球面镜像法

ar
q2ah
40 ( h2 a2
)2
ar
接地导体球外的等位面及电场线分布
⒉ 不接地不带电导体球的点电荷镜像：
a O
0, 0
+
hq
0, 0
0, 0 q
q
O
-q h
+z h
q a q h
h a2 h
系统边界条件：
( r )r=a=常数
z > 0 空间电位方程：
2 = -q (z-h)/0
C
h a
h
a2 h
位置 h a 2
h
C
h a
h h
（舍）
镜像电荷 l l
a2 h
h
l l
C C1 h C2 a
• 圆柱外空间任意点电位：
P
0, 0
0, 0
O
R
•l
R
•l
x
h
h
1
2
1
20
(l
ln
C1 R
l ln
C2 ) R
1
2 0
(l
ln
C1 R
l
ln
C2 ) R
1 2 0
0, 0 P
0O, 0qR R
q z
h
h
0, 0
A
0, 0q O h
B
q z
h
(a) q q 0 40R 40R
A (a)
q
40 (h
a)
q
40 (h a)
0
B
(a)
q
40
q (h a)
0
40
(a
h)
q
h
aq h
a2
h
• 球外空间任意点电位： q q
40R 40R
其中：R r2 h2 2rhcos
l
ln
CR R
l 20
ln
Rh Ra
• 柱面上的感应电荷密度：
s
0
a
l (h2 a2 ) 2a(h2 a2 2ahcos)
• 柱面上单位长度感应电荷总量：
lin
S
sdS
1
dz
0
2
0
l
(h 2
2a(h2 a2
a )ad 2
2ahcos)
l
l
• 单位长度线电荷受到的作用力：
f
lE
•
l0
h
l
l l
h a2 h
2.9 镜像法
2.9.3 圆柱面镜像法
Conducting Cylinder
⒈ 接地导体圆柱外的线电荷镜像系统：
0, 0
a
O
•
h l
ˉ
0, 0
0, 0
O
•l
•l x
h
h
系统边界条件：
( r )=a= 0
• 镜像电荷的密度和位置：
l 单独产生的电位：
1
l 20
ln C2 R
P
0, 0
0, 0
O
R
•l
R
•l
x
h
h
l 单独产生的电位：
2
l 20
ln C2 R
1
2
1
2 0
(l
ln C1 R
l
ln
C2 R
)
l ln
C1
l ln
C2
20 2 h2 2hcos 20 2 h2 2hcos
系统边界条件： ( a , , z) 0
l ln
C1
l ln
C2
0
20 a2 h2 2ahcos 20 a2 h2 2ahcos
l l
C1
a2 h2 2ahcos
C2
a2 h2 2ahcos
令 C1/C2 = C，则
C a2 h2 2ahcos a2 h2 2ahcos
C a2 h2 2ahcos a2 h2 2ahcos
要使此式对任意 都成立，只有
C2 (a2 h2 ) a2 h2 C2ah ah
R r2 h2 2rhcos
P
0, 0 r
0, 0
R q
R
q
O
h
z h
• 球面上感应电荷密度：
s
0
r
ra
4a(h2
q(h2 a2 )
a2 2ahcos )3/2
• 球面上感应电荷总量：
qin
S sdS
2
0
0
sa 2
sindd
a h
q
q
• 点电荷q 受到的作用力：
F
qq
40 ( h h )2
l
20
l
(h
h )
a)2
ax
⒉ 不接地不带电导体圆柱的线电荷镜像：
0, 0
a
0, 0
0, 0 -l•
•l
•l z
O h
h
O
•
h l
l l
⒊ 不接地带电 l0导体圆柱的线电荷镜像：
h a2 h
0, 0
0, 0
a
0, 0 l0-l• •l
O h
•l z
h
O
不接地不带电导体球外的等位面及电场线分布
⒊ 不接地带电Q的导体球的点电荷镜像：
q
a O
Q
-q
0, 0
+
hq
系统边界条件：
0, 0
0, 0 q
q
O
Q-q h
+z h
a q q
h
h a2 h
( r )r=a=常数
( r )r= 0
z > 0 空间电位方程：
2 = -q (z-h)/0
第 2 章 静电场
第 2 章 静电场
2.9 镜像法
2.9.2 球面镜像法
Conducting Sphere
⒈ 接地导体球外的点电荷镜像系统：
0, 0
a
O
+
h q
ˉ
0, 0
0, 0 q
q
O
h
+z h
系统边界条件：
( r )r=a= 0
导体球外空间电位方程：
2 q (x) ( y) (z h) 0
• 镜像电荷的电量和位置：