§18.1隐函数解析

1 存在某邻域 U (P0 ) D，在 U (P0 ) 内由方程 (1) 惟一地确定了一个隐函数
y f ( x), x ( x0 , x0 ),
它满足： f ( x0 ) y0, 且当 x ( x0 , x0 ) 时, 使得
( x, f ( x)) U (P0 ), F ( x, f ( x)) 0;
(d) 利用介值性
(a) “一点正, 一片正 ” 由条件 (iv), 不妨设
Fy ( x0 , y0 ) 0. 因为 Fy( x, y) 连续，所以根据
保号性， 0, 使得
y
y0
y0
y0
+ + + ++
S +
+
+ +
+ +
+ +
+ +
+
+
•+ +
+
++ ++
++ +
+
++ +
++ +
+ ++ ++ +
O x0 x0 x0 x
(a) 一点正,一片正
Fy(x, y) 0, (x, y) S,
其中 S [ x0 , x0 ] [ y0 , y0 ] D.
(b) “正、负上下分 ”
因 Fy( x, y) 0, ( x, y) S, 故 x [x0 , x0 ],
把 F( x, y) 看作 y 的函数，它在 [ y0 , y0 ] 上
就不能确定函数 f (x)，使：x2 f (x)2 c2 0
2. 隐函数的两个问题 ⅰ> 隐函数的存在唯一性？ ⅱ> 隐函数的解析性质（连续性、可微性）？
18.1.2. 隐函数存在条件的直观意义
为了隐函数y=f(x)或 x=g(y)存在,即 z=F(x,y)与z=0相交
(1). P0 (x0, y0 ),使 F (x0, y0 ) 0 ;
第十八章 隐函数定理及其应用
§18.1 隐函数 §18.2隐函数组 §18.3几何应用 §18.4条件极值
§18.1 隐函数
18.1.1 隐函数概念 18.1.2. 隐函数存在条件的直观意义 18.1.3. 隐函数定理 18.1.4. 隐函数可微性定理
18.1.1 隐函数概念
以前遇到的函数表示式大多为自变量的算式： 如： y (1 x2)ln x 、z xeu ( ysin v cosv)。
2 f ( x) 在 ( x0 , x0 ) 上连续．
证 首先证明隐函数的存在与惟一性．
证明过程归结起来有以下四个步骤 ( 见图18－1 )：
y
y0
y0
y0
+ + +
+ + +
+++++++++++++•+++++++++++++++++++++
O x0 x0 x0 x
y
+
y0
＋•
当Fy (P0 ) 0时,得 : dy Fx (P0 )
dx xx0
Fy (P0 )
同理,当Fx (P0 ) 0时,得 : dx Fy (P0 )
dy y y0
Fx (P0 )
18.1.3 隐函数定理
定理18.1 ( 隐函数存在惟一性定理 ) 设方程 (1) 中 的函数 F(x, y) 满足以下四个条件： (i) 在以 P0( x0 , y0 )为内点的某区域 D R2上连续； (ii) F ( x0 , y0 ) 0 ( 初始条件 )； (iii) 在 D 内存在连续的偏导数 Fy( x, y)； (iv) Fy ( x0, y0 ) 0. 则有如下结论成立：
sin x cos x 这种函数称为显函数。
1. 隐函数及其几何意义 以F(x, y) 0为例作介绍
定义 1：设 F (x, y)是定义在区域 D R2上的
二元函数，若存在区间I，对于I中的每一个 x的
值，恒有区间J上唯一的一个 y值，与 x一起满
足方程：
F( x, y) 0
则称方程(1) 确定了一个定义域为 I ，值域含于 J
＋
y0
_＋__• 0
y0
_•
O x0 x0 x0 x
(a) 一点正,一片正
(b) 正、负上下分
y
y0
y0
＋＋•＋＋
•
y0
• － － － －
O x0 x0 x0 x
(c) 同号两边伸
y
y0
y0
• ＋＋＋＋ U (P0 )
•
y0
y f (x) • － － － －
O x0 x0 x0 x
图 18－1
中的隐函数。这个函数就称为由方程(1)所确定
的隐函数，若把它记作： f (x), x I，
则在I上成立恒等式：F x, f (x) 0。
隐函数的几何意义 z
z F(x, y)
o
y F(x, y) 0,
x
即 y f (x), x I
隐函数 y f (x)有时是初等函数。这时，隐函
数通常能用显函数形式表示。
隐函数 y f (x)有时是非初等函数。这时，不
能写出隐函数的显函数形式，例如：
1).开普勒方程x y sin y 0 (0 1)
2).方程 xy yx 0 (x y)
它们确定的隐函数 y f (x)皆不能被解出。 二元方程F(x, y) 0未必都能确定隐函数。
例如方程 x2 y2 c2 0 (c 0)
z
为了y=f(x)或 x=g(y)存在,连续
z F(x, y)
（2）可设F 在点P0可微，且
Fx (P0), Fy (P0) (0,0) (2)
o
y f (x)
•P0
x
这样F 在P0切平面存在, 且与 z 0相交成直线。 y 为了y=f(x)或 x=g(y)连续 （3）设F 在U (P0 )连续；
进 一 步 ， F 在 点 P0 可 微 的 条 件 下 ， 交 线 y f (x)或 x g( y)在P0处的切线 l 存在。于是， 隐函数 y f (x)或 x g( y)在点P0可微，且
在P0点,(1)的两端关于x求导,由链式法则,得 : dy
Fx (P0 ) Fy (P0 ) dx xx0 0
例如，1). 从方程ln x2 2x 1 ln y 0中，
能写出隐函数的显函数形式
：y
x2
1 2x
1
2). 从方程 x2 1 y2 1 1 0中，能解出
隐函数： y1
1
1 x2
1
与
y2
1
1。 x2 1
二个。
于是,指明确定隐函数的方程及其x, y的取值范围后,
该隐函数才有意义.
严格增，且连续 ( 据条件 (i) )．
y
+
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
特别对于函数 F ( x0 , y) , 由条 y0
•＋