万有引力搜索算法要点

Vi (vi1,, vid ,vin )
分量。通过评价各个个体的目标函数值，确定每个个体的 质量和受到的引力，计算加速度，并更新速度和位置。
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（1）计算质量
个体i 的质量定义如下：
mi (t ) fiti (t ) worst (t ) best(t ) worst (t )
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牛顿第二定律：当一个力F作用在一个质子上，它的加速度 a
依赖于力和它的质量M：
F a M
（2）
根据（1）和（2），增加两个质子之间的距离意味着减少 他们之间的万有引力。 此外，由于引力减少的影响，引力常数的实际值依赖于宇宙 的实际时间，方程（3）给出了降低引力常数与时间关系：
t Gt Gt0 0 , t
G(t ) G0e

t T
(21)
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引力搜索算法
GSA：A Gravitational Search Algorithm
近几年，多种启发式优化方法得到发展，这些方法中很多是 根据自然中群体行为得到启示。 本节课介绍一种基于万有引力定律和质量相互作用的新的 优化算法—引力搜索算法。
引力搜索算法在2009年被首次提出，是一种基于万有引力 定律和牛顿第二定律的种群优化算法。该算法通过种群的 粒子位置移动来寻找最优解，即随着算法的循环，粒子靠 它们之间的万有引力在搜索空间内不断运动，当粒子移动 到最优位置时，最优解便找到了。
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启发式算法模拟物理或生物过程，例如一些著名的算法，遗 传算法（GA）、模拟退火算法（SA）、蚁群算法（ACO） 粒子群优化算法（PSO）和细菌觅食算法（BFA）。 GA灵感来自于达尔文进化论；SA利用热力作用设计；ACO 模拟蚂蚁觅食行为；BFA来自于搜索和最佳觅食细菌；PSO 模拟鸟群的行为。 上述提到的启发式算法都是随机行为。然而，Formato提出 了基于引力运动的确定性的启发式搜索算法，中心引力优化 （CFO）。 中心引力优化算法是根据物理运动学的模型建立的一个新型 的优化算法，通过初始化若干随机质点，进行迭代，直至找 到最优解。
best (t )
j 1, 2 ,, N
min
fit j (t )
（8）
worst (t ) max
j1, 2 ,, N
fit j (t )
（9）
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（2）计算引力
算法源于对万有引力定律的模拟，但不拘泥于物理学中的 万有引力公式的精确表达式。在第d 维上，个体j 对个体i 的 引力定义如下：
F (t ) G(t )
d ij
M pi (t ) M aj (t ) Rij (t )
d ( xd j (t ) xi (t ))
（10）
其中，G(t)表示在t 次迭代时万有引力常数的取值， G(t)=G(G0，t), Rij(t)表示个体i和j 之间的欧氏距离，Rij (t ) X i (t ), X j (t ) 2 ε是一常数，防止分母为零。
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3.1 算法的模型
引力搜索算法首先在解空间和速度空间分别对位置和速度 进行初始化，其中位置表示问题的解。例如，d维空间中 ， 的第i 个搜索个体的位置和速度分别表示为
X i ( xi1,, xid , xin )
d d x 其中， i 和 vi 分别表示个体i 在第d 维的位置分量和速度
（6）
（7）
M i (t )
mi (t )
m j (t )
i 1
N
fiti (t ) 和 M i (t ) 分别表示在第t 次迭代时第i 个个体的 其中， 适应度函数值和质量。 best(t)和worst(t)表示在第t次迭代时所有个体中最优适应 度函数值和最差适应度函数值，对最小化问题，其定义如下：
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引力搜索算法属于群体智能优化算法，而群体智能优化算法 最显著的特点是强调个体之间的相互作用。这里，相互作用 可以是个体间直接或间接的通信。在引力搜索算法中，万有 引力相当于是一种信息传递的工具，实现个体间的优化信息 共享，整个群体在引力的作用下进行优化搜索。信息的交互 过程不仅在群体内部传播了信息，而且群体内所有个体都能 处理信息，并根据其所得到的信息改变自身的搜索行为，这 样就能使得整个群体涌现出一些单个个体所不具备的能力和 特性，也就是说，在群体中，个体行为虽然简单，但是个体 通过得到的信息相互作用以解决全局目标，信息在整个群体 的传播使得问题能够比由单个个体求解更加有效的获得解决。
Fij G M aj M pi
（5） M aj 和 M pi 分别代表质子i 的主动引力质量，质子j 的被动引力质量， M ii 代表质子i 的惯性质量。
ai
Fij
R2
（4）
M ii
虽然，惯性质量，主动引力质量，被动引力质量有概念上的区别，但是 没有实验可以清楚的证明它们之间的不同。追溯到广义相对论上，假设 惯性质量和被动引力质量是等价的，这就是所知道的弱等价原理。 斯坦-达尔德广义相对论也假定惯性质量和主动引力质量是等价的，这个 等价有时称为强等价原理。
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Ⅰ. 启发式算法回顾 Ⅱ. 万有引力定律 Ⅲ. 引力搜索算法（GSA）
Ⅳ. 比较研究
Ⅴ. 实验结果 Ⅵ. 引力搜索算法的研究展望
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Ⅰ. 启发式算法（Heuristic algorithms）
"Heuristic"是希腊语，意为“启发式”。启发式是寻找 好的（近似最佳）解的技术。对于那些受大自然的运行规律 或者面向具体问题的经验、规则启发出来的方法，人们常常 称为启发式算法。启发式算法是相对于最优化算法提出的。 很多实际的最优化问题的计算是复杂的。因此，解决这样问 题的实际方法是运用启发式算法，这样可以在合理的计算时 间内找到一个近似最优解。 启发式算法可以这样定义：一个基于直观或经验构造的算法， 在可接受的花费（计算时间和空间）下给出解决组合优化问 题每一个实例的一个可行解该可行解与最优解的偏离程度一 般不能被预计。
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在一些随机算法中，像模拟退火算法（SA）搜索开始于 一个单一的初始点，并且以一个连续的方式继续。然而， 大多数启发式搜索算法用多个初始点以并行方式搜索。 例如，群为基础的算法使用类似于自然的鸟群或者鱼群 的一系列代理。
在一个以群为基础的算法，每一个体施行一系列的特殊运算， 并且分享这些信息给其他个体。这些操作大部分很简单，然 而它们的集体效应，称为群体智能，会产生令人惊讶的结果。 代理之间的局部相互作用提供了一个全局结果，它允许系统 解决问题不需要应用任何的中央控制器。这种情况下，个体 操作包括随机搜索、正反馈、负反馈和多元相互作用，进行 自组织。群体智能指许多简单个体通过相互合作产生复杂智 能行为的特性。
惯性质量 M i 是当有一个力作用在物体，改变她位置的移动的
力的测量，大的惯性质量的物体改变它移动的更慢， 小的惯性
改变快。
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考虑到以上提到的三种质量定义，我们重新定义牛顿定律。 万有引力Fij通过物体j作用在物体i，与j 的主动引力质量和 i 被动引力质量乘积成正比，与它们之间距离成反比。 a i 与Fij成正比，与i 惯性质量成反比，则（1）（2）式 重新定义如下：
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在图1中，F1j是作用在M1到Mj的力，F1是作用在M1和产生 加速度 a1的所有力。
图1
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虽然，惯性质量，主动引力质量，被动引力质量有概念上的 区别，但是没有实验可以清楚的证明它们之间的不同。追溯 到广义相对论上，假设惯性质量和被动引力质量是等价的， 这就是所知道的弱等价原理。斯坦-达尔德广义相对论也假定 惯性质量和主动引力质量是等价的，这个等价有时称为强等价 原理。
（3）计算加速度
根据牛顿第二定律，个体i 在第d维的加速度方程为：
Fi d (t ) a (t ) M ii (t )
d i
（12）
（4）更新速度和位置
vid (t 1) randi vid (t ) aid (t )
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Ⅲ.引力搜索算法（GSA）
受万有引力定律启发，提出了一种新型群体智能优化算法 —引力搜索算法。引力搜索算法在求解优化问题时，搜索 个体的位置和问题的解相对应，并且还要考虑个体质量。 个体质量用于评价个体的优劣，位置越好，质量越大。由于 引力的作用，个体之间相互吸引并且朝着质量较大的个体 方向移动，个体运动遵循牛顿第二定律。随着运动的不断 进行，最终整个群体都会聚集在质量最大个体的周围，从 而找到质量最大的个体，而质量最大个体占据最优位置。 因此，算法可以获得问题的最优解。 在GSA，每个代理有4个规格：位置，惯性质量，主动引力质 量和被动引力质量。每个个体的位置对应一个问题的解决方法， 它们的引力和惯性质量确定应用的适应度函数。换句话说，每 个个体呈现一个解决方法，并且算法通过适当的调节引力和 惯性质量。
5.2
比较PSO与RGA
◆ 我们应用GSA到这些最小化函数，并且比较RGA与PSO所得 出的结果，在这些情况，群体大小设置为 N 50 。维 数 n 30 ，表1,2的函数最大迭代次数为1000，表 3为500，在PSO中 c1 c2 2 ，惯性因素 从0.9 到0.2线性下降，在RGA应用算法交叉算子，高斯交换以及 轮盘算法，交叉和变异的概率分别为0.3和0.1. 在GSA,G用(21)式表示， G0 为100， 20 。 T 是所 有迭代次数
20
在第d维上，个体i 所受的合力为：
Fi (t )
d jkbest , j i
rand
N
j
Fijd (t )
（11）
其中，randj表示在[0,1]之间服从均匀分布的一个随机变量 kbest表示个体质量按降序排在前k个的个体，并且k的取值随 迭代次数线性减小，初值为N，终值为1。
21
8
从不同的角度来看，一个以群为基础的搜索算法的个体在 每次迭代中通过三个步骤来实现勘探和开采概念: 自适应，合作和竞争。在自我调整的步骤，每个个体（代 理）提高其性能。在合作中，个体彼此合作形成的信息传 递。最后，在竞争的一步，个体竞争生存。这些步骤通常 随机形成，可以用不同的方式来实现。这些步骤从自然的 启发，是以人群为基础的启发式算法的思想。这些概念， 引导算法寻找全局最优。然而，一个算法在解决一些问题 是好的，在解决另外一些问题则不行。因此，提出高性能 的新启发式算法是非常受欢迎的。我们的目标是建立一个 新的考虑到所提到的方面和基于引力规则的以群为基础的 搜索算法。

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（3）
其中G(t)是在时间t引力常数的值，G(t0)是在t0时万有引力常数。
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理论物理学中定义三种质量： M a 是对物体重力场的强度的测量，小的主动 主动引力质量，
引力质量的 物体的重力场比大的主动引力质量的重力场弱。 M p 是对物体重力场中物体相互作用的强度的测量， 被动引力质量， 小的被动被动引力质量的物体比大的被动引力质量的物体 受到的力小。
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Ⅱ. 万有引力定律
万有引力定律是Newton于1687年在《自然哲学的数学原理》 上提出的，万有引力定律解释物体之间相互作用关系的定律， 是物体间由于它们的引力质量而引起的相互吸引力所遵循的 规律。自然界中任何两个物体都是相互吸引的，万有引力普 遍存在于任意两个有质量的物体之间。万有引力定律表示如下： 自然界中任何两个物体都是相互吸引的，引力的大小和这两个 物体的质量的乘积成正比，和它们之间距离平方成反比。 数学表达式为： M 1M 2 （1） F G 2 R 其中，F表示两个物体间的引力大小，G表示万有引力常数， M1，M2分别表示两个物体的质量，R表示两个物体之间的距离。
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我们可以在人群为基础的启发式算法识别两个常见问题： 勘探和开采。勘探有扩大搜索空间的能力，开采有寻找 最佳解决方案能力。在第一次迭代中，启发式搜索算法 勘探搜索空间寻找新的Biblioteka Baidu。为了避免陷入局部最优的陷 阱，该算法必须在前几次迭代中使用勘探。因此，在以人 群为基础的启发式算法，勘探是一个重要的问题。通过勘 探和开采，算法调整自己的半最优点。要有高性能的搜索， 关键点是一个合适的勘探和开采之间的权衡。然而，所有 的以人群为基础的启发式搜索算法采用的勘探和开采方面， 他们使用不同的方法和操作。换句话说，所有的搜索算法 有一个共同的框架。