数字图像处理 第三章图像变换
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5、分配律
F{ f1(x, y) f2 (x, y)} F{ f1(x, y)} F{ f2(x, y)} F{ f1(x, y) • f2 (x, y)} F{ f1(x, y)]• F[ f2(x, y)}
第三章图像变换
傅立叶变换性质
第三章图像变换
傅立叶变换性质
6、尺度变换
对于系数a和b
MN x0 y0
式中：u 0,1, 2,L , M 1;
v 0,1, 2,L , N 1
M 1 N 1
f x, y
F u, v e j2 ux M vy N
u0 v0
式中：x 0,1, 2,L , M 1;
y 0,1, 2,L , N 1
在数字图象处理中，图象一般取方形，
即M N.
▪ 显示理解：中间低频，周围高频
▪ 对数显示：减缓衰减速度，便于理解，通常采用 lg(1+|F(u,v)|)对数显示，
第三章图像变换
图像中心化
（a）原图像
（b)傅里叶变换 后图像
（c）中心化 后图像
（d）对数显示 图像
第三章图像变换
典型图像的傅立叶变换
第三章图像变换
实际图像的傅立叶变换
图(a)的图像反差比较柔和，反映在傅里叶频谱上低频分量较多， 频谱图中心值较大（中心为频域原点）。 图(b)的图像中有较规则的线状物，反映在傅里叶频谱上也有比 较明显的射线状条带。
(a)
(b)
第三章图像变换
3.2.3 傅立叶变换性质
❖二维离散傅立叶变换特性
变换可分离性 比例性质 对称性 旋转不变性 卷积
线性 空间和频率位移 周期与共轭对称 均值性 相关
第三章图像变换
傅立叶变换性质
1、周期与共轭对称
第三章图像变换
傅立叶变换性质
周期性
M,N为变换周期
F (u, v) F (u M , v) F (u, v N ) F (u M , v N ) f (x, y) f (x M , y) f (x, y N ) f (x M , y N )
e j 2 (u0x / M v0 y / N ) e j ( x y) (1) x y
f (x, y)(1)xy F(u M / 2, v N / 2) f (x M / 2, y N / 2) F(u, v)(1)uv
第三章图像变换
傅立叶变换性质
第三章图像变换
傅立叶变换性质
第三章图像变换
第三章 图像变换
第三章图像变换
什么是图像变换？
❖图像变换：图像变换是将图像从空间域变 换到其他域的数学变换。
❖这种变换方法针对于数学函数而言。
空间域：研究对象是空间坐标函数 I=f（x，y）
频率域：研究对象是频率函数 I=f（w）
第三章图像变换
图像变换的目的
❖目的：
▪ 简化图像处理问题 ▪ 有利于图像特征提取 ▪ 有助于对图像信息概念的理解
平 移 性
幅 度 谱
不
变
，
相
位
谱
改
变
第三章图像变换
傅立叶变换性质
3、平移性 f (x x0 , y y0 ) F (u, v)e j2 (ux0 / M vy0 / N ) f (x, y)e j2 (u0x / M v0 y / N ) F (u u0 , v v0 )
当u0=M/2, v0=N/2
共轭对称：傅立叶变换结果是以原点为中心的共 轭对称函数
F (u, v) F *(u,v)
F (u, v) F *(u,v)
第三章图像变换
傅立叶变换性质
2、可分离性
二维离散傅立叶变换DFT可分离性的基本思想 是：
二维DFT可分离为两次一维DFT
应用： 二维快速傅立叶算法FFT ，是通过计算两次
一维FFT实现的
第三章图像变换
傅立叶变换性质
▪ 先对列做变换：
（0，0）
y （0，0）
v
f(x,y)
F(x,v)
x
（N-1，M-1）
然后对行进行变换：
x
（N-1，M-1）
（0，0）
v （0，0）
v
F(x,v)
F(u,v)
x
（N-1，M-1）
u
（N-1，M-1）
第三章图像变换
傅立叶变换性质
幅度谱
相位谱
第三章图像变换
傅立叶谱谱显示特性
❖ 傅里叶谱显示特性
f (x, y)(1)x y F (u N , v N )
2
2
F (u, v) F f (x, y)(1)x y
▪ 中心位移：将傅里叶谱原点移到窗口中心。由于实际 变换结果左上、下和右上、下四个角对应低频成分， 中央部分对应高频成分。为适应人的视觉习惯，需要 通过换位方法，将中央和四周位置互换。
af (x, y) aF(u, v) f (ax,by) 1 F(u / a, v / b)
ab
▪ 时域扩展引起频域的压缩，反之亦然
第三章图像变换
图像尺寸放大
af(x,y)放大
512x512 FFT
256x256 FFT
第三章图像变换
图像比例放大
f（ax,by）比例放大
512x512 FFT
……
第三章图像变换
附：正交变换
❖连续函数集合的正交性
第三章图像变换
正交变换
❖正交函数的离散情况
第三章图像变换
正交变换
❖一维正交变换
第三章图像变换
主要内容
❖预备知识 ❖傅立叶变换 ❖其他可分离图像变换
第三章图像变换
3.1 预备知识
3.1.1 单位脉冲函数
❖ 图像可以看成由多个像素组成，每个像素可以 看成为一个点源。
❖ 线性位移不变系统的输出等于系统的输入和系统脉冲响应 的卷积
g(x， y)= f(x， y)* h (x， y)
第三章图像变换
3.2 傅立叶变换
❖傅立叶变换:
周期函数可以表示为 不同频率的正弦和/或 余弦和的形式
非周期函数可以用正 弦和/或余弦乘以加权 函数的积分来表示
傅里叶变化域—频域
第三章图像变换
F (u, v) | F (u, v) | e j φ(u,v)
| F (u, v) | R 2 (u, v) I 2 (u, v)
(u, v) arc tan I (u, v)
R(u, v) P(u, v) | F (u, v) |2 R 2 (u, v) I 2 (u, v)
第三章图像变换
❖ 系统：
x(t)输入
系统
y(t)输出
❖ 线性系统：对于某特定系统，有
x1(t) y1(t)
x2(t) y2(t) 该系统是线性的当且仅当：
x1(t) + x2(t)
y1(t) + y2(t)线性条件
从而有：a×x1(t) a×y1(t) 齐次性条件
第三章图像变换
线性位移不变系统
❖ 二维线性系统 综合线性系统的线性条件和齐次性条件，二维线
3.2.2 离散傅立叶变换
❖离散傅立叶变换： 由于实际问题的时间或空间函数的区间是
有限的，或者是频谱有截止频率 离散傅立叶变换(Discrete Fourier
Transform－简称DFT)在数字信号处理和数 字图像处理中应用十分广泛，它建立了离 散时域和离散频域之间的联系
第三章图像变换
一维离散傅立叶变换
512x512 FFT
FFT频域压缩
第三章图像变换
傅立叶变换性质
7、均值性
离散函数的均值等于该函数傅立叶变换在(0,0)点
的值
f
(x,
y)
1 MN
x
y
f
(x,
❖ 点源可用狄拉克函数表示，即单位脉冲函数
δ(x，y)
(x, y) x0, y0
0 其他
y
满足 x
(
x,
y)dxdy
(
x,
y)dxdy
1
第三章图像变换
单位脉冲函数性质
▪ 偶函数； (x, y) (x, y)
▪ 位移性；
f
(x,
y)
f
(
,
)
(
x
,
y
)d
d
f (x, y)* (x, y)
1 1
1 j
1 1
1
j
WW443200
W421 W431
W422 W432
W423 W433
1 1
1 j
1 1
1
j
第三章图像变换
二维离散傅立叶变换
❖二维傅立叶变换：
容易将一维离散傅立叶变换推广到二维情况
F u,v
1
M 1 N 1
f
x, y e j 2 ux M vy N
则 f (x , y ) f (x, y)* (x , y )
▪ 可分性； (x, y) (x) ( y)
▪ 采样性
f
(x, y) (x , y )dxdy
f
(, )
当 0时， （f 0,0）=
f
(
x,
y
)
(
x,
y)dxdy
第三章图像变换
3.1.2 线性位移不变系统
❖一维离散傅立叶变换
设离散函数f x为相应连续函数取N个间隔x的取样值。
f x f x0 xx
离散函数的傅立叶变换对为
x=0,1,…,N-1
F u
1 N 1
f
j 2 ux
xe N
N x0
NBiblioteka Baidu1
j 2 ux
f x F ue N
x0
u=0,1,…,N-1
第三章图像变换
离散傅里叶变换满足正交条件
性系统表示为T[a1 f1 (x， y)+ a2 f2 (x， y) ]= a1T[ f1 (x， y) ]+ a2T[ f2 (x， y) ]
❖ 二维线性平移不变系统
▪ h(平x，移y)不，变则性当：输若入点信脉号冲沿函时数间δ轴(x平， y移) ，有系：统脉冲响应
δ(x –α,y-β)
h(x –α,y-β)
复数形式 ▪ 振幅
F (u) R(u) jI (u)
其中R(u)= f (x) cos(x)dx - I (u)=- f (x) sin(x)dx -
| F (u) | R2 (u) I 2 (u)
▪ 相位 ▪ 能量
(u)
arctan
I (u) R(u)
P(u) | F (u) |2 R2 (u) I 2 (u)
f f f f
(0)
(1)
(2)
(3)
e0
e
j 3 2
f f
(0)
(1)
e j f (2)
j
e2
f
(3)
第三章图像变换
❖ 对前述N＝4情况，设每一个矩阵元表示成
WNux
e
j 2 ux N
W WW441000
W401 W411
W402 W412
W403 W413
一维连续傅立叶变换
❖一维连续傅立叶变换
设函数 f (x)为实变量的连续函数，则其傅立 叶变换定义为
其逆变换为
F (u) f (x)e j2uxdx
f (x) F (u)e j2uxdu
第三章图像变换
一维连续傅立叶变换
❖欧拉公式 傅立叶变换中的变量u通常称为频率变量， 源于欧拉公式中的指数项
0频率空间
低频率空间
高频率空间
图 频率与空间的对应
第三章图像变换
常用的几种图像变换
❖ 常用的变换方式为二维正交可逆变换。正交变换 特点是变换域中图像能量主要集中分布在低频率 成分上，边缘、线信息反映在高频成分上。
❖ 常用变换算法：
▪ 傅立叶变换 ▪ 沃尔什-哈达玛变换 ▪ 哈尔变换 ▪ 离散余弦变换 ▪ 小波变换
4 x0
第三章图像变换
e0
F (0)
F
(1)
F (2)
F
(3)
1 4
e0 e0
e0
e0
1 e0 4 e0
e0
e0
j
e2
j 2
e2
j 3
e2
e0
j
e2 e j
j 3
e2
e0
j 2
e2
j 4
e2
j 6
e2 e0
e j e j2
e j
e0
e
e
e
j 3 2
j 6 2
j 9 2
第三章图像变换
二维连续傅立叶变换
❖二维连续傅立叶变换：如果二维函数f(x, y) 连续可
积，F(u,v)可积,则将有下面的傅立叶变换对存在：
F (u, v)
f ( x, y)e j 2π(uxvy)dxdy
f (x, y)
F (u, v)e j 2π(uxvy)dudv
二维傅立叶变换的傅立叶谱和相位谱为：
傅立叶变换性质
4、旋转特性 如果f(x,y)旋转了一个角度，那么f(x,y)旋转后的图象 的傅立叶变换也旋转了相同的角度 。
x r cos , y r sin ,u cos, v sin f (r, 0 ) F(, 0 ) F(, 0 ) f (r, 0 )
第三章图像变换
傅立叶变换性质
exp[-j2ux] = cos2ux - jsin2ux
如果把傅立叶变换的积分解释为离散项的和，易 推出F(u)是一组sin和cos函数项的无限和，其中 频率变量u的每个值决定了其相应cos, sin函数对 的频率。
第三章图像变换
一维连续傅立叶变换
❖ 函数f(x)的傅立叶变换后一般是一个复量，它 可以用下式表示：
1
N
N 1
exp
x0
j2 u1x
/
N exp
j2 u2x
/
N
1 0
if u1 u2 elsewhere
N 4 的原信号序列的傅氏变换 f (x) f (0), f (1), f (2), f (3)
F (u) 1 N1 f (x) exp j2ux / N
N x0
1 41 f (x) exp j2ux / 4
F{ f1(x, y) f2 (x, y)} F{ f1(x, y)} F{ f2(x, y)} F{ f1(x, y) • f2 (x, y)} F{ f1(x, y)]• F[ f2(x, y)}
第三章图像变换
傅立叶变换性质
第三章图像变换
傅立叶变换性质
6、尺度变换
对于系数a和b
MN x0 y0
式中：u 0,1, 2,L , M 1;
v 0,1, 2,L , N 1
M 1 N 1
f x, y
F u, v e j2 ux M vy N
u0 v0
式中：x 0,1, 2,L , M 1;
y 0,1, 2,L , N 1
在数字图象处理中，图象一般取方形，
即M N.
▪ 显示理解：中间低频，周围高频
▪ 对数显示：减缓衰减速度，便于理解，通常采用 lg(1+|F(u,v)|)对数显示，
第三章图像变换
图像中心化
（a）原图像
（b)傅里叶变换 后图像
（c）中心化 后图像
（d）对数显示 图像
第三章图像变换
典型图像的傅立叶变换
第三章图像变换
实际图像的傅立叶变换
图(a)的图像反差比较柔和，反映在傅里叶频谱上低频分量较多， 频谱图中心值较大（中心为频域原点）。 图(b)的图像中有较规则的线状物，反映在傅里叶频谱上也有比 较明显的射线状条带。
(a)
(b)
第三章图像变换
3.2.3 傅立叶变换性质
❖二维离散傅立叶变换特性
变换可分离性 比例性质 对称性 旋转不变性 卷积
线性 空间和频率位移 周期与共轭对称 均值性 相关
第三章图像变换
傅立叶变换性质
1、周期与共轭对称
第三章图像变换
傅立叶变换性质
周期性
M,N为变换周期
F (u, v) F (u M , v) F (u, v N ) F (u M , v N ) f (x, y) f (x M , y) f (x, y N ) f (x M , y N )
e j 2 (u0x / M v0 y / N ) e j ( x y) (1) x y
f (x, y)(1)xy F(u M / 2, v N / 2) f (x M / 2, y N / 2) F(u, v)(1)uv
第三章图像变换
傅立叶变换性质
第三章图像变换
傅立叶变换性质
第三章图像变换
第三章 图像变换
第三章图像变换
什么是图像变换？
❖图像变换：图像变换是将图像从空间域变 换到其他域的数学变换。
❖这种变换方法针对于数学函数而言。
空间域：研究对象是空间坐标函数 I=f（x，y）
频率域：研究对象是频率函数 I=f（w）
第三章图像变换
图像变换的目的
❖目的：
▪ 简化图像处理问题 ▪ 有利于图像特征提取 ▪ 有助于对图像信息概念的理解
平 移 性
幅 度 谱
不
变
，
相
位
谱
改
变
第三章图像变换
傅立叶变换性质
3、平移性 f (x x0 , y y0 ) F (u, v)e j2 (ux0 / M vy0 / N ) f (x, y)e j2 (u0x / M v0 y / N ) F (u u0 , v v0 )
当u0=M/2, v0=N/2
共轭对称：傅立叶变换结果是以原点为中心的共 轭对称函数
F (u, v) F *(u,v)
F (u, v) F *(u,v)
第三章图像变换
傅立叶变换性质
2、可分离性
二维离散傅立叶变换DFT可分离性的基本思想 是：
二维DFT可分离为两次一维DFT
应用： 二维快速傅立叶算法FFT ，是通过计算两次
一维FFT实现的
第三章图像变换
傅立叶变换性质
▪ 先对列做变换：
（0，0）
y （0，0）
v
f(x,y)
F(x,v)
x
（N-1，M-1）
然后对行进行变换：
x
（N-1，M-1）
（0，0）
v （0，0）
v
F(x,v)
F(u,v)
x
（N-1，M-1）
u
（N-1，M-1）
第三章图像变换
傅立叶变换性质
幅度谱
相位谱
第三章图像变换
傅立叶谱谱显示特性
❖ 傅里叶谱显示特性
f (x, y)(1)x y F (u N , v N )
2
2
F (u, v) F f (x, y)(1)x y
▪ 中心位移：将傅里叶谱原点移到窗口中心。由于实际 变换结果左上、下和右上、下四个角对应低频成分， 中央部分对应高频成分。为适应人的视觉习惯，需要 通过换位方法，将中央和四周位置互换。
af (x, y) aF(u, v) f (ax,by) 1 F(u / a, v / b)
ab
▪ 时域扩展引起频域的压缩，反之亦然
第三章图像变换
图像尺寸放大
af(x,y)放大
512x512 FFT
256x256 FFT
第三章图像变换
图像比例放大
f（ax,by）比例放大
512x512 FFT
……
第三章图像变换
附：正交变换
❖连续函数集合的正交性
第三章图像变换
正交变换
❖正交函数的离散情况
第三章图像变换
正交变换
❖一维正交变换
第三章图像变换
主要内容
❖预备知识 ❖傅立叶变换 ❖其他可分离图像变换
第三章图像变换
3.1 预备知识
3.1.1 单位脉冲函数
❖ 图像可以看成由多个像素组成，每个像素可以 看成为一个点源。
❖ 线性位移不变系统的输出等于系统的输入和系统脉冲响应 的卷积
g(x， y)= f(x， y)* h (x， y)
第三章图像变换
3.2 傅立叶变换
❖傅立叶变换:
周期函数可以表示为 不同频率的正弦和/或 余弦和的形式
非周期函数可以用正 弦和/或余弦乘以加权 函数的积分来表示
傅里叶变化域—频域
第三章图像变换
F (u, v) | F (u, v) | e j φ(u,v)
| F (u, v) | R 2 (u, v) I 2 (u, v)
(u, v) arc tan I (u, v)
R(u, v) P(u, v) | F (u, v) |2 R 2 (u, v) I 2 (u, v)
第三章图像变换
❖ 系统：
x(t)输入
系统
y(t)输出
❖ 线性系统：对于某特定系统，有
x1(t) y1(t)
x2(t) y2(t) 该系统是线性的当且仅当：
x1(t) + x2(t)
y1(t) + y2(t)线性条件
从而有：a×x1(t) a×y1(t) 齐次性条件
第三章图像变换
线性位移不变系统
❖ 二维线性系统 综合线性系统的线性条件和齐次性条件，二维线
3.2.2 离散傅立叶变换
❖离散傅立叶变换： 由于实际问题的时间或空间函数的区间是
有限的，或者是频谱有截止频率 离散傅立叶变换(Discrete Fourier
Transform－简称DFT)在数字信号处理和数 字图像处理中应用十分广泛，它建立了离 散时域和离散频域之间的联系
第三章图像变换
一维离散傅立叶变换
512x512 FFT
FFT频域压缩
第三章图像变换
傅立叶变换性质
7、均值性
离散函数的均值等于该函数傅立叶变换在(0,0)点
的值
f
(x,
y)
1 MN
x
y
f
(x,
❖ 点源可用狄拉克函数表示，即单位脉冲函数
δ(x，y)
(x, y) x0, y0
0 其他
y
满足 x
(
x,
y)dxdy
(
x,
y)dxdy
1
第三章图像变换
单位脉冲函数性质
▪ 偶函数； (x, y) (x, y)
▪ 位移性；
f
(x,
y)
f
(
,
)
(
x
,
y
)d
d
f (x, y)* (x, y)
1 1
1 j
1 1
1
j
WW443200
W421 W431
W422 W432
W423 W433
1 1
1 j
1 1
1
j
第三章图像变换
二维离散傅立叶变换
❖二维傅立叶变换：
容易将一维离散傅立叶变换推广到二维情况
F u,v
1
M 1 N 1
f
x, y e j 2 ux M vy N
则 f (x , y ) f (x, y)* (x , y )
▪ 可分性； (x, y) (x) ( y)
▪ 采样性
f
(x, y) (x , y )dxdy
f
(, )
当 0时， （f 0,0）=
f
(
x,
y
)
(
x,
y)dxdy
第三章图像变换
3.1.2 线性位移不变系统
❖一维离散傅立叶变换
设离散函数f x为相应连续函数取N个间隔x的取样值。
f x f x0 xx
离散函数的傅立叶变换对为
x=0,1,…,N-1
F u
1 N 1
f
j 2 ux
xe N
N x0
NBiblioteka Baidu1
j 2 ux
f x F ue N
x0
u=0,1,…,N-1
第三章图像变换
离散傅里叶变换满足正交条件
性系统表示为T[a1 f1 (x， y)+ a2 f2 (x， y) ]= a1T[ f1 (x， y) ]+ a2T[ f2 (x， y) ]
❖ 二维线性平移不变系统
▪ h(平x，移y)不，变则性当：输若入点信脉号冲沿函时数间δ轴(x平， y移) ，有系：统脉冲响应
δ(x –α,y-β)
h(x –α,y-β)
复数形式 ▪ 振幅
F (u) R(u) jI (u)
其中R(u)= f (x) cos(x)dx - I (u)=- f (x) sin(x)dx -
| F (u) | R2 (u) I 2 (u)
▪ 相位 ▪ 能量
(u)
arctan
I (u) R(u)
P(u) | F (u) |2 R2 (u) I 2 (u)
f f f f
(0)
(1)
(2)
(3)
e0
e
j 3 2
f f
(0)
(1)
e j f (2)
j
e2
f
(3)
第三章图像变换
❖ 对前述N＝4情况，设每一个矩阵元表示成
WNux
e
j 2 ux N
W WW441000
W401 W411
W402 W412
W403 W413
一维连续傅立叶变换
❖一维连续傅立叶变换
设函数 f (x)为实变量的连续函数，则其傅立 叶变换定义为
其逆变换为
F (u) f (x)e j2uxdx
f (x) F (u)e j2uxdu
第三章图像变换
一维连续傅立叶变换
❖欧拉公式 傅立叶变换中的变量u通常称为频率变量， 源于欧拉公式中的指数项
0频率空间
低频率空间
高频率空间
图 频率与空间的对应
第三章图像变换
常用的几种图像变换
❖ 常用的变换方式为二维正交可逆变换。正交变换 特点是变换域中图像能量主要集中分布在低频率 成分上，边缘、线信息反映在高频成分上。
❖ 常用变换算法：
▪ 傅立叶变换 ▪ 沃尔什-哈达玛变换 ▪ 哈尔变换 ▪ 离散余弦变换 ▪ 小波变换
4 x0
第三章图像变换
e0
F (0)
F
(1)
F (2)
F
(3)
1 4
e0 e0
e0
e0
1 e0 4 e0
e0
e0
j
e2
j 2
e2
j 3
e2
e0
j
e2 e j
j 3
e2
e0
j 2
e2
j 4
e2
j 6
e2 e0
e j e j2
e j
e0
e
e
e
j 3 2
j 6 2
j 9 2
第三章图像变换
二维连续傅立叶变换
❖二维连续傅立叶变换：如果二维函数f(x, y) 连续可
积，F(u,v)可积,则将有下面的傅立叶变换对存在：
F (u, v)
f ( x, y)e j 2π(uxvy)dxdy
f (x, y)
F (u, v)e j 2π(uxvy)dudv
二维傅立叶变换的傅立叶谱和相位谱为：
傅立叶变换性质
4、旋转特性 如果f(x,y)旋转了一个角度，那么f(x,y)旋转后的图象 的傅立叶变换也旋转了相同的角度 。
x r cos , y r sin ,u cos, v sin f (r, 0 ) F(, 0 ) F(, 0 ) f (r, 0 )
第三章图像变换
傅立叶变换性质
exp[-j2ux] = cos2ux - jsin2ux
如果把傅立叶变换的积分解释为离散项的和，易 推出F(u)是一组sin和cos函数项的无限和，其中 频率变量u的每个值决定了其相应cos, sin函数对 的频率。
第三章图像变换
一维连续傅立叶变换
❖ 函数f(x)的傅立叶变换后一般是一个复量，它 可以用下式表示：
1
N
N 1
exp
x0
j2 u1x
/
N exp
j2 u2x
/
N
1 0
if u1 u2 elsewhere
N 4 的原信号序列的傅氏变换 f (x) f (0), f (1), f (2), f (3)
F (u) 1 N1 f (x) exp j2ux / N
N x0
1 41 f (x) exp j2ux / 4