与所给数据的准确度。

实际中，统计所给的数据本身就有一定误差，拟合一个本身就包含偏差的数据势必造成与现实规律更大的背离。

我们根据图直观的看出，模型只能给出接近的前期发展趋势，后期拟合与实际曲线有相当误差。

(2)模型本身不具有预测性，它的K值是由数据拟合决定的。

如果背离题目本意，我们让K按照某种规律变化，预测发展趋势，其产生的误差是很大的。

(图略) (3)随着时间的推移，社会中存在各种控制的综合作用，用一个单纯笼统的K 的变化已很难刻画出复杂因素的影响，因为各种因素对SARS的影响不尽相同，有的可能抑制传播，有的则可能促进流行，致使模型的一致性在后期变差，误差越来越大。

因此，至少应设为某种函数形式，引入一些参量因子进行考虑。

(4)此模型单单刻画出了传染病的一般性，那么SARS和其它的传染病也就没什么
本质上的区别了，缺乏对其SARS的，特征进行具体深入分析。

针对问题二：
对于附件1的模型建立优于它的模型。

根据定义与假设列出相应的所需的方程组，由直接拟合推导各个参数存在较大的困难，因此采用整体拟合。

再通过相应式子计算预测每日新增的隔离的SARS病毒感染者，整理相应的数据；最后预测最终的累计感染非典人数。

据此，在后标题“模型的评论与改进”中阐述对卫生部门锁采取的措施的评论。

针对问题三
通过对早期模型和实际情况的分析，我们认为影响SARS传播因素众多，大致可分为时域因素和地域因素。

列举如下：
(1)时域因素
a．媒体宣传：初期疫情较轻，媒体宣传强度很弱，导致民众的自我保护意识不足，容易感染；后期疫情较重，媒体宣传强度很大，民众的自我保护意识大大加强。

b．政府干预：初期疫情较轻，政府介入不足，后期疫情较重，政府加强干预（如：强行隔离，公共场所消毒等行为）。

c．认识程度：当一种新的传染病出现时，初期由于人们的认识程度不足，无法采取有效的预防和治疗措施，但随着研究的深入，认识程度会越来越高。

(2)地域因素
a．经济水平和医学水平：经济水平和医学水平高的地区的疫情控制情况会明显比水平低的地方好。

b．人口密度和人口流动：人口密度和人口流动大的城市若爆发传染病，疫情程度会比人口密度和人口流动小的城市大。

c．气候：SARS适合在春秋两季传播，且各城市的气候会疫情程度。

综上我们认为一个较好的传染病传播模型因该具有如下功能：a．能较好的描述疫情的大致走势。

b．能较精确的给出关键时间（初期爆发时刻；中期稳定时刻；高峰期；0病例增长的时刻），以便政府和卫生部门针对不同作出及时而正确的措施。

c．能给出描述疫情的指标，以便政府和卫生部门决定其各项工作的力度。

4、模型的相关假设
1、所获得的数据由权威部门提供的全国疫情统计数据真实可信；
2、将SARS所有传播途径都视为与病源的接触
3、在疾病传播期所考察地区的总人数视为常数N，即认为本地区流入的人数与
流出的人数均相等，时间以天为单位：
4、假设每个病人单位时间有效接触人数r(所谓“有效接触”是指病人与健康这
接触时，足以使健康者受到感染而成为病人)为常数：
5、根据国家卫生部门资料可知处于潜伏期的SARS病人不具有传染性：
6、根据国家卫生部资料，SARS 康复者二度感染的概率为0，他们已经退出传染体系，因此将他们归为“退出者”。

7、将人群分为五类：
1. 健康者：(易感人群)
2．已被隔离的SARS 感染患者
①疑似病人：被隔离但没有确诊或排除的人员。

②确诊SARS 感染患者
3. 未被隔离的SARS 感染患者。

4. 治愈人群（不会传染SARS 的人群） ①死亡人群 ②治愈人群
5、模型的建立与求解
5.1 SARS 传播模型的建立
1． 根据之前的定义和假设，我们知道每个未被隔离的SARS 病毒感染者每天可以使1λS ()t 个健康易感染者，假设未被感染者的SARS 感染人数为()t Ni 。

因而知道每天被未隔离感染者感染的健康易感染者共有1λS ()t ()t Ni 。

同理，每天被已隔离的感染者感染的健康者共有()o Ne t S 2λ。

此外还知道每天新增被隔离的感染SARS 患者总数为：()()t iS i N 10λξ+。

综合可得出，每天新增的、未被隔离病人感染的数量总数为：
()t d d N
t
I
1λ=()t N i + ()o Ne t S 2λ—()()t iS i N 10λξ+ （1） 在每天新增被隔离的SARS 感染者中减去每天治愈的人数和死亡的人数，可以得到有效的每天感染者的数量： ()()00100
Ne Ne t iS i N d de N
t
βμλε--+= （2） 每日治愈人数
1
t I
d d N =0N
e υ （3）
每日死亡人数
0Ne d d N
t d
β (4)
并且，根据所占比例。

应有：
1)()()()()(=++++t e t d t r t i t S (5)
上述式（1）~（5）构成了求解SARS 模型所需的常微分方程组，即SARS 模型。

5.2问题的求解。

考虑到直接拟合推导各个比率参数, 存在很大的难度, 我们采取了整体拟合的策略, 以避免求解1λ、2λ、0ε、μ、β时遇到相关数据缺乏所造成的困难。

5.2.1预测最终的累计非典感染人数
根据假设，每日新增的SARS 病毒的感染者人数为 ())(10t iS i N λε+，其中有来自新收治病例的20%，来自疑似病例中的 80%，根据已知数据有当天新隔离感染者为：
())(10t iS i N λε+ =（当天确诊人数-前一天确诊人数）×20%+（后一天确诊人数-当天确诊人数）×80%
以2003年4月21日作为第一天，据此计算从4.21-5.17,每日新增隔离的病毒感染者人数如表1所示：
根据这27组数据，对表1所得计算结果进行简单的描点（如图1折线所示）其分布与指数曲线 bt ae t f -=)(近似(如图1曲线所示)，所以对其进行整体回归拟合得到的表达式为： t e t f 03538.05.147)(-=
通过拟合的曲线能够看到，在t=76的时候，新增隔离病毒感染者人数已近趋于0。

5.2.2 预测SARS 疫情结束的大致时间
当当天需要被隔离的人数降到0时，说明SARS 病毒已经不再传播，疫情已经解除。

每日处在隔离中的SARS 感染的总人数为N e 0。

N e 0=当天已经确诊的病例-当天死亡人数-当天治愈出院人数
t
1
2
3
4
5
6
7
8 9 ())(10t iS i N λε+ 113.4 105.2 85.5 98.6 109.4 123 93.2
.4 104 0Ne μ 10 3 9 9 9 3 2 0 5 0Ne β
7
3
7
4
3
6
8
3
7 dt de N 0
96.4 99.2 69.5 85.6 97.4 114 83.2 132.4 92 t
10
11 12
13
14
15
16
17
18
()()t iS i N 10λε+ 109
89 100.6 70.6 87.6 69.2 83.8 87.4 50.2 0Ne μ 7 10 9 6 3 3 13 7 11 0Ne β
9 7 9
5
4
3
4
3
2
dt de N 0
93 72 82.6 59.6 80.6 63.2 66.8 77.4 37.2 t
19
20
21
22
23 24
25
26
27
()()t iS i N 10λε+ 48.2 40.4 38.8 42.2
27
19 17.2 15.4 14.2
0Ne μ 6 7 11 22 36 8 5 16 34 0Ne β
2
2
4
9
5
5 1
1
4
dt de N 0
40.2 31.4 23.8 11.2 -14 6
11.2 -1.4 -23.8
对其进行简单的描点，其图像大致和高斯函数图像较为吻合，如图2所示
当N e 0=0时，也就是说在7月10或7月11左右，地区当天隔离的SARS 感染人数为0，我们预测此时的非典疫情结束。

6、模型评价及改进
1、评价
模型对地区中期的计算值与实际值基本吻合，说明该模型有一定的实用性。

但对后期预测与后来的实际情况却有一定差距，而实际上，各地区的政策及人们生活习惯各有所不同，因此用一个地区所获得的参数去预测另一地区，其结果只具有参考性，而不具备很强的可靠性。

所以该模型的实用性有一定局限。

经过计算，以4月20 日作为严格隔离开始时间，那么在外未被隔离的病人大概为1500人，如果严格隔离往后推5天，那么开始严格隔离时的在外患者人数约为2500人，那么这样的结果时SARS 的疫情大大加深，当然，如果严格隔离提前5天起，那个疫情将会减轻。

为了简化计算，我们的模型中没有考虑SARS 病的潜伏期，SARS 病毒的潜伏期一般为2-7天，并在潜伏期，该病人不具有传染性，因此对
最终SARS病毒感染者的总数没有太大影响，但它明显一定程度会影响高峰期和结束期，这是该预测模型需要改进的地方。

模型采用微分方程本身就有一定的缺限，其计算结果的准确性、可靠性将受到限制，再加之数值解的不确定性，模型对长时间的预测有它的局限性。

因时间限制模型没能更多考虑交叉分类进行。

2、改进
若能建立以随机偏微分方程组为基础的数学模型，将大大提高计算的准确性与可靠性，使得预测更加准确，但这样做将遇到模型求解，数据准确收集和数值求解的不精确性等诸多困难。

参考文献
[1]中华人民国卫生部，http：／／．m0h．gov．／
[2]百度百科：http：／／.baidu.／
[3]王树禾著．常微分方程模型与混沌[M]．
[4]朱道元编著．数学建模精品案例[M]．东南大学，1999年8月第1版
[5]王兵团编著.数学建模基础。

[6]吴建国编著.数学建模案例精编。

附录
附件1：市疫情的数据
( 据：./Resource/Detail.asp?ResourceID=66070)
已确诊病例
累计现有疑似病
例
死亡累计
治愈出院累
计
当天退出数
当天病人数
当天病例退出率治愈率
3394021833174310.0394430.076566 482610254365200.0115380.082692 5886662846166190.0258480.074313 6937823555136840.0190060.080409 7748633964127740.0155040.082687 877954427398730.0103090.08362 98810934876109900.0101010.076768
111412555678310650.0028170.073239 1199127559781212100.0099170.064463 1347135866831612910.0123930.064291 1440140875901713880.0122480.064841 15531415821001814540.012380.068776 16361468911091115410.0071380.070733 1741149396115715920.0043970.072236 18031537100118616790.0035740.07028 189715101031211717360.0097930.0697 196015231071341018080.0055310.074115 204915141101411318850.0068970.074801 213614861121521819130.0094090.079456 21771425114168919450.0046270.086375 222713971161751519740.0075990.088652 226514111203119980.0155160.093093 230413781292084120100.0203980.103483 234713381342441319920.0065260.12249 23701308252619970.0030050.126189 238813171402571720080.0084660.127988 240512651412733820060.0189430.136092 242012501453072719820.0136230.154894 243412501473322019580.0102150.169561 243712491503495019450.0257070.179434 244412251543955418950.0284960.208443 244412211564478318530.0447920.24123 245612051585285617790.0314780.296796 246511791605828817480.0503430.332952 249011346674116690.0245660.399641 249911051677044416330.0269440.431108 250410691687478515970.0532250.467752 251210051728284115140.0270810.546896 25149411758666314760.0426830.586721 25178031769287914160.0557910.655367 252076017710068513380.0635280.751868 2521747181108797512530.7781320.867518 25217391902053672780.2410077.384892 25217341902120352110.16587710.04739 25217241912154171760.09659112.23864 25217181912171181590.11320813.65409 25217161912189421410.29787215.52482 2521713191223126990.26262622.53535 2521550191225720730.27397330.91781
2521 451 191 2277 -1163 54 -21.537 42.16667 2522 351 181 1124 33 1217 0.027116 0.923583 2522 71 181 1157 32 1184 0.027027 0.977196 2522 4 181 1189 74 1152 0.064236 1.032118 2522 3 181 1263 58 1078 0.053803 1.171614 2522 668 181 1321 84 1020 0.082353 1.295098 2522 257 183 1403 141 936 0.150641 1.498932 2522 155 184 1543 110 795 0.138365 1.940881 2522 3 184 1653 96
685
0.140146 2.413139 2522 5 1747 589 0.336163 2.966044 2522 4 187 1944 52 391 0.132992 4.971867 2522 3 1994 21 339 0.061947 5.882006 2522 3 2015 -575 319 -1.80251 6.316614
2523 2 183 1446 378 894 0.422819 1.61745 2523 2 1821 56 516
0.108527
3.52907
2523
2
187
1876
-0.28988 3.118497
附件3：市接待海外旅游人数（单位：万人）
附4
附5
x=1:1:27;
y=[113.4 , 105.2, 85.8 , 98.6 , 109.4 , 123 , 93.2 , .4 , 104 , 109 , 89 , 100.6 , 70.6 , 87.6 , 69.2 , 83.8 , 87.4 , 50.2 , 43.2 , 40.4 , 38.8 , 42.2 , 27 , 19 , 17.2 , 15.4 , 14.2];
plot(x,y);
clf;
x=1:1:27;
y=[113.4 , 105.2, 85.8 , 98.6 , 109.4 , 123 , 93.2 , .4 , 104 , 109 , 89 , 100.6 , 70.6 , 87.6 , 69.2 , 83.8 , 87.4 , 50.2 , 43.2 , 40.4 , 38.8 , 42.2 , 27 , 19 , 17.2 , 15.4 , 14.2];
plot(x,y);hold on;
p2=polyfit(x,y,2);
p3=polyfit(x,y,3);
p7=polyfit(x,y,7);
disp('二次拟合曲线'),p2
disp('三次拟合曲线'),p3
disp('七次拟合曲线'),p7
x1=0:1:27;
y2=polyval(p2,x1);
y3=polyval(p3,x1);
y7=polyval(p7,x1);
plot(x,y,'rp',x1,y2,'--',x1,y3,'k-.',x1,y7)
legend('拟合点','二次拟合','三次拟合','七次拟合')
x=0:1:120;
z=258.3*epx(-0.08675*c);
plot(x,y);
x=1:1:150;
y=1997*exp(-((x-26.56)/22.94).^2);
x1=1:1:64;
y1=[288,
414,
514,
603,
671,
762,
864,
980,
1062,
1198,
1275,
1371,
1436,
1530,
1585,
1673,
1719,
1872, 1895, 1936, 1959, 1967, 1969, 1979, 1991, 1991, 1968, 1955, 1938, 1895, 1841, 1770, 1723, 1660, 1628, 1589, 1512, 1473, 1413, 1337, 1253, 1217, 1184, 1152, 1078, 1020, 936, 894, 795, 685, 589, 516, 460, 391, 339, 318, 278, 211, 176, 159,
99,
73]
plot(x,y,'r',x1,y1,'b');
legend('每日处在SARS隔离的总人数拟合','每日处在SARS隔离的总人数');
xlabel('图2 每日处在SARS隔离的总人数拟合图');
x=1:1:27;
y=[96.4,99.2,69.5 , 85.6 ,97.4,114 , 83.2 , 132.4 , 92 93 , 72 , 82.6 , 59.6 , 80.6 , 63.2 , 66.8 , 77.4 , 37.2 , 40.2 , 31.4 , 23.8 , 11.2 , -14 , 6 , 11.2 , -1.4 , -23.8]; plot(x,'g',y,'y');cl。