第4章——第2节 地统计分析方法《计量地理学》(华东师大,徐建华)

若 Z ( xi )= Z ( xi h)=m（常数），则上式可以改写
为：
1 N (h) c ( h) [ Z ( x i ) Z ( x i h)] m 2 N (h) i 1
式中：m为样本平均数，可由一般算术平均数公 式求得，即：
1 m N
Z (x )
i 1 i
1 1 2 E[ Z ( x) Z ( x h)] {E[ Z ( x)] E[ Z ( x h)]}2 2 2
2
在二阶平稳假设条件下，对任意的h有
E[Z ( x h)] E[Z ( x)]
因此，公式可以改写为 1 ( x, h) E[ Z ( x) Z ( x h)] 2 2 从上式可知，变异函数依赖于两个自变量x和h，当
当一个变量呈现为空间分布时，就称之为区域化
一、地统计方法的基本原理 （一）区域化变量
变量（Regionalized Variable）。这种变量常常反映 某种空间现象的特征，用区域化变量来描述的现 象称之为区域化现象。 区域化变量，亦称区域化随机变量，G. Matheron （1963）将它定义为以空间点x的三个直角坐标为 自变量的随机场 Z(x) ＝ Z(xu , xv , xw ) 。 区域化变量具有两个最显著，而且也是最重要的 特征，即随机性和结构性
i
Leabharlann Baidu
1 N (h) ( h) [ Z ( x i ) Z ( x i h)] 2 2 N (h) i 1
这样对不同的空间分隔距离h，计算出相应
c (h 的 c(h) 和 (h)值。如果分别以h为横坐标， )或
(h) 为纵坐标，画出协方差函数和变异函数曲
线图，就可以直接展示区域化变量Z(x)的空间 变异特点。可见，变异函数能同时描述区域化 变量的随机性和结构性，从而在数学上对区域 化变量进行严格分析，是空间变异规律分析和 空间结构分析的有效工具。
h a 3
（4）高斯模型。其一般公式为：
0 ( h) h2 2 c 0 c(1 e a ) h0 h0
式中：c0和c意义与前相同，a也不是变程。当 h
h
2 2
3a
时， e a 1 e 3 0.95 1 ，即 ( 3a) c0 c ，因此高斯模型的 1 变程 a 约为 3a 。当 c0 0, c 1 时，称为标准高斯函数 模型。
第二类是无基台值模型，包括幂函数模型、线性
无基台值模型、抛物线模型；
第三类是孔穴效应模型。 下面有代表性地介绍几种常见的变异函数理论模
型。

（1）纯块金效应模型。其一般公式为：
0 ( h) c 0 h0 h0

式中：c0>0，为先验方差。该模型相当于区 域化变量为随机分布，样本点间的协方差函 数对于所有距离h均等于0，变量的空间相关 不存在。
（2）球状模型。其一般公式为：
0 3h h 3 (h) c 0 c( 3 ) 2a 2a c 0 c h0 0ha ha
式中：c0 为块金（效应）常数，c为拱高， c0+c为基台值，a为变程。当c0=0，c=1时，称 为标准球状模型。球状模型是地统计分析中 应用最广泛的理论模型，许多区域化变量的 理论模型都可以用该模型去拟合。
变异函数 ( x, h) 仅仅依赖于距离h而与位置x无关 时， ( x, h) 可改写成 (h) ，即：
1 (h) E[ Z ( x) Z ( x h)] 2 2
2.变异函数的性质


设Z(x)是区域化变量，在满足二阶平稳假设 条件下，变异函数式具有如下性质：
第2节 地统计分析方法
一、地统计方法的基本原理
（一）区域化变量 （二）协方差函数 （三）变异函数 （四）克立格插值方法 二、应用实例


地统计学是以区域化变量理论为基础，以变异 函数为主要工具，研究那些在空间分布上既有 随机性又有结构性，或空间相关和依赖性的自 然现象的科学。 协方差函数和变异函数是以区域化变量理论为 基础建立起来的地统计学的两个最基本的函数。 地统计学的主要方法之一，克立格法就是建立 在变异函数理论和结构分析基础之上的。
(1) (0) =0，即在h=0处，变异函数为0； (2) (h) = (h)，即 (h)关于直线h=0是对称的，它是 一个偶函数； (3) (h) ≥0，即 (h) 只能大于或等于0； (4)|h|→∞时， (h)→c(0)，或 () =c(0)，即当空 间距离增大时，变异函数接近先验方差 1 c(0) [Z ( x )] m ； N ( h) (5)[- (h) ]必须是一个条件非负定函数，由 [- ( xi x j ) ]构成的变异函数矩阵在条件 0 时，为 非负定的。
N 2 2 i 1 i
n i 1 i

3.变异函数的计算公式
设 Z (x) 是系统某属性Z在空间位置x处的值， Z (x) 为一区域化随机变量，并满足二阶平稳假 Z (x ) 设，h为两样本点空间分隔距离， 和 Z ( xi h)分别是区域化变量 Z (x) 在空间位置 x i和 xi h 处的实测值[i=1,2,…,N(h)]，那么， (h) 变异函数 的离散计算公式为
(38 35) 2 (35 37 ) 2 (40 43) 2 (43 37 ) 2 (36 35) 2 (42 42) 2
2 (42 35)2 (35 35)2 35 35） (40 39)2 (39 38)2 (38 37 )2 （
C0+C2
γ (h) C0
当变异函数随着间隔距离h的增大，从非零值达到一个相
对稳定的常数时，该常数称为基台值C0+C，
当间隔距离h=0时，γ (0)= C0，该值称为块金值或块金方
差（Nugget Variance）。
基台值是系统或系统属性中最大的变异，变异函数达到
基台值时的间隔距离a称为变程。变程表示在h≥a以后， 区域化变量Z(x)空间相关性消失。
南北
4 13 25.69 5 5 22.90
方向
h
1.41 32 7.06
西北—东南
2.82 21 12.95 4.24 13 30.85 5.65 8 58.13 7.07 2 50.00
N(h)
N(h)
(h)
(h)
4.变异函数的参数



变异函数有四个非常重要的参数，即基台值 （Sill）、变程（Range）或称空间依赖范围 （Range of Spatial Dependence）、块金值 （Nugget）或称区域不连续性值（Localized Discontinuity ） 和 分 维 数 （ Fractal Dimension）。 前3个参数可以直接从变异函数图中得到。它 们决定变异函数的形状与结构。由于数据对 （Wz，z）经过了标准化，因此界外值可易由 2－sigma规则可视化地识别出来。 变异函数的形状反映自然现象空间分布结构或 空间相关的类型，同时还能给出这种空间相关 的范围。
=385/72=5.35
同样计算出
(2) 9.26 (3) 17.55
(h) (h)
(4) 25.69 (5) 22.90
最后，得到南北方向和西北—东南上的变异
函数计算结果见下表。同样可以计算东西方向
上的变异函数。
方向
h
1 36 5.35 2 27 9.26 3 21 17.55
2.协方差函数的计算公式



协方差函数的计算公式为： 1 N (h) c ( h) [Z ( xi ) Z ( xi )][ Z ( xi h) Z ( xi h)] N (h) i 1 式中：h为两样本点空间分隔距离或距离滞后， 为 在空间位置 处的实测值， xi (x) Z ( xi ) Z 是 在 处距离偏离的实测值[i=1， 2，…， Z (x]， xi ) Z ( xi h) N (h) 是分隔距离为h时的样本点对（Paris） N (h) 总数， 和 分别为 和 的样本平 均数。 Z ( xi h) Z ( xi ) Z ( xi ) Z ( xi h)

分维数D为双对数直线回归方程中的斜率， 它是一个无量纲数。分维数D的大小，表示 变异函数曲线的曲率，可以作为随机变异的 量度。但该随机分维数D与形状分维数有本 质的不同。
5.变异函数的理论模型
地统计学将变异函数理论模型分为三大类： 第一类是有基台值模型，包括球状模型、指数模
型、高斯模型、线性有基台值模型和纯块金效应 模型；
（3）指数模型。其一般公式为：
0 ( h) h c 0 c(1 e a ) h0 h0
式中：c0 和c意义与前相同，但a不是变程。当 h=3a时， e 1 e 0.95 1 ，即 (3a) c0 c ，从而指 1 数模型的变程 a 约为 3a 。当c0=0，c=1时，称为 标准指数模型。
块金值表示区域化变量在小于抽样尺度时非连续变异，
由区域化变量的属性或测量误差决定。


上述三个参数可从变异函数曲线图直接得到， 或通过估计曲线回归参数得到。 第4个参数，即分维数用于表示变异函数的特 性，由变异函数 (h)和间隔距离h之间的关系 确定： ( 4 2 D )
2 (h) h
图4.2.2 缺失值情况下样本数对的组成和计算过程， ☉为缺失值
首先计算南北方向上的变异函数值，由变异
函数的计算公式可得：
(1)
1 [( 40 42)2 (42 37 )2 (37 35)2 (35 36)2 (36 38)2 (37 38)2 2 36
n
（三）变异函数
1.变异函数的概念

变异函数（Variograms），又称变差函数、 变异矩，是地统计分析所特有的基本工具。 在一维条件下变异函数定义为，当空间点x在 一维x轴上变化时，区域化变量Z(x)在点x和 x+h处的值Z(x)与Z(x+h)差的方差的一半为区 域化变量Z(x)在x轴方向上的变异函数，记为 γ (h)，即 ( x, h) 1 Var[Z ( x) Z ( x h)]
例如，假设某地区降水量Z(x)（单位：
mm）是二维区域化随机变量，满足二 阶平稳假设，其观测值的空间正方形网 格数据如图4.2.1所示（点与点之间的距 离为h=1km）。试计算其南北方向及西 北和东南方向的变异函数。
图4.2.1 空间正方形网格数据（点间距h=1km）

从图4.2.1可以看出，空间上有些点，由于某 种原因没有采集到。如果没有缺失值，可直 接对正方形网格数据结构计算变异函数；在 有缺失值的情况下，也可以计算变异函数。 只要“跳过”缺失点位置即可（见图4.2.2）。
(37 34) 2 (34 30) 2 (39 39) 2 (39 37 ) 2 (37 36) 2 (36 33) 2 (37 41) 2 (41 37) 2 (37 36) 2 (36 32) 2 (32 29) 2 (36 40) 2 (40 33) 2 (33 35) 2 (35 29) 2 (29 30) 2 (38 34) 2 (28 32) 2 ]
（二）协方差函数
1.协方差函数的概念


区域化随机变量之间的差异，可以用空间协 方差来表示。 区域化变量 Z ( x) Z ( xu , xv , xw ) 在空间点x和x+h处的 两个随机变量和的二阶混合中心矩定义为Z(x) 的自协方差函数，即
Cov[Z ( x), Z ( x h)] E[Z ( x)Z ( x h)] E[Z ( x)]E[Z ( x h)]