大学物理实验绪论(下)

间接测量结果的表达
被求量x的结果 计Hale Waihona Puke Baidu值 传递的标准合成不确定 (单位) 度
间接测量值 w σ x (单位) (其中w f(x1, x 2 ,...), σ x为传递的标准合成不确 定度)
这时有效位数也向不确定度的位数对齐，不确定度 按宁大勿小进位。可接受的不确定度位数一般为1或2位。 对于一般教学实验，不确定度通常只取一位，按宁 大勿小进位。结果的有效位数向不确定度对齐。
(3)有效数字反映仪器的精度。 读数时，必须读到估读的一位，即最后一位是估读 的，是有误差的。
例如：1.35cm，其中0.05为估读位。米尺的最小分度 值为0.1cm，因此估读位为0.01cm。因而1.35cm很可 能是用米尺测量的。而1.3500cm则一定不是用米尺测 量的，而是用千分尺测量的。
2 i i
n I I n 2 0 即 ( vi ) 2 ( yi a bxi ) 0 a a a i i n I I n 2 0 即 ( vi ) 2 ( yi a bxi )xi 0 b b b i i
n
n
n I I n 2 0 即 ( vi ) 2 ( yi a bxi ) 0 a a a i i n I I n 2 0 即 ( vi ) 2 ( yi a bxi )xi 0 b b b i i
(2)三角形边a = 10.00±0.01cm，b = 15.00±0.02cm，
夹角：Ψ = 30.0±0.5o。由其面积公式 S ab sin，
求面积S及其误差。
1 2
10 物理实验的数据处理方法 实验中，被记录下来的原始数据还需要经过适当 的处理和计算才能反映出事物的内在规律或得出测量 值，这种处理的计算过程称为数据处理。根据不同的 需要，可采用不同的数据处理方法。 一、列表法 把数据按一定的规律列成表格，可以使物理量之间 的一一对应关系简明，醒目，也有助于发现其间的规 律，比如递增或递减。 列表法要点： 1、表格设计力求合理、简明、便于观察。 2、各栏目中的物理量均应注其名称和单位。 3、各量排列顺序尽量与测量顺序一致，以便寻规律。
被测量量的结果 仪器示值
Δ仪 3
(单位)
一位估读值
用0.1℃分度的水银温度计测量水温t为28.35℃， S 温度计的误差为x仪 0.2C，仪 0.12C ，则温度表示为：
t 28.35 0.12(C) Et 0.5% (0.00423...)
不确定度的末位与有效位数的末位对齐，按宁大勿小 进位。 若实验仪器长期使用而又不被经常校准（如教学仪 器），不确定度通常只取一位，也按宁大勿小进位。
手工画图时，数据点用十 字叉丝，交叉点为测量值 的位置
在转换测量中，常将被测量量经某种方法转换为 另一种物理量显示，于是利用读出的量与被测量之间 的固定关系，由读出的量找出相应的被测量值。
某些函数关系是非线性关系，图线常常不易画， 而且也难判断实验结果的特点，但若能通过某些坐 标的变换来处理，就可以把曲线变换成直线，从而 获得许多好处。
有效数字经过乘除运算后，得数的有效数字的位数与 参与运算的各数中有效数字位数最少那个数的有效数 字位数相同。
（3）乘方、开方的有效数字运算后的有效数字位数与 底数的有效数字相同。
34.780 34.780 34.780 1209.6
2
34.780 5.8975
（4）三角函数,对数,指数有效数字运算法则 一般可采用函数增量分析的方法，先决定误差位， 再将测量结果误差位对齐。 例：求cos7o26’的数值。 y cos dy sind y sin 由误差传递公式可得cos7o26’的误差 Δ =（sin7o26’）Δ θ (1) 这里角度是直接测量量，其测量量具为角游标尺， 其最小分度值为1’。所以 Δ θ =1’=(1/60)o=(1/60)×(π /180) (2) 将（2）代入（1）得 Δ =（sin7o26’）×(1/60)×(π /180)=0.00004 所以，cos7o26’=0.99198。
对数,指数和三角函数有效数字取位简略规则如下： 1. 对数 对数运算结果的小数点后面的位数与原值的位数 相同。当原值的第一位数大于“5”时，多取一位 例： 取 3位
lg 57.3 1.758
1.758154622
取 4位
lg 6.01 0.7789
0.778874472
2. 指数 运算结果的有效位数与原值指数的小数点后的位 数相同(包括零)。 取 2位 例： 5.84 2
最小二乘法原理：最佳拟合直线上的函数值与各 相应点测量值之差的平方和在所有拟合直线中为最小。 假定每个测量点{xi,yi}都是等精度的，且xi没有误 差。设拟合直线上的函数值 y 与各相应点测量值 yi 之差为vi=yi-(a+bxi)。 现在的目标是确定a和b，使差值vi的平方和最小。
即寻找a和b, I vi ( yi a bxi ) 2 min
[例]设用一实验方法测得出Y与X对应数据如下表， 试用作图法求其经验公式。
6 5 4 3 2 1 0 0 20 40 X 60 80 100
Y
从数据表上看出Y 对均匀变化的X较为均 匀的变化，所以可估 计X-Y曲线为直线，令 Y=aX+b，如图可求得 a=tan(22.5o)=0.41， b=1.5。 所以经验公式为 Y=0.41X+1.5
(4)可靠数与可靠数相互运算后仍为可靠数。
3. 下面用实例讨论如何确定有效数字的运算法则。
在运算中，为了与可靠数字加以区别，可疑数字以 红色数字表示。
（1）有效数字的加减法则 计算 10.1+1.551=?
10.1 + 1.551 11.651
数值11.651的末两位已无意义，根据舍入法改写为 11.7。 有效数字经过加减运算后，得数的最后一位数应该 与参与运算的诸数中可疑位数最高的位数一致。
e
3.4 10
343.7793407
取 6位
e0.000134 1.00013
1.000134009
（5）特殊数的有效数字位数 参与运算的准确数字或常数，比如2，π ，e等的有 效数字的位数可以认为有无限位。
实验结果的表达
测量结果 最佳估计值 不确定度
单次测量结果的表达
（2）有效数字的乘除运算法则
计算 12.385╳1.1=?
12.385 ╳ 1.1 1.2385 12.385 13.6235
93.505÷12=?
7.792 12 93.504 84 95 84 110 108 24 24 0
舍入后13.6235变为14， 所以12.385╳1.1=14。 同理 93.505÷12=7.8。
示出一定的物理规律，求出相关物理量，但是它存在
着较多的主观随意性。对于同一组测量数据作图，不 同的人可以得出的不同的结果。 由一组实验数据找出一条最佳拟合曲线，常用的 方法是最小二乘法，所得的变量之间的函数关系称为
回归方程。这里介绍物理实验中最常用的最小二乘法
进行一元线性拟合方法 最小二乘法原理：最佳拟合直线上的函数值与各 相应点测量值之差的平方和在所有拟合直线中为最小。
lnR-1/T 图
T
330 340 350
6 5.9 2.9 2.95 3 3.05 3.1 3.15 3.2
3 1/T(10 )
3.25
作变换用lnRT—1/T作图，就变为一条直线关系。
R
1000 900 800 700 600 500 400 300 310 320
R-T 图
lnR
6.9 6.8 6.7 6.6 6.5 6.4 6.3 6.2 6.1
间接量w的值按照有效数字计算规则和四舍五入法 则确定。
练习题
计算以下各式的结果及其误差（标准误差）：
(1)y = A + 2B + C - 2D，其中
A = 38.206 ± 0.001cm， B = 13.2487 ± 0.0001cm， C = 161.25 ± 0.01cm， D = 1.3242cm ± 0.01cm 。
t 28.4 0.2(C)
Et 0.8%
等精度多次测量结果的表达
Δ仪 3
被测量量x的结果 示值平均值 标准合成不确定度u (单位) x x
x x u x (单位) ux Ex 100% x (其中ux S x (
2
)2 )
这时有效位数与不确定度的末位对齐，按宁大勿小进 位。可接受的不确定度位数一般为1或2位。若不确定度超 过有效位数两位的，说明相关的测量有待改进。 对于一般教学实验，不确定度通常只取一位，也按 宁大勿小进位。作为中间结果，可以多保留一位。
(y
i n
i
n
i
lnR-1/T 图
T
330 340 350
6 5.9 2.9 2.95 3 3.05 3.1 3.15 3.2
3 1/T(10 )
3.25
r=-0.973
r=0.995
相关系数 r
2
xy x y ( x x )( y y )
2 2 2
r 1
11
曲线拟合
把实验数据画成图表，虽然可以通过曲线拟合表
二、作图法
作图是指将自变测量量作为横坐标，因变测量量作 为纵坐标在坐标纸上一一找出对应点，称为实验点， 再把这些实验点连成曲线，从而发现两个测量量之间 的关系。坐标纸分为方格纸、单对数纸、双对数纸、 概率纸等多种，使用时，可根据需要选择。 作图要点:
1.标明横坐标和纵坐标的分度，变量名及单位。 2.实验数据点用“+” “⊙” “△” 等标出，交点处即为 实验数据的位置。多组数据用不同颜色的“+”等标出， 并标明图例。 * 统一用25X20毫米方格纸，可以将画图部分剪贴到 实验报告纸上。
大学物理实验
绪论(下）
2010-2011学年第二学期
9 有效数字的几个概念
1、有效数字的定义 可靠的几位数字加上可疑的一位数字统称为测量 结果的有效数字。
2、与有效数字定义有关的几个概念
(1)有效数字位数与小数点和单位无关
用以表示小数点位置的“0”不是有效数字。
(2)当“0”不是表示小数点位置时为有效数字，因此 数据最后零不能随便加上，也不能随便减去。 例如：0.02040米中，“2”前面的“0”不是有效数字， 而中间和最后的“0”为有效数字，最后的“0”不能省
2.3473 → 2.35 2.3451 → 2.35 2.345 → 2.34 2.3449 → 2.34 2.3427 → 2.34 2.3773 → 2.38 2.3751 → 2.38 2.375 → 2.38 2.3749 → 2.37 2.3727 → 2.37
2. 在进行有效数字运算前，先确定几个运算规则： (1)有效数字相互运算后仍为有效数字，既最后一位可 疑其它位数均可靠。 (2)可疑数与可疑数相互运算后仍为可疑数，但其进位 数可视为可靠数。 (3)可疑数与可靠数相互运算后仍为可疑数。
[例]在热敏电阻温度测量实验中，所得实验数 据记录如下表：
R-T 图 R 1000 900 800 700 600 500 400 300 310 320 330 340 350 T
R
1000 900 800 700 600 500 400 300 310 320
R-T 图
lnR
6.9 6.8 6.7 6.6 6.5 6.4 6.3 6.2 6.1
(4)有效数字的科学书写方式(浮点书写规则) 将有效数字首位作个位，其余各位均位于小数点 后，再乘以10的方幂.
例如：25.46cm=254.6mm=2.546×105μm
有效数字的运算规则
有效数字在运算的过程中，会出现很多位数受估 读位的影响，如果都给予保留，既繁琐又不合理，下 面讨论如何合理地确定运算结果的有效数字的位数。 1.在有效数字计算时会遇到有效位的舍取，故先讨论 有效数字截尾的舍入规则 依照截尾数字分布的统计均匀规律，有效数字 的截尾采用四舍五入的原则。 因纯五的情况较少见，故通常只遵循四舍五入也可以。 例1：保留三位有效数字 例2：保留三位有效数字