高中数学-函数零点问题及例题解析

高中数学-函数零点问题及例题解析

、函数与方程基本知识点

1、 函数零点：(变号零点与不变号零点)

(1 )对于函数y f (x)，我们把方程f(x) 0的实数根叫函数y f(x)的零点。 (2)方程f (x) 0有实根 函数y f(x)的图像与x 轴有交点

函数y f (x)有零点。

若函数f(x)在区间a ,b 上的图像是连续的曲线，则f(a)f(b) 0是f(x)在区间a ,b 内有零点的 充分不必要条件。

2、 二分法：对于在区间［a,b ］上连续不断且f(a) f(b) 0的函数y f(x)，通过不断地把函数

y f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似 值的

方法叫做二分法； 二、函数与方程解题技巧

零点是经常考察的重点，对此部分的做题方法总结如下：

(一) 函数零点的存在性定理指出：“如果函数y f (x)在区间［a,b ］上的图象是连续不断的一 条曲线，并且f(a)f(b) 0，那么，函数y f(x)在区间(a,b )内有零点，即存在c (a,b), 使得f(c) 0,这个c 也是方程f (x)

0的根”。根据函数零点的存在性定理判断函数在某个区

间上是否有零点(或方程在某个区间上是否有根)时，一定要注意该定理是函数存在零点的充 分不必要条件：如

2

例、函数f(x) In(x 1)-的零点所在的大致区间是()

x

(A )( 0, 1)； ( B )( 1, 2)； ( C )

( 2, e ); ( D )( 3, 4)。

2

分析：显然函数f (x) ln(x 1) 在区间［1,2］上是连续函数，且f (1)

0, f(2)

0,所

x

以由根的存在性定理可知，函数 f(x) ln(x 1) 2

的零点所在的大致区间是(1, 2),选B

x

(二) 求解有关函数零点的个数(或方程根的个数)问题。

函数零点的存在性定理，它仅能判断零点的存在性，不能求出零点的个数。对函数零点的 个

数问题，我们可以通过适当构造函数，禾I」用函数的图象和性质进行求解。如：1对于求一个陌生函数的零点个数，若能把已知函数分解成两个熟悉的函数，那么可利

用构造函数法化归为求两个熟悉函数图象的交点个数求解，如：

例.求f(x) X2 2x零点的个数。

分析：本题直接求解，无法下手，由函数f (x) x2 2X的零点也是方程f (x) x22X 0的根，即方程x22x的解，但这个方程不是熟悉的常规方程，由方程的解与两函数图象交点的

关系，可构造函数y i x2、y2 2x,在同一坐标系中作出它们的图象，可得出它们有三个交点，所以f (x) x22x零点的个数有三个。

y = 2i

o

2.对于一元高次函数，可利用导数法研究函数图象的特征，作出函数的图象，确定图象与

X轴交点的情况求解。(导数专题再续讲)

(三)求函数的具体零点或求方程的根。对于某些特殊类型的函数，可通过研究式子的特征，

构造新函数，转化求解。如：

例、求函数f (x) (5x 3)5 x5 6x 3的零点。

分析：考察f(x) (5x 3)5 x5 6x 3 0的特点，直接求解难以入手，可转化为求

(5x 3)5(5x 3) (x5 x)的解，根据式子特点构造函数g(x) x5 x，显然g(x)为奇函数,

且在R上单调递增，由(5x 3)5(5x 3) (x5 x)可化为g(5x 3) g(x) g( x)，故利用

1 i

函数g (x)的性质可得5 x 3 x，则x 一，所以函数f (x)的零点为x 一

2 2

基础练习

2、已知函数f(x)的图象是连续的，有如下表。函数 f(x)在区间［1,6］上的零点至少有( )

答案C x

1 2 3 4 5 6 f(x)

123.56

21.45 —7.82

11.57

53.76 —126.49

A . 2个

B . 3个

C . 4个

D . 5个

3.

设 、 分别是方程log 2x x 4 0和2x x 4 0的根，贝U + = _________ 。答案4

1 k 2时，不等式的解集｛x|1 x k 或x 2｝ ； k 2时，不等式的解集｛x|1 x 2或x 2｝；

7

7

k 2时，不等式的解集｛x|1 x 2或x k ｝

1、下列函数中，不能用二分法求零点的是(

)答案B

4.已知函数f (x) 2

x

ax b

(a,b 为常数),且方程f (x)

x 12 0有两实根3和4

(2)设k 1，解关于x 的不等式:

f (x)

(k 1)x k 2 x

解： 2

(1 )即方程」

x 12 0有两根3和4，所以

ax b

9

9 0 3a b 16

8 0

4a b

a 1 才

b 2所以f(x) 坐

1)x k

整理的(x 2)(x 1)(x k) 0

2 x

(1)求函数f (x)的解析式;

2

得 2

x