最新必修五第三章不等式学案电子教案

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高二数学必修五第三章不等式教案

高二数学必修五第三章不等式教案（一）教学目标1．知识与技能:使学生感受到在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，在学生了解了一些不等式（组）产生的实际背景的前提下，学习不等式的有关内容。

2.过程与方法:以问题方式代替例题，学习如何利用不等式研究及表示不等式，利用不等式的有关基本性质研究不等关系；3．情态与价值：通过学生在学习过程中的感受、体验、认识状况及理解程度，注重问题情境、实际背景的的设置，通过学生对问题的探究思考，广泛参与，改变学生学习方式，提高学习质量。

（二）教学重、难点重点：用不等式（组）表示实际问题中的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题，理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值。

难点：用不等式（组）正确表示出不等关系。

（三）教学设想[创设问题情境]问题1：设点A与平面的距离为d，B为平面上的任意一点，则d≤ 。

问题2：某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本。

根据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少20 00本。

若把提价后杂志的定价设为x元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元？分析：若杂志的定价为x元，则销售的总收入为万元。

那么不等关系“销售的总收入不低于20万元”可以表示为不等式≥20问题3：某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm两种，按照生产的要求，600mm钢管的数量不能超过500mm钢管的3倍。

怎样写出满足上述所有不等关系的不等式呢？分析：假设截得500mm的钢管x根，截得600mm的钢管y根..根据题意，应有如下的不等关系：（1）解得两种钢管的总长度不能超过4000mm；（2）截得600mm钢管的数量不能超过500mm钢管数量的3倍；（3）解得两钟钢管的数量都不能为负。

由以上不等关系，可得不等式组：[练习]：第82页，第1、2题。

[知识拓展]设问：等式性质中：等式两边加（减）同一个数（或式子），结果仍相等。

人教版高中必修5(B版)第三章不等式教学设计

人教版高中必修5(B版)第三章不等式教学设计一、教学目标本节课主要教授高中数学必修课5(B版)第三章——不等式。

通过本次课程的教学，学生应该能够：•理解不等式的基本概念，掌握不等式的基本性质和解不等式的方法；•能够运用已掌握的知识，解决简单的等式和不等式的应用问题；•能够培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。

二、教学重点•不等式的基本概念和性质；•不等式解法；•一元一次不等式和二元一次不等式的解法。

三、教学难点•不等式解法的灵活运用；•二元一次不等式的解法。

四、教学过程4.1 导入1.通过白板或幻灯片展示一组简单的不等式，比如x+4<10，让学生回顾并思考之前学过的等式。

2.引导学生讲述等式和不等式的联系和区别，并引导学生从生活实际中思考不等式的应用。

4.2 讲授1.教师讲解不等式的基本概念和性质，以及不等式解法，引导学生深入理解学习内容。

2.引导学生先从一元一次不等式入手，讲解一元一次不等式的解法，并让学生进行多组练习。

3.引导学生学习二元一次不等式的解法，引导学生重点思考如何用图示法求解。

4.让学生通过练习，掌握不等式解法的具体技巧和应用方法。

4.3 拓展本节课结束后，学生可以自行探索如何用不等式来解决实际问题，例如分部门开支问题、生产效益提升问题等。

4.4 总结1.教师对本节课所学内容进行总结，并提醒学生留意其中易误解的点，引导学生归纳总结学习体会。

2.对于存在误解的同学，教师要及时纠正并逐一解决疑问。

五、课堂互动1.在讲解过程中穿插抛出简单问题，引导学生积极参与答题，加深对知识点的记忆和理解。

对于答对或答错的同学，教师进行不同程度的点评。

2.在教学中多与学生互动交流，让课堂变得更加生动有趣。

例如请学生发表自己的观点、听取学生分享自己的解题心得、讨论解题思路等。

六、板书设计1.不等式的基本概念和性质；2.不等式解法；3.一元一次不等式和二元一次不等式的解法。

七、教学评价本次课程的教学效果通过考试和家庭作业来进行评价，同时可以通过学生反馈、课堂测验和讨论等方式来了解教学效果。

人教版高中数学必修5教案第三章不等式 §3.4基本不等式第三课时

课题: §3.42a b +≤第3课时授课类型：习题课【教学目标】1．知识与技能：2a b +≤；会用此不等式证明不等式,会应用此不等式求某些函数的最值,能够解决一些简单的实际问题；22a b +≤，并会用此定理求某些函数的最大、最小值。

3．情态与价值：引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德。

【教学重点】2a b +≤，会用此不等式证明不等式，会用此不等式求某些函数的最值【教学难点】利用此不等式求函数的最大、最小值。

【教学过程】1.课题导入1．基本不等式：如果a,b 是正数，那么).""(2号时取当且仅当==≥+b a ab b a22a b +≤求最大（小）值的步骤。

2.讲授新课1）利用基本不等式证明不等式例1 已知m>0,求证24624m m+≥。

[思维切入]因为m>0,所以可把24m 和6m 分别看作基本不等式中的a 和b, 直接利用基本不等式。

[证明]因为 m>0,，由基本不等式得246221224m m +≥==⨯= 当且仅当24m=6m ，即m=2时，取等号。

规律技巧总结注意：m>0这一前提条件和246m m ⨯=144为定值的前提条件。

3.随堂练习1[思维拓展1] 已知a,b,c,d 都是正数，求证()()4ab cd ac bd abcd ++≥.[思维拓展2] 求证22222()()()a b c d ac bd ++≥+.例2 求证:473a a +≥-. [思维切入] 由于不等式左边含有字母a,右边无字母,直接使用基本不等式,无法约掉字母a,而左边44(3)333a a a a +=+-+--.这样变形后,在用基本不等式即可得证.[证明]443(3)333733a a a +=+-+≥==-- 当且仅当43a -=a-3即a=5时,等号成立. 规律技巧总结通过加减项的方法配凑成基本不等式的形式.2)利用不等式求最值例3 (1) 若x>0,求9()4f x x x=+的最小值; (2)若x<0,求9()4f x x x=+的最大值. [思维切入]本题(1)x>0和94x x ⨯=36两个前提条件;(2)中x<0,可以用-x>0来转化. 解 1) 因为 x>0 由基本不等式得9()412f x x x =+≥==,当且仅当94x x =即x=32时, 9()4f x x x =+取最小值12.(2)因为 x<0, 所以 -x>0, 由基本不等式得:99()(4)(4)()12f x x x x x -=-+=-+-≥==, 所以 ()12f x ≤. 当且仅当94x x -=-即x=-32时, 9()4f x x x =+取得最大-12.规律技巧总结利用基本不等式求最值时,个项必须为正数,若为负数,则添负号变正. 随堂练习2[思维拓展1] 求9()45f x x x =+-(x>5)的最小值.[思维拓展2] 若x>0,y>0,且281x y+=,求xy 的最小值.4.课时小结2a b +≤证明不等式和求函数的最大、最小值。

必修5第三章基本不等式教案3个课时

小结：用均值不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：
(1)先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；
(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；
(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；
(4)正确写出答案.
高效训练
不练不讲
练习3:：甲、乙两地相距s千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米/时。已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v（千米/时）的平方成正比，比例系数为b；固定部分为a元．
教学内容
第3课
（单元）
主题
3.4基本不等式：的应用
第2课时
教学目标
知识
与技能
能够运用基本不等式解决生活中的应用问题
过程
与方法
本节课是基本不等式应用举例的延伸。
情感态度与价值观
进一步培养学生学习数学、应用数学的意识以及思维的创新性和深刻性
教
材
分
析
重点
基本不等式
难点
基本不等式的应用
学情分析
学生在上节课学习了重要不等式和基本不等式，已对这个知识点有了解，这节课在所学知识的基础上深入提高。
（当直角三角形变成等腰直角三角形，即时，正方形EFGH变成一个点，这时有）
探究2：你能给出，当且仅当时，等号成立的证明吗？
证明：
所以
注意强调（1）当且仅当时,
(2)特别地,如果用和代替、，可得 ,
也可写成 ,引导学生利用不等式的性质推导
探究3：你能理解基本不等式的几何意义吗？
结论：基本不等式几何意义是“半径不小于半弦”
当且仅当x－1＝，即x＝4时等号成立，

高中数学第三章不等式教案北师大版必修5

第三章不等式§1不等关系1．1 不等关系1．2 不等关系与不等式(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能了解现实世界和日常生活中的不等关系．了解不等式(组)的实际背景，能用作差法比较大小．2．过程与方法通过一系列具体问题情境，使学生感受到现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系．3．情感、态度与价值观让学生体会数学源于生活，唤起学生的学习热情．●重点难点重点：用不等式(组)表示实际问题中的不等关系．理解不等式(组)对于刻画不等关系的意义和价值．难点：用不等式(组)正确表示出不等关系．(教师用书独具)●教学建议课本例1～例4让学生感受到不等关系反映在日常生活的方方面面．这几个例题分别把不等关系体现在常量与常量之间、变量与常量之间、函数与函数之间、一组变量之间．从中体会不等式是研究不等关系的数学工具，从而理解不等式(组)对于刻画不等关系的意义和价值．●教学流程创设问题情境，提出问题⇒通过引导学生回答所提问题，了解不等关系、不等式（组）的实际背景及作差法比较大小⇒通过例1及变式训练，使学生掌握如何用等式（组）表示不等关系⇒通过例2及变式训练，使学生掌握比较两个数（式）的大小问题⇒通过例3及变式训练，使学生掌握实际生活中的不等关系的应用⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识所学知识⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识，并进行反馈、矫正(对应学生用书第47页)【问题导思】某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f 应不少于2.5%，蛋白质的含量p 应不少于2.3%.如何用不等式表示对脂肪含量的规定？如何用不等式表示酸奶质量的规定？【提示】 f ≥2.5%，⎩⎪⎨⎪⎧f ≥2.5%p ≥2.3%【问题导思】1．如果a >b ，c >d ，那么a ＋c >b ＋d ，ac >bd 成立吗？【提示】 a ＋c >b ＋d 成立，ac >bd 不一定成立． 2．如果a >b ，那么a 2>b 2成立吗？【提示】不一定成立．(1)如果a ＞b ，c ＞d ，那么a ＋c ＞b ＋d ；(2)如果a ＞b ＞0，c ＞d ＞0，那么ac ＞bd ； (3)如果a ＞b ＞0，那么a n＞b n(n ∈N ＋)；(4)如果a ＞b ＞0n ∈N ＋)．(对应学生用书第41页)某种杂志原以每本2.5 2 000本．若把提价后杂志的单价设为x 元，怎样用不等式表示销售的总收入不低于20万元呢？【思路探究】解答本题需首先分析题中的不等关系，利用销售收入＝销售量×单价表示出销售总收入，最后列出不等式．【自主解答】 ∵提价后杂志的定价为x 元， ∴销量减少x －2.50.1×0.2＝2x －5(万本)，∴销售总收入为[8－(2x －5)]·x ＝(13－2x )·x (万元)．则销售总收入不低于20万元，用不等式表示为： (13－2x )·x ≥20.1．解决本题的关键是由“若单价每提高0.1元，则销售量就可能相应减少2 000本．”得到单价为x 元时的销售总收入的表达式． 2．用不等式表示不等关系时，要注意以下两点：一是要恰当地进行语言转换，即自然语言、符号语言、图形语言之间的转换；二是要准确地使用不等号，同时要注意实际情境对表示各量的字母取值范围的限制．b 克糖水中有a 克糖(b >a >0)，若再加入m 克糖(m >0)，则糖水更甜了，试根据这个事实写出一个不等式．【答案】 a ＋m b ＋m >a b.已知x ∈R ，比较x 3－1与【思路探究】利用作差法比较两个数的大小．【自主解答】 (x 3－1)－(2x 2－2x )＝(x 3－x 2)－(x 2－2x ＋1) ＝x 2(x －1)－(x －1)2＝(x －1)(x 2－x ＋1)， ∵x 2－x ＋1＝(x －12)2＋34≥34>0，∴当x >1时，(x －1)(x 2－x ＋1)>0，即x 3－1>2x 2－2x ；当x ＝1时，(x －1)(x 2－x ＋1)＝0，即x 3－1＝2x 2－2x ；当x <1时，(x －1)(x 2－x ＋1)<0，即x 3－1<2x 2－2x .1．本题解答的关键是对x 的讨论．2．数(式)大小的比较问题常用“作差法”，其过程可分三步：①作差；②变形；③判断差的符号．其中关键一步是变形，手段可以有通分、因式分解、配方等，变形的目的是有利于判断符号．已知a 、b 为正实数，试比较a b ＋ba与a ＋b 的大小．【解】 (a b ＋b a )－(a ＋b )＝(a b －b )＋(ba－a ) ＝a －b b ＋b －a a ＝（a －b ）（a －b ）ab＝（a ＋b ）（a －b ）2ab.∵a 、b 为正实数，∴a ＋b >0，ab >0，(a －b )2≥0.于是有（a ＋b ）（a －b ）2ab≥0，当且仅当a ＝b 时等号成立，∴a b ＋ba≥a ＋b ，当且仅当a ＝b 时取等号．7.5折优惠”，乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠”．这两车队的原价、车型都是一样的，试根据单位去的人数，比较两车队的收费哪家更优惠．【思路探究】解答本题可先建立函数模型，然后用作差法加以比较即可．【自主解答】设该单位职工有n 人(n ∈N ＋)，全票价为x 元，坐甲车需花y 1元，坐乙车需花y 2元，则y 1＝x ＋34x ·(n －1)＝14x ＋34xn ， y 2＝45nx ，因为y 1－y 2＝14x ＋34xn －45nx＝14x －120nx ＝14x (1－n5)，当n ＝5时，y 1＝y 2；当n ＞5时，y 1＜y 2；当n ＜5时，y 1＞y 2.因此当单位去的人数为5人时，两车队收费相同；多于5人时，选甲车队更优惠；少于5人时，选乙车队更优惠．1．解决实际问题的关键是理解好每一个名词的含义，留意每个数字出现的意义，注意实际意义对变量取值范围的限制．2．解决决策优化型的应用问题，首先要确定制约着决策优化的关键量是哪一个，然后确定在各种决策下该量分别是多少，再用作差法(或作商法)比较它们的大小即可．将若干只鸡放入若干个笼，若每个笼里放4只，则有一只鸡无笼可放；若每个笼里放5只，则有一笼无鸡可放．设现有笼x 个，试列出x 满足的不等关系，并说明至少有多少只鸡多少个笼，至多有多少只鸡多少个笼．【解】 ⎩⎪⎨⎪⎧5（x －2）＋1≤4x ＋1，4x ＋1≤5（x －1），x ∈N ＋，解得6≤x ≤10，x ∈N ＋.所以，至少6个笼，25只鸡；至多10个笼， 41只鸡．(对应学生用书第49页)错用不等式的性质致误已知1<a <6，3<b <4，求a －b ，ab的取值范围．【错解】 ∵1<a <6，3<b <4，两式相减－2<a －b <2，两式相除13<a b <32.【错因分析】错用了不等式的性质，同向不等式不能相减或相除，应将其转化成不等式相加和相乘运算．【防范措施】熟记不等式的性质可避免出现类似的错误．【正解】 ∵3<b <4，∴－4<－b <－3. ∴1－4<a －b <6－3.即－3<a －b <3. 又14<1b <13，∴14<a b <63.即14<a b<2.∴a －b ，a b 的取值范围分别是(－3，3)，(14，2)．1．用不等式(组)表示实际问题中不等关系的步骤(1)审题．通读题目，分清楚已知量和未知量，设出未知量；(2)找关系．寻找已知量与未知量之间有哪些不等关系(即满足什么条件，同时注意隐含条件)； (3)列不等式(组)．建立已知量和未知量之间的关系式． 2．比较两个数(式)的大小可以用作差法，也可用作商法．3．不等式的性质是不等式的基础，也是解不等式和证明不等式的主要依据，只有正确理解每条性质的条件和结论，注意条件的变化，才能正确地进行运用．(对应学生用书第49页)1．限速40 km /h 的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v 不超过40 km /h ，写成不等式就是( ) A ．v <40 B ．v ≤40 C ．v >40 D ．v ≥40【解析】不超过即小于或等于．【答案】 B2．设x <a <0，则下列不等式一定成立的是( ) A ．x 2<ax <a 2B ．x 2>ax >a 2C ．x 2<a 2<ax D ．x 2>a 2>ax【解析】 ∵x <a ，x <0，a <0，∴x 2>ax ，ax >a 2. ∴x 2>ax >a 2. 【答案】 B3．已知a ，b ，m 是正实数，则不等式b ＋m a ＋m >ba成立的条件是________．【解析】b ＋m a ＋m －b a ＝m （a －b ）a （a ＋m ）， ∵a >0，m >0且m （a －b ）a （a ＋m ）>0，∴a －b >0即a >b .【答案】 a >b4．某钢铁厂要把长度为4 000 mm 的钢管截成500 mm 和600 mm 两种．按照生产的要求600 mm 钢管的数量不能超过500 mm 钢管数量的3倍，写出满足所有上述不等关系的不等式．【解】设截得500 mm 的钢管x 根，截得600 mm 的钢管y 根．根据题意得：⎩⎪⎨⎪⎧500x ＋600y ≤4 000，3x ≥y ，x ≥0且x ∈N ，y ≥0且y ∈N .(对应学生用书第105页)一、选择题1．大桥桥头竖立的“限重40吨”的警示牌，是指示司机要安全通过该桥，应使车和货的总重量T 满足关系为( ) A ．T <40 B ．T >40 C ．T ≤40 D ．T ≥40【解析】 “限重40吨”即为T ≤40. 【答案】 C2．(2013·临沂高二检测)设a ，b ∈R ，若a －|b |>0，则下列不等式中正确的是( ) A ．b －a >0 B ．a 3＋b 3<0 C ．b ＋a <0 D ．a 2－b 2>0【解析】利用赋值法，令a ＝1，b ＝0，排除A 、B 、C. 【答案】 D3．(2013·芜湖高二检测)对下面的推理过程，判断正确的是( ) 错误!)③,⇒)ac >bd ④,⇒)错误!>错误!. A ．仅③正确 B ．仅③④正确 C ．仅①②正确 D ．①②③④均错【解析】 ①②④均不满足不等式的乘法法则；根据不等式的传递性知③正确，故选A. 【答案】 A 4．若a 0，a －c <0，a －b <0，∴a －b（c －b ）（a －c ）>0.【答案】 A5．(2013·驻马店高二检测)若m ≠2且n ≠－1，则M ＝m 2＋n 2－4m ＋2n 的值与－5的大小关系为( ) A ．M ＞－5 B ．M ＜－5 C ．M ＝－5 D ．不确定【解析】 ∵m ≠2，n ≠－1， ∴M －(－5)＝(m －2)2＋(n ＋1)2＞0， ∴M ＞－5. 【答案】 A 二、填空题6．已知a ，b ∈R ，且ab ≠0，则ab －a 2________b 2(填“<”、“>”、“＝”)．【解析】 ∵ab －a 2－b 2＝－(a －b 2)2－34b 2<0，∴ab －a 2<b 2. 【答案】 <7．如图3－1－1，在一个面积为350 m 2的矩形地基上建造一个仓库，四周是绿地．仓库的长L 大于宽W 的4倍，上述不等关系可用W 表示为________．图3－1－1【解析】仓库的长L ＝350W ＋10－10， ∴350W ＋10－10＞4W . 【答案】350W ＋10－10＞4W 8．(2013·威海高二检测)对于任意实数a 、b 、c 、d ，有以下说法：①若a ＞b ，c ≠0，则ac ＞bc ；②若a ＞b ，则ac 2＞bc 2；③若ac 2＞bc 2，则a ＞b ；④若a ＞b ，则1a ＜1b；⑤若a ＞b ＞0，c ＞d ，则ac ＞bd .其中正确的序号为________．【解析】 ①中当c ＜0时不成立，①错；②中c ＝0时不成立，②错；③正确；④中a ＞0，b ＜0时不成立，④错；⑤中若a ＝2，b ＝1，c ＝－1，d ＝－2，则ac ＝bd ，⑤错．【答案】 ③ 三、解答题9．一房地产公司有50套公寓出租，当月租金定为1 000元时，公寓会全部租出去，欲增加月租金，但每增加50元，就会有一套租不出去，已知租出去的公寓每月需花100元的维修费．若将房租定为x 元，怎样用不等式表示所获得的月收入不低于50 000元？【解】若房租定为x (x ≥1 000)元，则租出公寓的套数为⎝⎛⎭⎪⎫50－x －1 00050，月收入为⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫50－x －1 00050x －100元，则月收入不低于50 000元可表示为不等式⎝⎛⎭⎪⎫50－x －1 00050x －100≥50 000. 10．若x <y <0，试比较(x 2＋y 2)(x －y )与(x 2－y 2)(x ＋y )的大小．【解】 (x 2＋y 2)(x －y )－(x 2－y 2)(x ＋y ) ＝(x －y )[(x 2＋y 2)－(x ＋y )2] ＝－2xy (x －y )．∵x ＜y ＜0，∴xy ＞0，x －y ＜0， ∴－2xy (x －y )＞0，∴(x 2＋y 2)(x －y )＞(x 2－y 2)(x ＋y )．11．某粮食收购站分两个等级收购小麦，一级小麦每千克a 元，二级小麦每千克b 元(b <a )．现有一级小麦m 千克，二级小麦n 千克，若以两种价格的平均数收购，是否合理？为什么？【解】分级收购时，粮站支出(ma ＋nb )元，按平均价格收购时，粮站支出（m ＋n ）（a ＋b ）2元．因为(ma ＋nb )－（m ＋n ）（a ＋b ）2＝12(a －b )(m －n )，且b <a ，所以当m >n 时，粮站占便宜；当m ＝n 时，一样；当m <n 时，粮站吃亏．(教师用书独具)设f (x )＝ax 2＋bx ，1≤f (－1)≤2，2≤f (1)≤4.求f (－2)的取值范围．【思路探究】用f (－1)，f (1)表示f (－2)，再利用f (－1)，f (1)的范围求f (－2)的范围．【自主解答】法一由f (x )＝ax 2＋bx 得f (－1)＝a －b ，f (1)＝a ＋b ，f (－2)＝4a －2b ，设f (－2)＝mf (－1)＋nf (1)，则4a －2b ＝m (a －b )＋n (a ＋b )，即4a －2b ＝(m ＋n )a ＋(n －m )b .于是有⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝4，n －m ＝－2解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝1. ∴f (－2)＝3f (－1)＋f (1)．又∵1≤f (－1)≤2，2≤f (1)≤4， ∴5≤3f (－1)＋f (1)≤10. 即5≤f (－2)≤10.∴f (－2)的取值范围为[5，10]．法二由⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）＝a －b f （1）＝a ＋b 得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12[f （－1）＋f （1）]，b ＝12[f （1）－f （－1）]，∴f (－2)＝4a －2b ＝3f (－1)＋f (1)．又∵1≤f (－1)≤2，2≤f (1)≤4， ∴5≤3f (－1)＋f (1)≤10. 即5≤f (－2)≤10.∴f (－2)的取值范围是[5，10]．1．本例中如果由1≤a －b ≤2，2≤a ＋b ≤4得到a 、b 的范围，再求f (－2)的范围，那么得到的结果不是正确答案．这是因为求得的a 、b 的范围与已知条件不是等价关系．2．不等式的性质是不等式变形的基础．是证明不等式的主要依据，应熟练掌握．已知12<a <60，15<b <36，求a －b ，a b的取值范围．【解】 ∵15<b <36， ∴－36<－b <－15， ∴12－36<a －b <60－15， ∴－24<a －b <45. 又136<1b <115， ∴1236<a b <6015， ∴13<a b<4.§2一元二次不等式2．1 一元二次不等式的解法(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能理解一元二次方程、二次函数、一元二次不等式的关系；会解一元二次不等式．2．过程与方法从二次函数、一元二次方程着手，让学生探索三者的联系，教师启发引导找到解一元二次不等式的方法．3．情感、态度与价值观创设问题，激发学生观察、分析、探索的学习激情，强化学生参与意识及主体作用．●重点难点重点：一元二次不等式的解法．难点：三个“二次”关系的理解．(教师用书独具)●教学建议教学时不妨从考察二次函数y＝x2－2x－3与一元二次方程x2－2x－3＝0的关系出发，借助二次函数y＝x2－2x－3图像的直观性，引导学生观察二次函数y＝x2－2x－3图像上任意一点P(x，y)在图像上移动时，由点P横坐标x的变化引起点P的纵坐标y的变化情况，获得对一元二次不等式x2－2x－3<0及x2－2x－3>0的解集的感性认识．进一步让学生体会二次函数、一元二次方程及一元二次不等式这三者的联系．●教学流程创设问题情境，提出问题⇒通过引导学生回答问题，让学生认识一元二次不等式模型，理解“三个二次”的关系⇒通过例1及变式训练，让学生会解一元二次不等式⇒通过例2及变式训练，使学生掌握含参数的一元二次不等式的解法⇒通过例3及变式训练，使学生掌握三个二次关系的应用⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识所学知识⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识，并进行反馈、矫正(对应学生用书第50页)【问题导思】对于两个不等式2x 2＋11x －6>0和10x 2＋9x －2≤0这两个不等式有哪些共同特点？x ＝12是它们的一个公共解吗？【提示】共同特点：(1)含有一个未知数x .(2)未知数x 的最高次数为2.x ＝12不是2x 2＋11x －6>0的解，是10x 2＋9x －2≤0的解．二次不等式之间的关系【问题导思】图3－2－1观察二次函数y＝x2－2x－3的图像，当x取何值时y＝0？y>0？y<0?【提示】当x＝－1或x＝3时，y＝0；当x>3或x<－1时，y>0；当－1<x<3时，y<0.(对应学生用书第51页)解下列不等式：(1)3x2＋5x－2≤0；(2)－x2＋2x－3＞0；(3)2x＞2－3x－3x2.【思路探究】解一元二次不等式应先化为标准形式，再求对应方程的根，并根据根的情况画出草图，观察图像写出解集．【自主解答】 (1)方程3x 2＋5x －2＝0的两解是x 1＝－2，x 2＝13.函数y ＝3x 2＋5x －2的图像是开口向上的抛物线，与x 轴有两个交点(－2，0)和(13，0)(如图所示)．观察图像可知，不等式的解集为 {x |－2≤x ≤13}．(2)∵－x 2＋2x －3＞0，∴x 2－2x ＋3＜0. ∵Δ＝4－12＝－8＜0， ∴方程x 2－2x ＋3＝0无实数根．∴函数y ＝x 2－2x ＋3的图像是开口向上的抛物线，与x 轴无交点(如图)， ∴原不等式的解集为空集．(3)原不等式移项整理，得3x 2＋5x －2＞0.∵Δ＝49＞0，∴方程3x 2＋5x －2＝0的两解为x 1＝－2，x 2＝13.然后，利用(1)中的函数图像可得不等式的解集为{x |x ＜－2，或x ＞13}．1．解一元二次不等式时，当二次项系数为负时，通常化为二次项系数为正的情形．2．在具体求解一个标准形式的一元二次不等式的过程中，要密切结合一元二次方程的根的情况以及二次函数的图像，这种方法体现了“化归”的数学思想方法的运用，要注意体会．解下列不等式： (1)x 2－5x ＞14； (2)－7x 2＋7x ＞6.【解】 (1)方程x 2－5x －14＝0的两解是x 1＝－2，x 2＝7，函数y ＝x 2－5x －14的图像是开口向上的抛物线，与x 轴有两个交点(－2，0)和(7，0)，如图所示，由图像知x 2－5x ＞14的解集为： {x |x ＜－2或x ＞7}．(2)原不等式可化为－7x 2＋7x －6＞0，即7x 2－7x ＋6＜0.∵方程7x 2－7x ＋6＝0的判别式， Δ＝(－7)2－7×4×6＜0，∴函数y ＝7x 2－7x ＋6的图像与x 轴无交点，如图所示，由图知原不等式的解集为∅.解关于x 的不等式ax 2【思路探究】对二次项系数a 分a >0，a ＝0，a <0三种情况讨论，并且对a >0这种情况还需分Δ>0，Δ≤0讨论．【自主解答】 (1)当a ＝1时，(x ＋1)2<0，解集为∅； (2)当a ＝0时，不等式的解集为{x |x <－12}；(3)当a >0时，Δ＝4－4a ， ①Δ>0即0<a <1时，不等式的解集为{x |－1－1－a a <x <－1＋1－aa}；②Δ≤0即a ≥ 1时，不等式的解集为∅. (4)当a <0时，Δ＝4－4a >0，不等式的解集为{x |x <－1＋1－a a 或x >－1－1－a a}．1．熟练掌握一元二次不等式的解法是解决不等式问题的基础，所以应当能够熟练记住形如ax 2＋bx ＋c >0(<0)(a >0)的不等式在各种情况下解集的形式．2．含参数的一元二次不等式的解题步骤为：①将二次项系数转化为正数．②判断相应方程是否有根．③根据根的情况写出相应的解集，若方程有两个相异根，为了正确写出解集还要确定两根的大小．解关于x 的不等式x 2－ax －2a 2<0.【解】原不等式变形为(x －2a )(x ＋a )<0. (1)若a >0，则－a <x <2a ，此时不等式的解集为 {x |－a <x <2a }；(2)若a <0，则2a <x <－a ，此时不等式的解集为 {x |2a <x <－a }；(3)若a ＝0，则原不等式即为x 2<0，此时解集为∅.已知ax 2＋2x ＋c >0的解集为{x |－3<x <2}，试求a ，c 的值，并解不等式－cx 2＋2x －a >0.【思路探究】先根据二次不等式与二次方程的关系求出a ，c 的值，再求解对应的一元二次不等式．【自主解答】由ax 2＋2x ＋c >0的解集为{x |－13<x <12}，知a <0且方程ax 2＋2x ＋c ＝0的两根为－13，12，∴⎩⎪⎨⎪⎧－13＋12＝－2a ，－13×12＝c a ，∴a ＝－12，c ＝2.此时－cx 2＋2x －a >0可化为x 2－x －6<0，解得－2<x <3.∴所求不等式的解集为{x |－2<x <3}．1．一元二次不等式的解集的区间端点，是一元二次不等式对应的二次函数的零点，是一元二次方程的根．借助三个二次的关系可实现问题的相互转化．2．这种题型是已知一元二次不等式的解集，根据三个“二次”之间的关系，由解集得到方程的根，巧妙运用根与系数的关系，将所解不等式的“多个参数”化为“一个参数”，从而求解．已知方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根为2，－1，求不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集．【解】由已知得2，－1为方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根．∴⎩⎪⎨⎪⎧－ba ＝1，c a ＝－2，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－a ，c ＝－2a .由ax 2＋bx ＋c ＞0可得ax 2－ax －2a ＞0.当a ＞0时，x 2－x －2＞0，解得x ＞2，或x ＜－1. 当a ＜0时，x 2－x －2＜0，解得－1＜x ＜2.因此，当a ＞0时，不等式的解集为(－∞，－1)∪(2，＋∞)，当a ＜0时，不等式的解集为(－1，2)．(对应学生用书第52页)解不等式x 2>x .【错解】由x 2>x 两边同时约去x ，得x >1，所以原不等式的解集为{x |x >1}．【错因分析】本题因不等式两边同时约去x 时，未考虑x 的取值(正负性)，机械应用不等式性质而出现失解现象，因此导致求解错误．【防范措施】 1.不等式两边同除以数(式)时一定考虑正负号情况．2．解一元二次不等式时，应将一元二次不等式化成标准形式，再由方程的根得出解集．【正解】法一原不等式可化为x 2－x >0，即x (x －1)>0.∵方程x (x －1)＝0的两根为x 1＝0，x 2＝1， ∴不等式x 2－x >0的解集为{x |x <0，或x >1}．法二原不等式可化为x (x －1)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧x >0，x －1>0，或⎩⎪⎨⎪⎧x <0，x －1<0. 解得x >1或x <0，∴原不等式的解集为{x |x <0，或x >1}．1．解一元二次不等式要密切联系其所对应的一元二次方程以及二次函数的图像．一元二次方程的根就是二次函数图像与x 轴交点的横坐标，对应不等式的解集，就是使函数图像在x 轴上方或下方的部分所对应的x 的集合，而方程的根就是不等式解集区间的端点．2．解含参数不等式时，一般需对参数进行讨论，参数讨论有三个方面：①二次项系数；②“Δ的符号”；③根的大小，但未必在这三个方面都进行讨论，是否讨论要根据运算需要而定．(对应学生用书第53页)1．不等式①x 2＞0；②－x 2－x ＜5；③ax 2＜2(a 是常数)；④x 2＋2x －y 2＜0.其中是一元二次不等式的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 【解析】由一元二次不等式的定义知①、②是．【答案】 C2．不等式2x 2－x －1>0的解集是( ) A ．(－12，1) B ．(1，＋∞)C ．(－∞，1)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－12)∪(1，＋∞)【解析】 ∵2x 2－x －1＝(2x ＋1)(x －1)，∴由2x 2－x －1＞0得(2x ＋1)(x －1)＞0，解得x ＞1或x ＜－12，∴不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪(1，＋∞)．【答案】 D3．若关于x 的不等式mx 2＋8mx ＋21＜0的解集为{x |－7＜x ＜－1}，则实数m 的值为________．【解析】由题意知，x 1＝－7，x 2＝－1是方程mx 2＋8mx ＋21＝0的两根，则(－7)×(－1)＝21m，∴m ＝3.【答案】 34．不等式(a ＋1)x 2＋ax ＋a >0对任意实数x 恒成立，求实数a 的取值范围．【解】当a ＋1＝0，即a ＝－1时，原不等式化为－x －1>0，得x <－1，不合题意；当a ＋1≠0时，由题意，必须⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1>0，Δ＝a 2－4a （a ＋1）<0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧a >－1，a >0或a <－43，⇒a >0. 故实数a 的取值范围为(0，＋∞)．(对应学生用书第107页)一、选择题1．不等式5－x2＞4x的解集为( )A．(－5，1)B．(－1，5)C．(－∞，－5)∪(1，＋∞)D．(－∞，－1)∪(5，＋∞)【解析】不等式可化为x2＋4x－5＜0，y＝x2＋4x－5的开口方向向上，又x2＋4x－5＝0的两根为－5，1.由图像知原不等式的解集为(－5，1)．【答案】A2．设集合S＝{x||x|<5}，T＝{x|x2＋4x－21<0}，则S∩T＝( )A．{x|－7<x<－5} B．{x|3<x<5}C．{x|－5<x<3} D．{x|－7<x<5}【解析】S＝{x|－5<x<5}，T＝{x|－7<x<3}，∴S∩T＝{x|－5<x<3}．【答案】C3．(2013·西安高二检测)若全集U＝R，集合A＝{x|x2＋3x－4<0}，B＝{x|y＝log3(x＋2)}，则∁U(A∩B)＝( ) A．{x|x≤－4或x≥1} B．{x|x<－4或x>1}C．{x|x<－2或x>1} D．{x|x≤－2或x≥1}【解析】由题意可得A＝{x|－4<x<1}，B＝{x|x>－2}，所以A∩B＝{x|－2<x<1}，所以∁U(A∩B)＝{x|x≤－2或x≥1}．【答案】D4．在R上定义运算⊙：a⊙b＝ab＋2a＋b，则满足x⊙(x－2)<0的实数x的取值范围是( )A．(0，2) B．(－2，1)C．(－∞，－2)∪(1，＋∞) D．(－1，2)【解析】由题意知x⊙(x－2)＝x2＋x－2，∴x2＋x－2<0解得－2<x<1.【答案】B5．(2013·临沂高二检测)f(x)＝ax2＋ax－1在R上满足f(x)＜0，则a的取值范围是( )A ．a ≤0B ．a ＜－4C ．－4＜a ＜0D ．－4＜a ≤0【解析】当a ＝0时，f (x )＝－1＜0成立．当a ≠0时，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，Δ＜0，即⎩⎨⎧a ＜0，a 2＋4a ＜0，解得－4＜a ＜0，综上可知：－4＜a ≤0时，在R 上f (x )＜0. 【答案】 D 二、填空题6．{x |－x 2－x ＋2>0}∩Z ＝________．【解析】 {x |－x 2－x ＋2>0}∩Z ＝{x |－2<x <1}∩Z ＝{－1，0}．【答案】 {－1，0}7．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (x ∈R )的部分对应值如下表；则不等式ax 2＋bx ＋c >0【解析】法一二次函数的两个零点是x 1＝－2，x 2＝3，又根据所给数值，函数值随着x 的增大，先减后增，故开口向上，如图所示，故不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集是{x |x >3或x <－2}．法二由表中数据可求得a ＝1，b ＝－1，c ＝－6，代入原不等式得x 2－x －6>0，所以可解得解集为{x |x >3或x <－2}．【答案】 {x |>3或x <－2}8．(2013·福州高二检测)若2x 2＋1≤(14)x －2，则函数y ＝2x的值域是________．【解析】 ∵2x 2＋1≤(14)x －2＝2－2x ＋4，∴x 2＋1≤－2x ＋4，即x 2＋2x －3≤0.解得－3≤x ≤1，∴18≤y ≤2，∴函数y ＝2x的值域是[18，2]．【答案】 [18，2]三、解答题 9．解下列不等式： (1)2x 2－3x －2>0； (2)－6x 2－x ＋2≥0.【解】 (1)∵Δ＝(－3)2－4×2×(－2)＝25>0， ∴方程2x 2－3x －2＝0有两个不同实根，分别是－12，2，∴原不等式的解集为{x |x >2，或x <－12}．(2)原不等式可化为6x 2＋x －2≤0， ∵Δ＝12－4×6×(－2)＝49>0，∴方程6x 2＋x －2＝0有两个不同实根，分别是－23，12，∴原不等式的解集为{x |－23≤x ≤12}．10．解关于x 的不等式x 2－2mx ＋m ＋1>0.【解】不等式对应方程的判别式Δ＝(－2m )2－4(m ＋1)＝4(m 2－m －1)． (1)当Δ>0，即m >1＋52或m <1－52时，由于方程x 2－2mx ＋m ＋1＝0的根是x ＝m ±m 2－m －1，所以不等式的解集是{x |x <m －m 2－m －1或x >m ＋m 2－m －1}； (2)当Δ＝0，即m ＝1±52时，不等式的解集为{x |x ∈R ，且x ≠m }；(3)当Δ<0，即1－52<m <1＋52时，不等式的解集为R .11．已知不等式ax 2－3x ＋2>0的解集为{x |x <1或x >b }． (1)求a 、b 的值；(2)解关于x 的不等式x 2－b (a ＋c )x ＋4c >0.【解】 (1)由题意知，a >0且1，b 是方程ax 2－3x ＋2＝0的根， ∴a ＝1.又1·b ＝2a，∴b ＝2.(2)不等式可化为x 2－2(c ＋1)x ＋4c >0，即(x －2c )(x －2)>0，当2c >2，即c >1时，不等式的解集为{x |x <2或x >2c }；当2c ＝2，即c ＝1时，不等式的解集为{x |x ≠2}；当2c <2，即c <1时，不等式的解集为{x |x >2或x <2c }．综上：当c >1时，不等式的解集为{x |x <2或x >2c }；当c ＝1时，不等式的解集为{x |x ≠2}；当c <1时，不等式的解集为{x |x >2或x <2c }．(教师用书独具)(2013·聊城高二检测)关于x 的不等式(a 2－1)x 2－(a －1)x －1<0的解集为R ，求实数a 的取值范围．【思路探究】按a 2－1是否为零分类讨论，必要时结合图像解决．【自主解答】 (1)若a 2－1＝0，即a ＝±1，当a ＝1时，不等式变为－1<0，解集为R ，当a ＝－1时，不等式变为2x －1<0，解集为{x |x <12}，不符合条件，舍去．∴a ＝1时满足条件．(2)若a 2－1≠0，即a ≠±1时，原不等式解集为R 的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1<0，Δ＝（a －1）2＋4（a 2－1）<0，解得－35<a <1.综上所述，当－35<a ≤1时，原不等式解集为R .1．本题易忽视对“a 2－1＝0”的讨论． 2．不等式的恒成立问题需注意：(1)一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)在R 上恒成立⇔一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)的解集为R ⇔二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图像恒在x 轴上方⇔f (x )min >0⇔⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ<0.(2)一元二次不等式ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)在R 上恒成立⇔一元二次不等式ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)的解集为R ⇔二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图像恒在x 轴下方⇔f (x )max <0⇔⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ<0.关于x 的不等式(1＋m )x 2＋mx ＋m <x 2＋1对x ∈R 恒成立，求实数m 的取值范围．【解】原不等式等价于mx 2＋mx ＋m －1<0对x ∈R 恒成立，当m ＝0时，0·x 2＋0·x －1<0对x ∈R 恒成立．当m ≠0时，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧m <0，Δ＝m 2－4m （m －1）<0，可化为⎩⎪⎨⎪⎧m <0，3m 2－4m >0，即⎩⎪⎨⎪⎧m <0，m <0，或m >43⇒m <0.综上，m 的取值范围为m ≤0.2．2 一元二次不等式的应用(教师用书独具)●三维目标 1．知识与技能会求解方程的存在性问题，会解简单的分式不等式和简单的高次不等式． 2．过程与方法培养数形结合的能力，一题多解的能力，培养抽象概括能力． 3．情感、态度与价值观激发学习数学的热情，培养勇于探索、创新的精神，同时体会从不同侧面观察同一立场的思想． ●重点难点重点：熟练掌握一元二次不等式的解法，初步掌握分式不等式及简单高次不等式的解法．难点：分式不等式及简单高次不等式的解法的理解．(教师用书独具)●教学建议解分式不等式的关键是转化，根据实数运算的符号法则，分式不等式的同解变形有如下几种： (1)f （x ）g （x ）>0⇔f (x )g (x )>0；(2)f （x ）g （x ）<0⇔f (x )g (x )<0； (3)f （x ）g （x ）≥0⇔f (x )g (x )≥0且g (x )≠0；(4)f （x ）g （x ）≤0⇔f (x )g (x )≤0且g (x )≠0. 一元高次不等式f (x )>0用穿针引线法(或数轴穿根法，或根轴法，或区间法)求解，其步骤是： ①将f (x )最高次项的系数化为正数；②将f (x )分解为若干个一次因式的积或一次因式与二次不可分解的因式的积；③将每一个使一次因式等于0的根标在数轴上，从最大根的右上方依次穿过每一点画曲线(注意重根情况，偶次方根穿而不过，奇次方根既穿又过)；④根据曲线显现的f (x )的值的符号，写出不等式的解集．●教学流程创设问题，提出问题：分式不等式与高次不等式如何解？⇒通过引导学生回答所提问题，让学生掌握分式不等式与高次不等式的解法⇒通过例1及互动探究，使学生掌握分式不等式的解法⇒通过例2及变式训练，使学生掌握简单高次不等式的解法⇒通过例3及变式训练，使学生掌握一元二次不等式的实际应用⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识所学知识⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识，并进行反馈、矫正(对应学生用书第53页)【问题导思】不等式x ＋2x －3>0①，x ＋2x －3≥0②. 不等式①与(x ＋2)(x －3)>0同解吗？不等式②与(x ＋2)(x －3)≥0同解吗？【提示】同解，不同解． 1.f （x ）g （x ）＞0与f (x )·g (x )＞0同解． 2.f （x ）g （x ）＜0与f (x )·g (x )＜0同解． 3.f （x ）g （x ）≥0与f (x )·g (x )≥0且g (x )≠0同解． 4.f （x ）g （x ）≤0与f (x )·g (x )≤0且g (x )≠0同解．【问题导思】对于函数f (x )＝x (x －1)(x －2)有几个零点？分别是什么？若x 分别属于下列区间，f (x )的符号怎样？ ①(－∞，0)；②(0，1)；③(1，2)；④(2，＋∞)．【提示】三个，0，1，2.①f (x )<0 ②f (x )>0 ③f (x )<0 ④f (x )>0如果把函数f (x )图像与x 轴的交点形象地看成“针眼”，函数f (x )的图像看成“线”，那么这种求解不等式的方法，我们形象地把它称为穿针引线法．(对应学生用书第54页)解不等式：(1)2x ＋11－x <0；(2)2x －3≤1.【思路探究】 (1)2x ＋11－x<0等价于哪个整式不等式？(2)x ＋12x －3≤1应如何变形？【自主解答】 (1)由2x ＋11－x <0，得x ＋12x －1>0，此不等式等价于(x ＋12)(x －1)>0，解得x <－12或x >1，∴原不等式的解集为{x |x <－12，或x >1}．(2)∵x ＋12x －3≤1，∴x ＋12x －3－1≤0. ∴－x ＋42x －3≤0.即x －4x －32≥0. 此不等式等价于(x －4)(x －32)≥0，且x －32≠0，解得x <32或x ≥4，∴原不等式的解集为{x |x <32，或x ≥4}．1．本例(2)易出现把x ＋12x －3≤1直接变形为x ＋1≤2x －3这样的错误．2．解分式不等式一般先移项，使不等式的一端为零，再利用不等式的性质将其转化整式不等式(组)来解．将本例(1)变为“>”，(2)改为x ＋1x －2≤2. 【解】 (1)由2x ＋11－x >0得x ＋12x －1<0等价于(x ＋12)(x －1)<0，解得－12<x <1.∴原不等式的解集为{x |－12<x <1}．(2)x ＋1x －2－2≤0即x －5x －2≥0等价于(x －5)(x －2)≥0且x ≠2，解得x <2或x ≥5，∴原不等式的解集为{x |x <2或x ≥5}．解不等式3x 22x －1－x >0.【思路探究】先把不等式通分化简，再用穿针引线法求解．【自主解答】原不等式可改写为3x 2－x （2x －1）2x －1＞0.即x （x ＋1）2x －1＞0，此不等式可转化成x (x ＋1)(2x －1)＞0，函数f (x )＝x (x ＋1)(2x －1)的函数值的符号如图所示．由图可知，不等式x (x ＋1)(2x －1)＞0，即原不等式的解集为{x |－1＜x ＜0，或x ＞12}．高次不等式的解法化成标准型p (x )＝(x －x 1)(x －x 2)…(x －x n )>0(或<0)．再利用穿针引线法写出解集，穿根的步骤：(1)分解因式；(2)确定零点；(3)在数轴上按照从小到大的顺序标根；(4)当最高次项的系数为正时，右起为正(其中奇过偶不过)进行穿根．解不等式x －8x<2.【解】先化简不等式得x (x 2－2x －8)<0，分解因式得x (x ＋2)(x －4)<0.如图所示，由穿针引线法可知原不等式的解集为(－∞，－2)∪(0，4)．车场，要求顶点C 在地块对角线MN 上，B 、D 分别在边AM 、AN 上，假设AB 的长度为x 米．图3－2－2(1)求矩形ABCD 的面积S 关于x 的函数解析式；(2)要使仓库占地ABCD 的面积不少于144平方米，则AB 的长度应在什么范围内？【思路探究】 (1)利用三角形相似表示出AD ，写出面积S 关于x 的函数解析式． (2)将实际问题表示为不等式，解不等式可求．【自主解答】 (1)根据题意，得△NDC 与△NAM 相似， ∴DC AM ＝ND NA ，即x 30＝20－AD 20，解得AD ＝20－23x ，∴矩形ABCD 的面积S 关于x 的函数为S ＝⎝⎛⎭⎪⎫20－23x x (0＜x ＜30)，即S ＝20x －23x 2(0＜x ＜30)． (2)要使仓库占地ABCD 的面积不少于144平方米，即 20x －23x 2≥144，化简得x 2－30x ＋216≤0.解得12≤x ≤18.∴AB 的长度取值范围为[12，18]．1．解答本题的关键在于求出用x 表示AD 的长度，还要注意x 的取值范围． 2．解不等式应用题，一般可按以下四步进行：(1)阅读理解、认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系；(2)引进数学符号，用不等式表示不等关系；(3)解不等式；(4)回答实际问题．一服装厂生产某种风衣，月产量x (件)与售价P (元/件)之间的关系为P ＝160－2x ，生产x 件的成本总数R ＝500＋30x (元)，假设生产的风衣当月全部售出．试问该厂的月产量为多少时，月获得的利润不少于1 300 元？【解】设该厂月获得的利润为y 元，则y ＝(160－2x )x －(500＋30x )＝－2x 2＋130x －500(0＜x ＜80)．由题意知y ≥1 300，。

人教B版高中数学必修五第3章312不等式的性质教案.docx

3.1.2不等式的性质一、学习目标1.通过对初中三条基本性质的回忆，以及上节学习的知识，证明不等式的基本性质和推论.2.在了解不等式的基本性质的基础上，利用它们来证明一些简单的不等式.3.通过本节的学习，激发学生顽强的探究精神和严肃认真的科学态度.体会数学的结构美和系统美，激发学生学习数学更大的热情.二、重点难点教学重点：理解并证明不等式的基本性质与推论，并能用基本性质证明一些简单的不等式.教学难点：不等式基本性质的灵活应用.三、教学过程导入新课思路1.（复习导入）让学生回忆并叙述初中所学的不等式的三条基本性质，即不等式的两边都加上（或减去）同一个数，不等号的方向不变；不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不■等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.让学生根据上一节的学习将上面的文字语.言用不等式表示出来，并进一步探究，rti此而展开新课.思路2.（类比导入）等式具有许多性质，其中有：在等式的两边都加上，或都减去，或都乘以，或都除以（除数不为零）同一个数，所得的仍是等式.我们自然会联想到，不等式是否也会有此同样的性质呢？学生会进一步探究验证这个联想，由此而展开新课.推进新课13活动：教师引导学生一起冋忆等式的性质：等式的两边都加上，或都减去，或都乘以，或都除以（除数不为零）同一个数，所得到的仍是等式.利用这些性质，我们可以对等式进行化简、变形或证明.那么不等式会不会也有类似的性质呢？也就是说，如果在不等式的两边都加上，或都减去，或都乘以，或都除以（除数不为零）同一个数，结果会不会不变呢？为此教师引导学生回忆上节课学过的实数的基本性质（或用多媒体展示），即a—b>0 a>b； a—b<0 a<b； a—b = 0 a = b.根据实数的基本性质，要比较两个实数的大小，可以考察这两个实数的差.这是我们研究不等关系的一个出发点.从实数的基本性质，我们可以证明下列常用的不等式性质：性质1,如果a>b,那么b<a；如果bVa,那么a>b,即a>b b<a.这种性质称为不等式的对称性.性质2,如果a>b, b>c,那么a>c,即a>b, b>c a>c.这种性质称为不.等式的传递性.性质3,如果a>b,那么a+c>b + c,即不等式的两边都加上同一个实数，所得不等式与原不等式同向.由此得到推论1,不等式屮的任意一项都可以把它的符号变成相反的符号后，从不等式的一边移到另一边•这个推论称为不等式的移项法则.推论2,如果a>b, c>d,则 a + c>b + d.这类不等号方向相同的不等式，叫做同向不等式，同向不等式可以相加，这个推论可以推广为更一般的结论.性质4,如果a>b, c>0,则ac>bc；如果a>b, c<0,则ac<bc.推论1,如果a>b>0, c>d>0,那么ac>bd.推论2,如果a>b>0,那么a n>b n（neN+, n>l）・推论3,如果a>b>0,那么*^>*^（nGN+, n>l）.以上这些不等式的性质是解决不等式问题的基本依据.其屮性质1是不等式的对称性；性质2是不等式的传递性；性质3表明不等式的两边都加上同一个实数，所得不等式与原不等式同向，由此可得不等式川任何一项可以改变符号后移到不等号的另一边；性质4表明，不等式两边允许用非零数（或式）去乘，相乘后的不等式的方向取决于乘式的符号，这点与等式的性质不同；性质4的推论1说明两边都是止数的同向不等式可以相乘；性质4的推论2说明两边都是正数的不等式可以乘方；性质4的推论3说明两边都是正数的不等式可以开方.应用示例例1、（教材本节例题）：活动：•本节教材上共安排了这一个例题，含3个小题，都是不等式性质的简单应用，教师不可忽视本例的训练，过高估计了学生逻辑推理的书写能力.实践证明，学生往往推理不严密.教学时应指导学生根据不等式的性质的条件和结论，强调推理要有理有据，严谨细致，条理清晰.点评：应用不等式性质对已知不等式进行变形，从而得出要证的不等式，是证明不等式的常用方法之C C变式训练：已知a>b>0，c<0,求证：L>厂 a b证明：Va>b>0, ab>0, —>0.,于是 a • ~r>b • —7,即;>丄. ab ab ab bac c由 c<0,得一>「 a bJT JT a + B a — B例2已知一片W a b>0, c<d<0, e<0,求证：最〉肯'活动：教师引导学生观察结论，由于e<0,因此即证占，引导学生作差，利用本节所学的不等式基木性质.解：V -y < a b>0,则下列不等式中总成立的是（）b b+1 A. a a 十1C. a+f>b+ 丄 b a3. 有以下四个条件:®b>O>a ； @0>a>b ； @a>O>b ；④a>b>0.其屮能使丄<£成立的有 __________ 个条件• a b答案：a b 1. C 解法一：Va>b, c 2+l>0,・••注解法二：令a=l, b=—2, c = 0,代入A 、C> D 中，可知A 、B 、D 均错.2. C 解法一：由 a>b>0 =^>0<-<7 =>a+：>b+丄. a bb a解法二：令a=2, b=l,排除A 、D,再令a=|, b=*,排除B.”厂 1 11 1 3. 解析：①Vb>0, A->0. Va<0, :-<Q. :-<7：- b a a b 证明：c<d<0 -c>-d>0a>b>0 a —c'b — d e<0 点评：本例是灵活运用不等式的性质.证明吋一定要推理有据，思路条理清晰.知能训练1-若a 、b. ceR, a>b,则下列不等式成立的是（） 11 - b < B. a 2>b 2a b c -?+T >7+TD. a.|c | >b | c | B. a+l>b+： a b 2a + b a D ，I+2b >b e >b T d e②Vb<a<0,・・・£>丄.b a— 1111(3)Va>0>b, A->0, -<0. /•->-a b a b厂、 1 1@Va>b>0, /.-<- a b课堂小结1.教师与学生共同完成本节的小结.从实数的基本性质与三条基本性质的回顾，到所有性质的推得, 推论的证明，以及例题的探究、变式训练等.真正温故知新，将本节课所学内容纳入已有的知识体系.2.教师进一步强调代数逻辑推理的方法要领，指出利用不等式的性质时容易忽略的地方，以及证明不等式时需要注意的问题.作业习题3—1A组4、5；习题3—1B组4.。

高中数学第三章不等式学案新人教A版必修5-新人教A版高一必修5数学学案

第三章不等式3.1不等关系与不等式一、【学习目标】知识与技能：通过具体情景，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，理解不等式（组）的实际背景，掌握不等式的基本性质；过程与方法：通过解决具体问题，学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的方法；情态与价值：通过解决具体问题，体会数学在生活中的重要作用，培养严谨的思维习惯。

二、【教学重点、难点】教学重点：用不等式（组）表示实际问题的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题。

理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值。

教学难点：用不等式（组）正确表示出不等关系。

三、【教学过程】1.课题导入在现实世界和日常生活中，既有相等关系，又存在着大量的不等关系。

如两点之间线段最短，三角形两边之和大于第三边，等等。

人们还经常用长与短、高与矮、轻与重、胖与瘦、大与小、不超过或不少于等来描述某种客观事物在数量上存在的不等关系。

在数学中，我们用不等式来表示不等关系。

下面我们首先来看如何利用不等式来表示不等关系。

自习课本p72-p742.讲授新课1）用不等式表示不等关系引例1：限速40km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40km/h，写成不等式就是：v40引例2：某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%，写成不等式组就是——用不等式组来表示2.5%2.3%f p ≤⎧⎨≥⎩问题1：设点A 与平面α的距离为d,B 为平面α上的任意一点，则||d AB ≤。

问题2：某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本。

据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2000本。

若把提价后杂志的定价设为x 元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？解：设杂志社的定价为x 元，则销售的总收入为 2.5(80.2)0.1x x --⨯ 万元，那么不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以表示为不等式2.5(80.2)200.1x x --⨯≥ 问题3：某钢铁厂要把长度为4000mm 的钢管截成500mm 和600mm 两种。

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3.1不等关系与不等式(一)【教学目标】1．了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式（组）的实际背景。

2．会比较两个实数的大小，掌握不等式的基本性质【重、难点】比较两个数的大小的方法【基础知识】一．不等式：用的式子叫不等式，不等号包括: . 二.实数比较大小的运算性质:设,a b R ∈，则a b >⇔ ； ;.a b a b =⇔<⇔三．(拓展)倒数法则：,0a b ab >>⇒ab ；,0ab a b <>⇒a b(,a b 同号即可，而不要求均大于0).四.使用不等式性质时应注意的问题：1.在使用不等式时，一定要搞清它们成立的前提条件．不可强化或弱化成立的条件．如“同向不等式”才可相加，“同向且两边同正的不等式”才可相乘；可乘性中“c 的符号”等也需要注意．2．作差法是比较两数(式)大小的常用方法，也是证明不等式的基本方法．要注意强化化归意识，同时注意函数性质在比较大小中的作用．【方法技巧】比较大小的常用方法(1)作差法：一般步骤是：①作差；②变形；③定号；④结论．其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差．(2)作商法：一般步骤是：①作商；②变形；③判断商与1的大小；④结论．(3)特值法：若是选择题、填空题可以用特值法比较大小；若是解答题，可先用特值探究思路，再用作差或作商法判断．【特别提醒】用作商法时要注意商式中分母的正负，否则极易得出相反的结论．知识点一不等式的性质及运用例1（1） a 、b 、c 为实数，判断下列语句是否正确．(1)若a >b ，则ac <bc ； (2)若ac 2>bc 2，则a >b ； (3)若a ab >b 2；(4)若c >a >b >0，则a c －a >b c －b ； (5)若a >b ，1a >1b ，则a >0，b <0.（2）若0a b a >>>-，0c d <<，则下列结论：①ad bc >；②0a bd c+<； ③a c b d ->-；④()()a d c b d c ->-中成立的个数是 ( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4总结在不等式的各性质中，乘法的性质极易出错，即在不等式两边同乘或除以一个数时，必须要确定该数是正数、负数或零，否则结论就不确定．知识点二利用不等式的性质求取值范围例2 （1）已知14x y -<+<且23x y <-<，则23z x y =-的取值范围是________．（2）已知22ππαβ-≤<≤，则2αβ+的取值范围是________；2αβ- 的取值范围是________．（2）已知1lg 4xy ≤≤，1lg 2xy-≤≤，则2lg x y 的取值范围是3.1不等关系与不等式(二)一．选择题1．若a ，b ，c ∈R ，a >b ，则下列不等式成立的是( )A.1a <1b B ．a 2>b 2 C.a c 2＋1>bc 2＋1 D ．a |c |>b |c | 2．已知a 、b 为非零实数，且a NC ．M ＝ND ．不确定4．若a >0且a ≠1，M ＝log a (a 3＋1)，N ＝log a (a 2＋1)，则M ，N 的大小关系为( )A ．M <NB ．M ≤NC ．M >ND ．M ≥N5．若a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0，则下列不等式中正确的是( )A ．ab >acB ．ac >bcC ．a |b |>c |b |D ．a 2>b 2>c 26.设,a b R ∈，则“01ab <<”是“1b a<”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 7.已知12,(0,1)a a ∈，记12M a a =，121N a a =+-则,M N 的大小关系是( )A ．M N ≥B ．M N ≤C ．M N =D ．不能确定8.已知三个不等式：0ab >，0bc ad ->，0c da b-> (其中,,,a b c d 均为实数)，用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成的正确命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 9.爬山是一种简单有趣的野外活动,有益于身体健康,但要注意安全,准备好必需物品,控制速度.现有甲,乙两人相约爬山,若甲上山的速度为1v ,下山(原路返回)的速度为212()v v v ≠,乙上下山的速度都是121()2v v +(两人中途不停歇),则甲,乙两人上下山所用的时间12,t t 的关系为( )A.12t t >B. 12t t <C. 12t t =D.不能确定 10若13a <<，42b -<<，则a b -的取值范围是( )A ．(1,3)-B ．(3,6)-C ．(3,3)-D ．(1,4) 11.设,,a b c R ∈,且a b >,则（）A ．ac bc >B ．11a b< C ．22a b > D ．33a b >二．填空题12．若0a b >>，则不等式①22b b a a +>+；②11a b b a +>+；③22a b aa b b+>+；④11a b a b+>+ 总能成立的是________． 13. 定义,*a a ba b b a b<⎧=⎨≥⎩，已知0.33a =，30.3b =，3log 0.3c =，则(*)*a b c =________.(结果用,,a b c 表示)14. 设,x y 满足约束条件 13,10x x y ≤≤⎧⎨-≤-≤⎩,则2z x y =-的最大值为______.15．若1≤a≤5，－1≤b≤2，则a －b 的取值范围是________．16．若x ∈R ，则x 1＋x2与12的大小关系为________．17．设n>1，n ∈N ，A ＝n －n －1，B ＝n ＋1－n ，则A 与B 的大小关系为________．三、解答题18．设a >b >0，试比较a 2－b 2a 2＋b 2与a －ba ＋b的大小．3.2 一元二次不等式及其解法（1）【学习目标】1.了解一元二次不等式的实际背景；2.理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系；3. 掌握一元二次不等式的解法；【重、难点】1．一元二次不等式及其解法；2．一元二次不等式、一元二次方程及二次函数的联系；【新课导入】【预习提纲】（根据以下提纲，预习教材第76页～第78页）1.认真阅读教材引例，归纳出一元二次不等式的概念.2.02>++c bx ax 可以看做一元二次不等式的条件 .3.根据二次函数、一元二次方程、一元二次不等式间的关系完成下表： 0>∆0=∆0<∆二次函数c bx ax y ++=2（0>a ）的图象c bx ax y ++=2c bx ax y ++=2c bx ax y ++=2一元二次方程()的根002>=++a c bx ax无实根的解集)0(02>>++a c bx ax⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠a b x x 2的解集)0(02><++a c bx axφ① 将二次项系数化为“+”：A=c bx ax ++2>0(或<0)(a>0)② 计算判别式∆，分析不等式的解的情况：ⅰ.∆>0时，求根1x <2x ，⎩⎨⎧<<<><>.002121x x x A x x x A ，则若；或，则若ⅱ.∆=0时，求根1x ＝2x ＝0x ，⎪⎩⎪⎨⎧=≤∈<≠>.00000x x A x A x x A ，则若；，则若的一切实数；，则若φⅲ.∆<0时，方程无解，⎩⎨⎧∈≤∈>.00φx A R x A ，则若；，则若③ 写出解集.【典型例题】例1下面哪些不等式是一元二次不等式？（其中a 、b 、c 、m 为常数）. ⑴52≤--x x ； ⑵22>ax ； ⑶0653>-+x x ；⑷052<-y mx ；变式训练1：判断下列不等式哪些是一元二次不等式：⑴0322<-+x ax ；⑵0222>++-ax x ；⑶322>+ny mx ；例2 求不等式01442>+-x x 的解集.变式训练2：求不等式0322>-+-x x 的解集.例3不等式022>++bx ax 的解为3121<<-x ，则=+b a ，不等式022<++bx ax 的解为 .变式训练3：二次方程02=++c bx ax 的两根为2-，3，0<a ，那么02>++c bx ax 的解集为（）.（A ）{}23-<>x x x 或（B ）{}22-<>x x x 或（C ）{}32<<-x x （D ）{}23<<-x x 【作业】1. 下列不等式：①02>x ；②52≤--x x ；③22>ax ；④0653>-+x x ；⑤052<-y mx ；⑥02>++c bx ax .其中是一元二次不等式的有（）个.（A ）5 （B ）4 （C ）3 （D ）22.不等式()()021≤-+x x 的解集为（）.(A)[]1,2- (B)[]2,1- （C ）(][)+∞⋃-∞-,21, （D ）(][)+∞-⋃-∞-,12,3.已知65,06522++=<+-x x M x x ，则M 的取值范围是（）. (A)20>M (B)R （C ）3020<<M （D ）300<<M4.已知二次不等式012>++bx ax 的解集为{}12<<-x x ，则b a ,的值为（）. （A ）2,1-=-=b a （B ）1,2-=-=b a （C ）2,1==b a （D ）21-==b a5.若关于x 的不等式02182<++mx mx 的解集为{}17-<<-x x ，则实数m 的取值是（）.(A) 1 (B) 3 （C ）7 （D ） 86．若集合{}()(){}052,0342<--=<+-=x x x B x x x A ，则=⋂B A .7.函数122-+=x x y 的定义域是 .8.方程()032=+-+m x m x 有两个实根，则实数m 的取值范围是 .9.不等式022>++bx ax 的解集是⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-3121x x ，试确定b a -的值.10.求函数()()124lg 2--+=x x x x f 的定义域.3.2 一元二次不等式及其解法（2）【学习目标】1.进一步熟悉一元二次不等式的解法；2.理解“三个二次”之间的关系；3.一元二次不等式的实际应用; 【重、难点】1．一元二次不等式的解法； 2．一元二次不等式的应用；3.一元二次不等式、一元二次方程及二次函数的联系; 【新课导入】（根据以下提纲，预习教材第 78 页～第79页）1.当0<a 时，如何解一元二次不等式()?002<>++或c bx ax2.若一元二次不等式02<++c bx ax 的解集为{},21x x x x <<则可以判断a 0，方程02=++c bx ax 的根分别为 .3.在例3中是如何构造二次不等式的？4.在例四中，为什么对x 的取值进行限制？你从中得到的启发是什么？5.如何解决一元二次不等式的应用？基础练习1.在下列不等式中，解集是φ的是（）.(A)02322>+-x x （B ）0442≤++x x（C ）0442<--x x （D ）02322>-+-x x2.一元二次不等式02>++c bx ax 的解集是全体实数的条件是（）.（A ）⎩⎨⎧>∆>00a （B ）⎩⎨⎧<∆>00a （C ） ⎩⎨⎧>∆<00a (D)⎩⎨⎧<∆<0a3.不等式()()021≤-+x x 的解集为（）.（A ）{}12≤≤-x x （B ）{}21≤≤-x x （C ）{}21≥-≤x x x 或（D ）{}12≥-≤x x x 或 4.二次函数342+-=x x y 在0<y 时x 的取值范围是 .【典型例题】例1某种牌号的汽车在水泥路面上的刹车距离s m 和汽车的速度 x km/h 有如下的关系：21801201x x S +=在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离大于m 5.39，那么这辆汽车刹车前的速度是多少？（精确到01.0km/）.变式训练1：一个汽车制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量x （辆）与创造的价值y （元）之间有如下的关系：x x y 22022+-=若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收6000元以上，那么它在一个星期内大约应该生产多少辆摩托车？例3 已知关于x 的不等式02>++c bx ax 的解集为{}βα<<x x ，其中0>>αβ，则不等式02<++a bx cx 的解集为（）. （A ）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛αβ1,1 (B)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛βα1,1 (C)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--βα1,1 (D)⎪⎭⎫⎝⎛+∞⋃⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-,11,αβ变式训练2：已知不等式022>++bx ax 的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-3121x x ，求022<++a bx x 的解集.【作业】 1.函数122-+=x x y 的定义域是（）.（A ）{}34>-<x x x 或 (B){}34<<-x x （C ）{}34≥-≤x x x 或（D ）{}34≤≤-x x2.已知关于x 的不等式0>+b ax 的解集是()+∞,1，则关于x 的不等式()()02>--x b ax 的解集是（）.(A)()()+∞⋃-∞-,21, （B ）()2,1- （C ）()2,1 （D ）()+∞,2 3.若()862++-=k kx kx x f 的定义域为R ，则实数k 的取值范围是（）.（A ）{}10≤<k k （B ）{}10><k k k 或（C ）{}10≤≤k k （D ）{}1>k k 4.已知集合{}42<=x x M ，{}0322<--=x x x N ，则集合=⋂N M （）. （A ）{}2-<x x （B ）{}3>x x （C ）{}21<<-x x （D ）{}32<<x x 5.不等式)0(26322<<-m m mx x 的解集为（）. （A ）⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-79m x m x （B ）⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<<97m x m x （C ）⎭⎬⎫⎩⎨⎧>-<79m x m x x 或（D ）⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<>97m x m x x 或 6.已知结合{}{}121,01032-≤≤+=≤--=m x m x B x x x A ，且φ=⋂B A ,则实数m 的取值范围为（）.（A ）()2,∞- （B ）()+∞,4 （C ）()()+∞⋃∞-,42, （D ）()4,2 7.函数()x x y 34log 25.0-=的定义域是 .8.已知不等式02<--b ax x 的解集为()3,2，则不等式012>--ax bx 的解集为 .9．用一根长为m 100的绳子围成一个面积大于2600m 的矩形吗？当长、宽分别为多少米时，所围成的矩形的面积最大？3.3.1 二元一次不等式组与平面区域(B)【学习目标】1.从实际情境中抽象出二元一次不等式组.2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组. 【重、难点】1.从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．2.截距模型及应用问题【新课导入】（预习教材P 82- P 86，找出疑惑之处） 1．二元一次不等式(组)表示的平面区域(1)[试点法]判断不等式Ax ＋By ＋C >0所表示的平面区域，可在直线Ax ＋By ＋C ＝0的某一侧的半平面内选取一个特殊点，如选原点或坐标轴上的点来验证Ax ＋By ＋C 的正负．当C ≠0时，常选用原点(0,0)．(2)[B>0判断法]对于任意的二元一次不等式Ax ＋By ＋C >0(或<0)，无论B 为正值还是负值，我们都可以把y 项的系数变形为正数，当B >0时，①Ax ＋By ＋C >0表示直线Ax ＋By ＋C ＝0________的区域； ②Ax ＋By ＋C <0表示直线Ax ＋By ＋C ＝0________的区域．2.画不等式Ax ＋By ＋C >0表示的平面区域时，其边界直线应为虚线；画不等式Ax ＋By ＋C ≥0表示的平面区域时，边界直线应为实线．画二元一次不等式表示的平面区域，常用的方法是：直线定“界”、原点定“域”．【典型例题】画出不等式组表示的平面区域例1 画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3表示的平面区域，并回答下列问题：(1)指出x ，y 的取值范围；(2)平面区域内有多少个整点？例2.要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小.【课后反思】1．在直角坐标系xOy内，已知直线l：Ax＋By＋C＝0与点P(x0，y0)，当B>0时,代(x0，y0),入若Ax0＋By0＋C>0，则点P在直线l上方，若Ax0＋By0＋C<0，则点P在直线l下方．2．在直线l：Ax＋By＋C＝0外任意取两点P(x1，y1)、Q(x2，y2)，若P、Q在直线l的同一侧，则Ax1＋By1＋C与Ax2＋By2＋C同号；若P、Q在直线l异侧，则Ax1＋By1＋C与Ax2＋By2＋C 异号，这个规律可概括为“同侧同号，异侧异号”．【作业】1．在平面直角坐标系中，若点(－2，t)在直线x－2y＋4＝0的上方，则t的取值范围是______________．2．若点(3,1)和(－4,6)在直线3x－2y＋a＝0的两侧，则实数a的取值范围是________．3．在平面直角坐标系xOy中，已知平面区域A＝{(x，y)|x＋y≤1，且x≥0，y≥0}，则平面区域B＝{(x＋y，x－y)|(x，y)∈A}的面积为________．4．不等式(x－2y＋1)(x＋y－3)≤0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)应是________(填序号)．5．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －6≤0，x ＋y －3≥0，y ≤2表示的平面区域为M ，若函数y ＝k (x ＋1)＋1的图象经过区域M ，则实数k 的取值范围是____________．6、在平面直角坐标系中，不等式组20200x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩表示的平面区域的面积是7、已知关于x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，x ＋y －2≥0，kx －y ＋2≥0所表示的平面区域的面积为4，则k 的值为．3.3.2简单的线性规划问题(B)【学习目标】1. 了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念；2. 了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题；【重、难点】1. 培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透集合、化归、数形结合的数学思想.2.用图解法解决简单的线性规划问题,准确求得线性规划问题的最优解.【新课导入】（预习教材P 87- P 91，找出疑惑之处） 1.．线性规划的有关概念(1)线性约束条件——由条件列出一次不等式(或方程)组． (2)线性目标函数——由条件列出一次函数表达式．(3)线性规划问题：求线性目标函数在约束条件下的最大值或最小值问题． (4)可行解：满足____________的解(x ，y )． (5)可行域：所有________组成的集合．(6)最优解：使____________取得最大值或最小值的可行解．2．利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是：(1)在平面直角坐标系内作出可行域．(2)作出目标函数的等值线．(3)确定最优解：在可行域内平行移动目标函数等值线，从而确定__________．【典型例题】在生活、生产中，经常会遇到资源利用、人力调配、生产安排的等问题，如：某工厂有A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A配件耗时1h，每生产一件乙产品使用4个B配件耗时2h，该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件，按每天8h计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？（1）用不等式组表示问题中的限制条件：设甲、乙两种产品分别生产x、y件，由已知条件可得二元一次不等式组：（2）画出不等式组所表示的平面区域：【课后反思】1．求解目标函数不是直线形式的最值的思维程序是：画出可行域→明确目标函数z的几何意义→结合图形找最优解→求目标函数的最值2.寻找整点最优解的方法：1. 平移找解法：先打网格，描整点，平移直线，最先经过或最后经过的整点便是最优整点解，这种方法应用于充分利用非整点最优解的信息，结合精确的作图才行，当可行域是有限区域且整点个数又较少时，可逐个将整点坐标代入目标函数求值，经比较求最优解.2. 调整优值法：先求非整点最优解及最优值，再借助不定方程的知识调整最优值，最后筛先出整点最优解.3. 由于作图有误差，有时仅由图形不一定就能准确而迅速地找到最优解，此时可将数个可能解逐一检验即可见分晓.【作业】1．已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组⎩⎨⎧0≤x ≤2，y ≤2，x ≤2y给定，若M (x ，y )为D上的动点，点A 的坐标为(2，1)，则z ＝2x ＋y 的最大值为______________． 2．设变量x ，y 满足|x |＋|y |≤1，则x ＋2y 的最大值和最小值分别为________． 3．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －11≥0，3x －y ＋3≥0，5x －3y ＋9≤0表示的平面区域为D .若指数函数y ＝a x 的图象上存在区域D 上的点，则a 的取值范围是________．4．已知实数x 、y 同时满足以下三个条件：①x －y ＋2≤0；②x ≥1；③x ＋y －7≤0，则yx的取值范围是______________．3.4 基本不等式（一）【学习目标】12a b+，理解不等式的几何意义。