绳子拉船问题的理解与求解

绳子拉船问题的理解与求解

江西省都昌县第一中学李一新

绳子拉船问题是运动的合成与分解中的典型例子。很多学生对此问题的理解都感到非常困难，怎样使学生正确地理解和掌握这个问题呢？下面笔者就根据自己的教学经验，谈一谈这个问题的理解及求解此问题的一些方法。

一、绳子拉船问题的理解

1．绳子拉船问题

如图1所示，在水面上方h高的岸上，某人利用绕过定滑轮O的轻绳匀速地拉动水面上的一只小船，如果人拉动绳子的速度大小为V，则当绳子OA 与水平面的夹角为θ时，小船运动的速度为多大。

2．常见错误及原因分析

对此问题，很多学生的常见错误是把拉动绳子的速率V沿竖直和水平两个方向分解，如图2所示，因此错误地认为船沿水面运动的速度，就是绳子沿水平方向的分速度，即V船=Vcosθ（1）

造成上述错误的原因，就是没有分清楚合运动与分运动，错误地认为与船相连的绳子沿收缩方向是合运动，小船的运动为它的分运动。实际上，绳子A端与船相连，它的实际运动与小船运动相同，也是水平向左，这才是合

运动。

3．常规解法

如图1所示，当绳子拉着小船水平向左运动时，定滑轮右边的绳子运动有这样的效果：一方面，沿绳子方向收缩；另一方面，绳子绕定滑轮O顺时针转动。因此，可将绳A端（或小船）水平向左的实际运动（合运动）分解成上述两个方向的分运动，如图3所示，而沿绳子收缩方向的分速度大小等于人通过定滑轮拉动绳子的速度大小V，故小船运动的速度为

（2）

4．问题的理解

上述的求解结果学生普遍都感到难易理解。为了帮助学生更好地理解这个问题，我们就从小船运动的速度和拉动绳子的速度大小关系入手，由（2）式可知，小船运动的速度大于拉动绳子的速度，而（1）式则是小于拉动绳子的速度，因此只要证明小船运动的速度大于拉动绳子的速度，问题就比较容易理解了。将绳子拉动船的过程中，绳子与水平方向的夹角设置两个特殊值来进行考虑，如图4所示，设在某时间t内，拉动船时绳子与水平面的夹角由300增大到450，则在这段时间内，小船前进的距离为

绳子收缩的长度为

由此可得S＞L，故小船运动的速度必大于人拉动绳子的速度。这样一来，学生在理解此问题时就轻松多了，就会自动排斥错误的解法，从而认可和接收正确的解法。

二、绳子拉船问题的其他求解方法

绳子拉船问题，除了上面的常规解法，还有其他一些求解方法。

1．功能原理法

设定滑轮的质量、滑轮与轴之间的摩擦均不计，则人在利用绕过定滑轮的绳子拉船过程中，人拉轻绳所做的功等于绳子拉船所做的功，即W人=W船，

由于人拉绳与绳拉船的时间相同，则有，即P人 = P

船（3）

设人对绳子的拉力为F，则绳对船的拉力大小也为F，根据功率的计算公式P=FVcosα，有

P人 = F·V （4）

P船 = F·V船cosθ（5）

联立（3）、（4）、（5）式可得

同样，利用（3）、（4）和（5）式，也可以理解为什么船运动的速度大于人拉动绳子的速度，绳子拉船时，力与水平间有夹角，为了保证人拉绳子的功率等于绳子拉船的功率，必须使船运动的速度大于拉动绳子的速度。

2．微元法

如图5所示，设绳拉动船时，经Dt时间，绳子与水平方向的夹角由θ变为（θ+Dθ），则在Dt时间内，船通过的位移为

绳子收缩的长度为

当Dt→0时，Dθ→0，cosDθ→1，因此，绳子收缩的速度

（6）船运动的速度为

（7）

由（6）、（7）两式可得：

3．导数法

如图6所示，建立一个平面直角坐标，设小船离岸的水平距离为X，绳子的长度为r，则

r2 = h2＋X2

对上式求时间的导数得

其中，，，由上式可得

以上几种解法，构思各异，特别是功能原理法，方法既简单又易懂，确实是一个好方法，但功率的计算公式P=FVcosα此时还未讲解，而微分法和导数法则要求有较高的数学知识。因此，在教学过程中应这样安排，新讲授此问题时，只讲常规解法和问题的理解，待高三总复习时，再将这些方法全都介绍给学生，这样有利于培养学生的发散性思维和创新意识，有利于培养学生应用数学知识解决物理问题能力。

2008-04-02 人教网

指物拉绳（杆）或绳（杆）拉物问题。由于高中研究的绳都是不可伸长的，杆都是不可伸长和压缩的，即绳或杆的长度不会改变，所以解题原则是：把物体的实际速度分解为垂直于绳（杆）和平行于绳（杆）两个分量，根据沿绳（杆）方向的分速度大小相同求解。 合速度方向：物体实际运动方向

分速度方向：沿绳（杆）伸（缩）方向：使绳（杆）伸（缩） 垂直于绳（杆）方向：使绳（杆）转动

速度投影定理：不可伸长的杆或绳，若各点速度不同，各点速度沿绳方向的投影相同。

这类问题也叫做：斜拉船的问题——有转动分速度的问题

【例题】如图所示，人用绳子通过定滑轮以不变的速度0v 拉水平面上的物体A ，当绳与水平方向成θ角时，求物体A 的速度。

★解析：解法一（分解法）：本题的关键是正确地确定物体A 的两个分运动。物体A 的运动（即绳的末端的运动）可看作两个分运动的合成：一是沿绳的方向被牵引，绳长缩短。绳长缩短的速度即等于01v v =；二是随着绳以定滑轮为圆心的摆动，它不改变绳长，只改变角度θ的值。这样就可以将A v 按图示方向进行分解。所以1v 及2v 实际上就是A v 的两个分速度，如图所示，由此可得

θ

θcos cos 01

v v v A ==

。 解法二（微元法）：要求船在该位置的速率即为瞬时速率，需从该时刻起取一小段时间来求它的平均速率，当这一小段时间趋于零时，该平均速率就为所求速率。

设船在θ角位置经△t 时间向左行驶△x 距离，滑轮右侧的绳长缩短△L，如

图所示，当绳与水平方向的角度变化很小时，△ABC 可近似看做是一直角三角形，

因而有θcos x L ∆=∆，两边同除以△t 得：θcos t

x

t L ∆∆=∆∆

即收绳速率θcos 0A v v =，因此船的速率为：

θ

cos 0

v v A =

总结：“微元法”。可设想物体发生一个微小位移，分析由此而引起的牵连物体运动的位移是怎样的，得出位移分解的图示，再从中找到对应的速度分解的图示，进而求出牵连物体间速度大小的关系。

解法三（能量转化法）：由题意可知：人对绳子做功等于绳子对物体所做的功。人对绳子的拉力为F ，则对绳子做功的功率为01Fv P =；绳子对物体的拉力，由定滑轮的特点可知，拉力大小也为F ，则绳子对物体做功的功率为

θcos 2A Fv P =，因为21P P =所以θ

cos 0

v v A =

。 评点：①在上述问题中，若不对物体A 的运动认真分析，就很容易得出

θcos 0v v A =的错误结果；②当物体A 向左移动，θ将逐渐变大，A v 逐渐变大，

虽然人做匀速运动，但物体A 却在做变速运动。

总结：解题流程：①选取合适的连结点（该点必须能明显地体现出参与了某个分运动）；②确定该点合速度方向（物体的实际速度为合速度）且速度方向始终不变；③确定该点合速度的实际运动效果从而依据平行四边形定则确定分速度方向；④作出速度分解的示意图，寻找速度关系。

【例题】如图所示，在高为H 的光滑平台上有一物体．用绳子跨过定滑轮C ，由地面上的人以均匀的速度v 0向右拉动，不计人的高度，若人从地面上平台的边缘A 处向右行走距离s 到达B 处，这时物体速度多大？物体水平移动了多少距离？