课例 造桥选址

课例： 造桥选址问题

贵州省遵义市道真县玉溪中学 张学川

1 背景介绍

本节内容是我校实施的省级科研课题：“初中数学“课题学习”校本化实施与评价的行动研究”研究实施方案的研讨内容之一。本节内容经过了几位教师的执教与研讨，本文展示的是笔者的实践设计与实录。

1.1 内容与学情分析

“造桥选址问题”是人教版《数学》八年级上册第十三章“轴对称”的最后一节“ 课题学习”的第二节内容。比“将军饮马”问题较难，本节内容的解决主要是平移知识的综合应用。是对学生动手操作能力的一个考查，本节的难点在于如何把问题转化为“两点之间，线段最短的问题”，在解决的过程中渗透了化归的思想。

1.2 目标与目标解析

1.能利用轴对称、平移解决简单的最短路径问题.

2.体会图形的变化在解决最值问题中的作用；

3.能通过逻辑推理证明所求距离最短，感悟转化思想，体会利用作图解决最短路径问题。

达成目标的标志是：能够将实际问题中的“河”的两岸抽象为数学中的“平行线”，把实际问题抽象为线段和最小问题。通过学生独立思考、合作讨论、教师点拨等方式；能利用平移将线段的最小问题转化为“两点之间，线段最短”问题；能通过逻辑推理证明所求路径最短；在探索最短路径的过程中，体会平移的“桥梁”作用，感悟化归的转化思想，

1.3 教学思路与理念

本节教学的重点是利用平移变换解决造桥选址问题并利用“两点之间，线段最短”公理进行证明，难点是体会利用平移作图将最短路径问题转化为线段和最小问题。

最短路径问题从本质上说是极值问题，作为初中学生，以前涉及这方面的极值问题很少，特别是遇到具有实际背景的极值问题，更会无从下手。

在河岸的什么位置造桥，使得路径最短，采用通过平移桥、或者河道的办法，如何平移，为什么要这样平移，多少学生存在理解上和操作上的困难。在教学时，教师要适时点拨学生。

2 教学过程

引言：前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中,线段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短”、轴对称、平移等的问题,

（1）如图，点A ，B 在直线l 的同侧，点C

是直线上的一个动点，当点C 在L 的什么位 置时，AC 与CB 的和最小？

L B A

（2）下图中的变换属于平移的有哪些？

师生活动：让学生独立思考回答后，教师作补充。

设计意图：通过问题（1）、（2）让学生对轴对称性质、平移的定义及其性质的应用进行再认识。

2.1 将实际问题抽象为数学问题

历史上著名的造桥选址问题：

A 和

B 两地在一条河的两岸,现要在河上造一座桥MN.桥建在何处才能使从A 到B 的路径AMNB 最短?(假定河的两岸是平行的直线,桥要与河垂直)

F

A B

D

E C

师生活动：1.如上图假定任选位置造桥MN,连接AM和BN,从A到B的路径指的是哪些线段的和？

学生：AM+MN+BN,

教师：这三条线段哪些线段的长度是固定不变的，那么怎样确定什么情况下路径最短呢?

学生：桥的程度MN是固定的不变的。

教师：利用线段公理解决问题:我们遇到了什么困难呢?

思维点拨:在不改变AM+MN+BN的前提下把桥转化到一侧呢?什么图形变换能帮助我们呢?

学生：

（1）把A平移到岸边.

（2）把B平移到岸边.

（3）把桥平移到和A相连.

（4）把桥平移到和B相连.

（5）平移河道

师生活动：由于河道宽度是固定不变的，造的桥要与河垂直，因此路径AMNB 中的MN的长度是固定的。

我们可以将点A沿与河垂直的方向平移MN的距离到A

1

，那么为了使AMNB

最短，只需A

1B最短。根据两点之间线段最短，连接A

1

B，交河岸于点N，在此处

造桥MN，所得路径AMNB就是最短路径，如图2。

证明：如图3，如果在不同于MN的位置造桥M

1N

1

。由于M

1

N

1

=MN=AA

1

；又根据

“两点之间，线段最短”。可知，AN

1+N

1

B＞A

1

N+NB。

所以，路径AMNB要短于AM

1N

1 B。

设计意图：让学生将实际问题抽象为数学问题，即将最短路径问题抽象为“线段和最小的问题”。通过平移搭建台阶，即平移桥或河道的办法，将问题转化为易于解决的问题，渗透了化归的转化思想。

2.2 拓展应用

拓展1：如图4，如果A、B两地之间有两条平行的河，我们要建的桥都是与河岸垂直的。我们如何找到这个最短的距离呢？

师生活动：方法1：仿照上例，可以将点A沿与河垂直的方向平移两个河宽

分别到到A

1、A

2

，路径中两座桥的长度是固定不变的。为了使路径最短，只要A

2

B

的距离最短。连接A

2B，交河流2河岸于N，在此处造桥MN；连接A

1

M，交河流1

河岸于P，在此处造桥PQ。所得路径AQPMNB最短。

方法2：此题还可以用以下方法来确定建桥位置。如图6，将点A沿与第一条河流垂直的方向平移一个河宽到A

1

，将B沿与第二条河垂直的方向平移一个河

宽到B

1，连接A

1

B

1

与两条河岸分别相交于N、P，在N、P两处，分别建桥MN、PQ，

所得路径AQPMNB最短。

拓展2：如图7，如果A、B之间有三条平行的河流呢，又该如何建造桥呢？

教师活动：方法1：仿照拓展1方法1图5，将点A沿与河垂直的方向平移

三个河宽分别到到A

1、A

2

、A

3

，路径中三座桥的长度是固定不变的。为了使路径

最短，只要A

3

B最短。

连接A

3B，交河流3于N，在此处造桥MN；连接A

2

N，交河流2于P，在此处

造桥PQ；连接A

1

Q，交河流1于R，在此处造桥RS。所得路径ASRQPMNB最短。

方法2：此处还可以先将A沿与河流1河岸垂直的方向分别平移两个河宽到

A 1、A

2

，再将B沿与河流3河岸垂直的方向平移一个河宽到B

1

；或先将A沿与河

岸垂直的方向平移一个河宽到A

1

，再将B沿与河岸垂直的方向分别平移两个河宽

到B

1、B

2

，来选择修桥位置。

学生活动：由小组间相互交流讨论，然后画出图形。

设计意图：有了单一河道建一座桥的经验，将问题迁移到两条、三条平行河道建两座桥、三座桥的问题，可以通过平移把它们化归为两条河道，再化归为一条河道的问题，问题就迎刃而解了，培养学生举一反三和化归的思想。

2.3 巩固练习

拓展3：如图9，如果在上述条件不变的情况下，两条河不平行，又该如何建造桥？

教师活动：方法1：仿照拓展1的图5平移的桥始终与该河道是垂直的。

方法2：仿照拓展1的图6的方法来平移桥。