最优控制概述

飞船的月球软着陆问题(1/3)
1) 飞船的月球软着陆问题 飞船靠其发动机产生一个与月球的重力方向相反的推力,以控制 飞船实现软着陆,即落到月球时的速度为零。 问题要求选择发动机推力程序,使飞船携带的燃料最少或着陆 时间最短(最速升降问题)。 设飞船的质量为m , 高度和垂直速度分别为h 和 h ,月球的重力加 速度g可视为常数,飞船的自身质量及所携带的燃料分别为M和F, 推力f(t)。 若飞船于某一初始时刻起开始进入着陆过程, 由牛顿第二定 理和物料(燃料)平衡关系可知,飞船的运动方程为 v h f f v v g m(0)=M+F m kf h k 0 m mg
然后讨论最优控制问题的描述及数学表达。 内容为
最优控制问题的提出
最优控制问题的描述 最优控制发展简史
最优控制问题的提出(1/1)
7.1.1 最优控制问题的提出
考虑下面几个实际最优控制问题的例子。 飞船的月球软着陆问题 间歇化学反应器的最大产量控制问题
连续搅拌槽的温度控制问题
本章最后介绍基于Matlab的线性系统的线性二次型最优 控制系统的设计计算与运动仿真问题的程序设计与仿真 计算。
目录(1/1)
目

录
7.1 最优控制概述 7.2 变分法 7.3 变分法在最优控制中的应用 7.4 极大值原理 7.5 线性二次型最优控制 7.6 动态规划与离散系统最优控制 7.7 Matlab问题 本章小结
t0
tf
末态性能指标
积分性能指标
式中,右边第1项称为末态性能指标,体现了对末态的要求; 第2项称为积分性能指标,体现了对系统状态变化过程 中的状态x(t)和u(t)的要求。 在通常情况下,可将各种不同的性能指标视为一般形式的 性能指标的一种特例。
如飞船控制系统的性能指标可以视为当 S(x(tf),tf)=m(tf) L(x,u,t)=0
由热力学知识可知 , 槽内的液体温度的变化率与温差 [u(t)-x(t)]成正比,即
(t ) k1[u(t ) x(t )], x(0) 0, x(1) 40 C x
式中,k1为比例系数。
我们的目标是确定流入的液体的温度 u(t) 如何变化,使得 散失的热量最少,即归结为在上述状态方程和边界条件下, 求函数
式中, x为n维状态向量;u为r维输入向量;y为m维输出向量;
f(x,u,t)和g(x,u,t)分别为n维和m维关于状态向量x、输 入向量u和时间t的非线性函数向量。
被控系统的数学模型(2/2)
对许多实际被控系统,在一定精度范围内,其最优控制问题中 的数学模型也可以分别采用 线性定常系统、 线性时变系统和 非线性定常系统 的状态空间表达式来描述。
目标集
容许控制 性能指标
最优控制问题的描述
被控系统的数学模型(1/2)
1. 被控系统的数学模型
前面讨论的飞船控制系统和搅拌槽温度系统都是非线性系统, 所建立的描述该最优控制问题的数学模型都为状态空间表达 式。 因此,对一般被控系统的最优控制问题,其数学模型可以用 如下非线性时变系统的状态空间表达式来描述: f ( x, u, t ) x y g ( x, u, t )
其中消耗燃料最少的称为燃料控制问题, 着陆时间最短的称为最速升降问题或时间最优控制问题。
这两个问题可归结为分别求 J1=m(tf) J2=m(tf) 为最小的数学问题。
v
f
m(0)=M+F
mg
h
间歇化学反应器的最大产量控制问题(1/3)
2) 间歇化学反应器的最大产量控制问题 设间歇化学反应器内进行如下常见的化学反应
J S ( x(t f ), t f ) L( x(t ), u(t ), t )dt
t0
tf
值得注意的是,所谓的“最优性”,是指被控系统相对于 性能指标函数意义下的最优性。 不同的性能指标函数,最优控制结果是不相同的。
最优控制发展简史(1/5)
7.1.3 最优控制发展简史
20世纪50年代,随着现代化生产的发展,特别是空间技术的发 展,被控系统日趋复杂,对自动控制提出的要求愈来愈高。 于是,那种建立在传递函数、频率特性基础上的经典控制 理论,日益暴露出它的局限性。 主要表现在: 首先,它只适用于集中参数的SISO线性定常系统,且 只适应于以解决伺服系统稳定性为主要目标的设计 问题,难以适应综合性能指标设计控制系统的要求。 再者,在应用经典控制理论设计时,需要凭经验试凑及 大量手工计算,难以用来解决复杂问题。
要求控制飞船从初始状态 h(0)=h0, v(0)=v0, m(0)=M+F
出发,在某一末态时刻tf实现软着陆,即 h(tf)=0, v(tf)=0
飞船的月球软着陆问题(2/3)
控制过程中,推力f(t)不能超过发动机所能提供的最大推力fmax,即 -fmaxf(t) fmax
满足上述约束条件,使飞船实现软着陆的推力程序并非一种,
式中,C1(t)和C2(t)分别是物质A和B的浓度。
将反应速率常数k1(t)和k2(t)代入上式,则有
Ei k1 (T ) Ai 0 exp RT i 1,2
设反应时间区间[t0,tf],反应器内温度T(t)满足 T*T(t)T* t0ttf
间歇化学反应器的最大产量控制问题(3/3)
Ak1 (T ) B k2 (T ) C
式中,k1(t)和k2(t)为反应速率常数,并与温度T满足如下关系
E k1 (T ) Ai 0 exp i RT i 1,2
该化学反应式可代表一大类化工操作,通常希望中间产物 B的产量尽可能大,因而要求防止后面的反应继续进行下 去。
最优控制概述(1/1)
最优控制概述
从20世纪50年代末迅速发展起来的现代控制理论中,最优控制 是其中一个主要内容,亦是目前较活跃的一个分支。 最优控制问题是从大量的实际问题中提炼出来的,它的发 展与航空、航天、航海的制导、导航和控制技术密不可 分。
下面先通过几个应用实例来引出最优控制问题,
该问题的目标是确定反应器内温度T(t)应该如何变化,才 能使在时刻 tf 时 B 物质的产量 C2(tf) 为最大 , 即归结到在约 束条件下,求 J=C2(tf) 最大的数学问题。
连续搅拌槽的温度控制问题(1/2)
3) 连续搅拌槽的温度控制问题 设有一盛液体的连续搅拌槽,如图7-1所示。槽内开始装有0oC的液 体,现需将其温度经1小时后升高到40oC。 为此在入口处以常速流入温度为u(t) 的液体,经槽内不停转动的搅拌器使 槽内液体温度均衡上升。
输入向量u(t)的各个分量ui(t)往往是具有不同的物理属性和意义的 控制量,在实际系统中,大多数控制量受客观条件的限制,只能在一 定范围内取值。 如飞船控制系统中控制量有大小范围的限制, -fmaxf(t) fmax; 又如在控制量为开关量的控制系统中,输入仅能取有限的几个 值, 如-1,+1。 由控制量约束条件所规定的点集称为控制域,并记为U。
时上述一般形式性能指标的一个特例。 性能指标函数又称为指标泛函、目标函数、代价函数和评价函数 等。
5. 最优控制问题的描述
最优控制问题的描述(1/2)
总结上述最优控制问题的数学模型、目标集、容许控制以及性 能指标,则最优控制问题的描述可叙述为: 已知被控系统的状态方程及给定的初态为
(t ) f ( x(t ), u(t ), t ), x(t0 ) x0 x 规定的末态目标集为 M={x(tf): x(tf)Rn, g1(x(tf),tf)=0, g2(x(tf),tf)0} 求一容许控制 u(t)U,t[t0,tf], 使被控系统由给定的初态 x0 出 发,在tf>t0时刻转移到目标集M,并使如下性能指标为最小
目标集(2/3)
因问题而异 , 末态可以是状态空间的一个点 , 更为一般的 情况是末态要落在事先规定的范围内,如要求末态满足如 下约束条件 g1(x(tf),tf)=0 g2(x(tf),tf)0
式中,g1(x(tf),tf)和g2(x(tf),tf)为关于末态时刻 tf 和末态状态 x(tf) 的非线性向量函数。 上述末态约束条件概括了对末态的一般要求。 实际上,该末态约束条件规定了状态空间中的一个时 变的或时不变的集合,此种满足末态约束的状态集合 称为目标集,记为M,并可表示为 M={x(tf): x(tf)Rn, g1(x(tf),tf)=0, g2(x(tf),tf)0}
例如, 飞船控制系统要求所携带的燃料最少或到达末态 的时间最短,而连续搅拌槽系统的性能指标为一个带函数 积分的指标,需求其最小。 由于各种最优控制问题所要解决的主要矛盾不同,设计者 的着眼点不同,因此归结出的性能指标是不同的。
性能指标(2/3)
一般形式的性能指标为
J S ( x(t f ), t f ) L( x(t ), u(t ), t )dt
目标集(1/3)
2. 目标集
动态系统在控制u(t)的作用下总要发生从一个状态到另一个 状态的转移 , 这种转移可以理解为状态空间的一个点或系统 状态的运动。 在最优控制问题中,系统运动的初始状态(称初态)通常是 已知的,即x(t0)=x0为已知, 而所要达到的最终状态x(tf)(称末态)是控制所要求达 到的目标。
Ch.7 最优控制原理
本 章 简 介(1/1)
本章简介
本章讨论最优控制问题初步,目的是使读者掌握求解最优控制 问题的主要理论和方法,能对一些常见的最优控制问题进行有 效的分析和求解。 主要内容包括
泛函基础、
变分法和极大值原理、 线性二次型最优控制问题,以及
离散系统的最优控制问题。
凡在闭区间[t0,tf]上有定义,且在控制域U内取值的每一个 控制函数u(t)称为容许控制,并记为u(t)U。
通常假定容许控制u(t)是一个有界连续函数或者是分段连续函 数。
性能指标(1/3)
4. 性能指标
从前面的应用实例可以看出,最优控制问题最后归结到从所 有容许控制中找出一种效果最好的控制律,这就需要一个能 衡量控制效果好坏或评价控制品质优劣的性能指标函数。
在出口处,设流出的液体保持槽内液 面恒定,其温度与槽内液体一致。
试寻找u(t)的变化规律,使槽中液体 的温度经1小时后上升到40oC,并要 求所散失的热量最少。
图7-1 连续搅拌槽示意图
连续搅拌槽的温度控制问题(2/2)
因假定槽内液体温度均衡,设为x(t)。
由题设条件可知,x(t)的边界条件为 x(0)=0oC, x(1)=40oC
目标集(3/3)
需要指出的是,有些最优控制问题并没有对末态加以约束, 则该问题的目标集为整个状态空间Rn,但此时并不意味着 对末态没有要求,系统还可以通过下面要介绍的性能指标 等约束末态。 至于末态时刻tf,它可以事先规定,也可以由对末态的约束 条件和性能指标等约束。
容许控制(1/1)
3. 容许控制
间歇化学反应器的最大产量控制问题(2/3)
为更清楚地讨论上述产量最大的控制问题,设化学反应式的 ห้องสมุดไป่ตู้一步反应是二级反应,第二步反应是一级反应。 这样,可得如下间歇化学反应器内的物料平衡方程
(t ) k (T )C 2 (t ) C C1 (t0 ) 1.0 1 1 1 (t ) k (T )C 2 (t ) k (T )C (t ) C C2 (t0 ) 0 2 1 1 2 2
J [k2 x 2 (t ) k3u 2 (t )]dt
0
1
最小的数学问题。
最优控制问题的描述(1/1)
7.1.2 最优控制问题的描述
从前面的应用实例可以看出,最优控制问题可以抽象成共同 的数学问题描述,这将给最优控制理论的研究带来方便。 所谓最优控制问题的描述,就是将通常的最优控制问题抽 象成一个统一描述的数学问题,并用数学语言严格地表述 出来。 最优控制问题的描述包括: 被控系统的数学模型