分形的数学基础

D = 1 + |m| r 为多边形边长，P 为边长为 r 的多边形周长，D 为边界曲线
的分维数。
粗视化维数定义之二
计 盒 维 数
• 定义：将空间分割为边长为 r 的单元，然后查找空间
中含有内容的单元数 N（r）， 如果 r 变化时，满足
N r r
则 D 为该图形维数。
D
计 盒 维 数 举 例
分形的数学基础
问 题 的 出 路
• Peano曲线的启示 • 从曲线的角度看，被填充的平面应为一 维； • Peano曲线可适用于三维以上，因此， 从自由度的角度考虑，可将 N 维空间 看作一维； • 为了避免这一矛盾，须从根本上考虑维 数的定义！
分形维数的定义
分形维数定义之一
：相 似 性 维 数
1
故直线为1维，与常识一致。
海 岸 线 怎 么 办？
• 用不同 r 为半径的圆去 近似海岸线， 最后找到
N r r
的形式即可。
D
N r
测量海岸线
r
分数维示意
测量海岸线分数维示意
P 为边长为 r 的多边形周长 双对数坐标
P
r
• 在构造测量曲折边界分维数的行走程序时，得到了一系列特 征长度为 r 的多边形。 • 用 lnP～ ln r 作图可得到一条斜率为 m 的直线，如果边界曲 线可以用分维数描述，则
分形维数的其他定义
• 相关函数维数（概率论中的方法） • 频谱维数（概率论中的方法） • 分布函数维数（统计物理中的方法） • 拓扑维数 测度维数 • 广延维数 信息量维数
分 形 定 义 面 面 观
Mandelbrot 关于分形定义的看法
• Mandelbrot 1986年指出： • “分形的定义十分不容易，要同科学上已有的其它 概念相协调。1975年，为了对我这个课题中第一 篇论文给出一个题目，我创造了分形一词。但是由 于没有数学上的定义而又搁置起来，因为我感到这 概念就像一瓶好酒，在装瓶之前需要储放些年头。
• 实际上，对于什么是分形，到目前为止还不能给出 一个确切的定义.
• 生物学中对 “生命” 目前也没有严格明确的定义， 于是人们列出生命体的一系列特性来加以说明。对 分形的定义也可同样的处理。
K.法尔科关于分形的
操作型定义
（i）分形集都具有任意小尺度下的比例细节，或者说它具有 精细的结构。 （ii）分形集不能用传统的几何语言来描述，它既不是满足某 些条件的点的轨迹，也不是某些简单方程的解集。
：相 似 性 维 数
• 一般说来，如果某图形是由把原图缩小为 1 / a 的相 似的 b 个图形所组成有：
a
D
b
的关系成立，则指数 D 称为相似性维数，D 可以是整 数，也可以是分数。
D = log b / log a
相 似 性 维 数 举 例
• 柯赫雪花：生成线由全体缩小三分之一的四个相似
形组成
log 20 log 3
D
2 . 72683
中间打通，共去掉7个
相 似 性 维 数 举 例
• 谢尔宾斯基地毯
• 生成物由全体缩小二分
之一的 3个相似形组成
D log 3 log 2 1 . 585
相似性维数举例
• 生成物由全体缩小二分之一的 4
个相似形组成！
4 2
D
此结果与传统结论不一样， 但矛盾化解了。
D = 2.72683
• 打破传统观念 • 说“某国家家庭平均2.2个小孩”，绝无非议也。
分形维数定义之二
：粗视化维数
• 定义：用具有特征长度r的基本图形去近似复杂图形， 若近似复杂图形所用基本图形总数满足
N r
则 D 为该图形维数。

r
D
如，长度为 r 的线段去近似直线，则应有
N r 1 r r
4 3
D
D log 4 log 3 1 . 2618 ...
相 似 性 维 数 举 例
• Contor尘土
形组成 生成线由全体缩小三分之一的两个相似
2 3
D
D
log 2 log 3
0 . 6309 ...
相 似 性 维 数 举 例
• 门杰海绵
• 生成物由全体缩小三分
之一的20个相似形组成
（iii）分形集具有某种自相似形式，可能是近似的自相似或者 统计的自相似。
（iv）一般，分形集的“分形维数”，严格大于它相应的拓扑 维数。 （v）在大多数令人感兴趣的情形下，分形集由非常简 单的方 法定义，可能以变换的迭代产生。
• 先画一个线段、正方形和立方体，它们的边长都是1。
• 将它们的边长二等分，此时，原图的线度缩小为原来
的 1 / 2，而将原图等分为若干个相似的图形。
其中线段、正方形、立方体分别被等分为 2 , 2 , 2 个
1 2 3
பைடு நூலகம்
相似的子图形，其中的指数 1、2、3，正好等于与图 形相应的经验维数。
分形维数定义之一
分数维漫谈——先说两句
• 分数维大于拓扑维但小于其所占领的空间维
• 柯赫曲线：从线角度说维数应为1，但弯弯曲曲，不是一条 规整的线；若说是面，又没有充满，因此应当小于2，于是 D = 1.2618 • Contor尘土 ：是点的集合，应为0维，没有 充满一条线，应 小于1维。D = 0.6309
• 门杰海绵：有表皮无体积，维数应当大于 2 小于3。