计算机数值方法(第二版)第二章

第二章 解线性方程组的直接法

1. 试证明: (1) 两个下三角阵的乖积仍是下三角阵. (2) 下三角阵之逆仍是下三角阵. 证明: (1).设

A =

B =

假定: A*B=

11a

21a 22a

1n a 2n a

nn a

11b

21b 22b

1n b 2n b

b

n b n

b b

11c 12c n c 1

21c 22c n c 2

1n c 2n c nn c

其中.

ij

c =1

i a

j

b 1+2

i a

j

b 2+ +ii

a

ij

b +1

+ii a

j

i b 1++ +in

a

nj

b .

因为A,B 是下三角阵,所以当i

a =0,ij

b =0,则ij

c 中每一项都会有0因子.故ij

c =0,(j>i 时),即是下三角阵.

( 2 ).设 A= 1

-A

=

detA!=0 则有: AB=I. 比较I 和AB 的元素,有: 1=n

b a b a b a b a

111131112111111

0,,0,0,===

因为detA!=0, 可得0

!,,0!,0!2211

===nn a a a

所以.

0,,0,011312

===n b b b

11a

21a 22a

1n a 2n a nn a

11b 12b n b 1

21b 22b n b 2

1n b 2n b nn b

依此类推下去,对其它行,当i

ij

b. 故B是下三角阵.

2.用Gauss消去法求解方程组.

1

x+ 2x-44x=1

-

1

x+ 2x+ 3x+34x=-2

1

x+32x+53x-44x=-4

2

x-4x=-2

解: 消元过程:

1 1 0 -4 1

-1 1 1 3 -2 1 3 5 -4 -4 0 1 2 -1 -2 1 1 0 -4 1 0 2 1 -1 -1 0 2 5 0 -5 0 1 2 -1 -2

1 1 0 -4 1 0

2 1 -1 -1 0 0 4 1 -4 0 0 1.5 0.5 -1.5 1 1 0 -4 1 0 2 1 -1 -1 0 0 4 1 -4 0 0 0 0.125 0

回代过程可得:

x=0,3x=-1,2x=0,1x=1.

4

3.试写Gauss消去法的算法:

解: Gauss消去法算法分为消元过程和回代过程,其中: 对k=1,2, ,n-1

i=k+1,k+2, ,n

x=n b/nn a

n

消

m=ik a/kk a回对i=n-1,n-2, ,1 ik

元j=k+1,k+2, ,n 代

x=(i b- ij a xj)/ii a

i

过

a=ij a-ik m kj a

ij

程

b=i b-ik m k b

i

4,用Gauss 列主元素消去法解方程组.

=

解:

1 2 1 -2 -1 2 5 3 -2 3

2 5

3 -2 3 0 3 6 3 18

-2 -2 3 5 15 0 -0.5 -0.5 -1 -2.5

1 3

2 5 9 0 0.5 0.5 6 7.5

2 5

3 -2 3 交换1,2行 2 5 3 -2 3

1 2 1 -2 -1 Gauss 消去 0 3 6 3 18

-2 -2 3 5 15 一步 0 0 0.5

1 2 1 -2 2 5 3 -2 -2 -2 3 5 1 3 2 5

4

321x x x x

-1 3 15 9

-0.5 0.5

1 3

2 5 9 0 0 -0.5 5.5 4.5

2 5

3 -2 3 2 5 3 -2 3

0 -0.5 -0.5 -1 -2.5 交换2,3行. 0 3 6 3 18

0 3 6 3 18 Gauss 消去一步 0 0 0.5 -0.5 0.5

0 0.5 0.5 6 7.5 0 0 0 5 5 回代求解得:.

3,1,2,11234

-====x x x x

5.某一装置运动轨迹为一圆锥曲线

2x

+bxy+c 2

y +dx+ey+f=0

在运动轨上测得5个不同点:

1

c :(14.38,3.94),2

c :(11.38,2.79),)

59.2,81.8(:),11.5,38.6(:),07.3,42.7(:543

c c c

试写出b,c,d,e,f 所满足的方程,并用列主元素消去法求出b,c,d,e,f 的近似值.

解:依题义得方程组:

11a α