离散数学p优秀课件
合集下载
离散数学ppt课件
02
集合论基础
集合的基本概念
总结词
集合是离散数学中的基本概念， 是研究离散对象的重要工具。
详细描述
集合是由一组确定的、互不相同 的、可区分的对象组成的整体。 这些对象称为集合的元素。例如 ，自然数集、平面上的点集等。
集合的运算和性质
总结词
集合的运算和性质是离散数学中的重要内容，包括集合的交、并、差、补等基本运算，以及集合的确定性、互异 性、无序性等性质。
生，1表示事件一定会发生。
离散概率论的运算和性质
概率的加法性质
如果两个事件A和B是互斥的，那么P(A或B)等于P(A)加上 P(B)。
概率的乘法性质
如果事件A和B是独立的，那么P(A和B)等于P(A)乘以P(B) 。
全概率公式
对于任意的事件A，存在一个完备事件组{E1, E2, ..., En}， 使得P(Ai)>0 (i=1,2,...,n)，且E1∪E2∪...∪En=S，那么 P(A)=∑[i=1 to n] P(Ai)P(A|Ei)。
工程学科
离散数学在工程学科中也有着重要的 应用，如计算机通信网络、控制系统 、电子工程等领域。
离散数学的重要性
基础性
离散数学是数学的一个重要分支 ，是学习其他数学课程的基础。
应用性
离散数学在各个领域都有着广泛的 应用，掌握离散数学的知识和方法 对于解决实际问题具有重要的意义 。
培养逻辑思维
学习离散数学可以培养人的逻辑思 维能力和问题解决能力，对于个人 的思维发展和职业发展都有很大的 帮助。
详细描述
邻接矩阵是一种常用的表示图的方法，它是 一个二维矩阵，其中行和列对应于图中的节 点，如果两个节点之间存在一条边，则矩阵 中相应的元素为1，否则为0。邻接表是一 种更有效的表示图的方法，它使用链表来存 储与每个节点相邻的节点。
离散数学完整版课件全套ppt教学教程最全整套电子讲义幻灯片(最新)
(3)至于p为0即“我期终考了年级不是前 10”时,无论q为1或为0，即无论"我老妈 奖励1000元"或不奖励，都不能说老妈的 话是假的，故善意的认为pq为1均为1
1.1 命题及联结词
定义1.5双条件:当p与q值相同时,pq为1,不同 为0。 称p当且仅当q
“普通老师赚了100万当且仅当他 中了100万的彩票”， 普通老师赚了100万 普通老师买彩票中了100万大奖
故pq为0
1.1 命题及联结词
定义1.4条件式当p是1 ,q是0时,pq为0,即 10为0,其他情况为1。 p称为前件,q称为后件
(1)当p为1即“我期终考了年级前10”
q为0即“我老妈没有奖励1000元” 这时老妈的话为假，即pq为0 (2)当p为1即“我期终考了年级前10” q为1即“我老妈奖励1000元” 这时妈妈的话就对了，即pq为1
由于所有内容(整数，实数，字符，汉字，图片，声 音，视频，网页，……)进入电脑后，全是01组成的字 符串，从而都可以用布尔运算即逻辑运算实现，命题逻 辑成为计算机的基础。
命题逻辑将数学由连续变到离散，由高数进入离散。
Google采用逻辑运算进行搜索：数字之美 吴军 杨圣洪 000100010001110000 两者对应位置与运算。 离散数学 100100000000100001
陈述句(6)的正确性，到2018年12月时能确定的，若届 时建成了则它是对的、为真命题，否为假命题。
1.1 命题及联结词
对错确定的陈述语句称为命题。如：
(7) x与y之和为100，其中x为整数，y为整数 (8)1加1等于10 (7)的对错不确定。当x为50、y为50时是对的，当x为 51、y为52时是错的。 (8)的对错是不确定的，为二进制时正确，当为八进制、 十进制时是错的，因此这两个陈述句不是命题。 (9)青枫峡的红叶真美呀！ (10)动作快点！ (11)你是杨老师吗？ 这三个语句不是陈述语句，因此不是命题。
1.1 命题及联结词
定义1.5双条件:当p与q值相同时,pq为1,不同 为0。 称p当且仅当q
“普通老师赚了100万当且仅当他 中了100万的彩票”， 普通老师赚了100万 普通老师买彩票中了100万大奖
故pq为0
1.1 命题及联结词
定义1.4条件式当p是1 ,q是0时,pq为0,即 10为0,其他情况为1。 p称为前件,q称为后件
(1)当p为1即“我期终考了年级前10”
q为0即“我老妈没有奖励1000元” 这时老妈的话为假，即pq为0 (2)当p为1即“我期终考了年级前10” q为1即“我老妈奖励1000元” 这时妈妈的话就对了，即pq为1
由于所有内容(整数，实数，字符，汉字，图片，声 音，视频，网页，……)进入电脑后，全是01组成的字 符串，从而都可以用布尔运算即逻辑运算实现，命题逻 辑成为计算机的基础。
命题逻辑将数学由连续变到离散，由高数进入离散。
Google采用逻辑运算进行搜索：数字之美 吴军 杨圣洪 000100010001110000 两者对应位置与运算。 离散数学 100100000000100001
陈述句(6)的正确性，到2018年12月时能确定的，若届 时建成了则它是对的、为真命题，否为假命题。
1.1 命题及联结词
对错确定的陈述语句称为命题。如：
(7) x与y之和为100，其中x为整数，y为整数 (8)1加1等于10 (7)的对错不确定。当x为50、y为50时是对的，当x为 51、y为52时是错的。 (8)的对错是不确定的，为二进制时正确，当为八进制、 十进制时是错的，因此这两个陈述句不是命题。 (9)青枫峡的红叶真美呀！ (10)动作快点！ (11)你是杨老师吗？ 这三个语句不是陈述语句，因此不是命题。
离散数学高等里离散数学课件-CHAP
图论
图的基本概念
边
连接两个节点的线段称为边。
简单图与多重图
只含一条边的图称为简单图， 含有相同端点的多条边称为多 重边。
节点
图中的顶点称为节点。
定向图与无向图
如果边有方向，则称为定向图； 如果边无方向，则称为无向图。
有限图与无限图
节点和边都有限的图称为有限 图，节点或边至少有一个为无 限的图称为无限图。
发展
随着计算机科学的快速发展，离散数学也得到了迅速的发展 。许多新的分支如组合数学、离散概率论等不断涌现，并广 泛应用于计算机科学、工程学、物理学等领域。
离散数学的应用领域
计算机科学
离散数学在计算机科学中有着广泛的 应用，如算法设计、数据结构、计算 机图形学、数据库系统等。
工程学
离散数学在工程学中也有着广泛的应 用，如电子工程、通信工程、机械工 程等。
要点二
详细描述
集合可以用列举法、描述法、图示法等多种方法来表示。 列举法是将集合中的所有元素一一列举出来，适用于元素 数量较少的集合。描述法是用数学符号和逻辑表达式来描 述集合中的元素，适用于元素数量较多且具有共同特征的 集合。图示法则是用图形来表示集合，直观易懂，适用于 具有明显包含关系的集合。
03
如果图中任意两个节点之间都存在一 条路径，则称该图为连通图。
路径与回路
欧拉回路与哈密顿回路
如果一条回路恰好经过图中的每条边 一次，则称为欧拉回路；如果一条回 路恰好经过图中的每个节点一次，则 称为哈密顿回路。
连接两个节点的序列称为路径，如果 路径的起点和终点是同一点，则称为 回路。
04
离散概率论
离散概率的基本概念
图的表示方法
邻接矩阵
用矩阵表示图中节点之 间的关系，如果节点i与 节点j之间存在一条边， 则矩阵中第i行第j列的 元素为1，否则为0。
图的基本概念
边
连接两个节点的线段称为边。
简单图与多重图
只含一条边的图称为简单图， 含有相同端点的多条边称为多 重边。
节点
图中的顶点称为节点。
定向图与无向图
如果边有方向，则称为定向图； 如果边无方向，则称为无向图。
有限图与无限图
节点和边都有限的图称为有限 图，节点或边至少有一个为无 限的图称为无限图。
发展
随着计算机科学的快速发展，离散数学也得到了迅速的发展 。许多新的分支如组合数学、离散概率论等不断涌现，并广 泛应用于计算机科学、工程学、物理学等领域。
离散数学的应用领域
计算机科学
离散数学在计算机科学中有着广泛的 应用，如算法设计、数据结构、计算 机图形学、数据库系统等。
工程学
离散数学在工程学中也有着广泛的应 用，如电子工程、通信工程、机械工 程等。
要点二
详细描述
集合可以用列举法、描述法、图示法等多种方法来表示。 列举法是将集合中的所有元素一一列举出来，适用于元素 数量较少的集合。描述法是用数学符号和逻辑表达式来描 述集合中的元素，适用于元素数量较多且具有共同特征的 集合。图示法则是用图形来表示集合，直观易懂，适用于 具有明显包含关系的集合。
03
如果图中任意两个节点之间都存在一 条路径，则称该图为连通图。
路径与回路
欧拉回路与哈密顿回路
如果一条回路恰好经过图中的每条边 一次，则称为欧拉回路；如果一条回 路恰好经过图中的每个节点一次，则 称为哈密顿回路。
连接两个节点的序列称为路径，如果 路径的起点和终点是同一点，则称为 回路。
04
离散概率论
离散概率的基本概念
图的表示方法
邻接矩阵
用矩阵表示图中节点之 间的关系，如果节点i与 节点j之间存在一条边， 则矩阵中第i行第j列的 元素为1，否则为0。
【精品】离散数学PPT课件(完整版)
一个简单命题.
13
联结词与复合命题(续)
3.析取式与析取联结词“∨” 定义 设 p,q为二命题，复合命题“p或q”称作p与q 的析取式，记作p∨q. ∨称作析取联结词，并规 定p∨q为假当且仅当p与q同时为假.
例 将下列命题符号化 (1) 2或4是素数. (2) 2或3是素数. (3) 4或6是素数. (4) 小元元只能拿一个苹果或一个梨. (5) 王晓红生于1975年或1976年.
15
联结词与复合命题(续)
4.蕴涵式与蕴涵联结词“” 定义 设 p,q为二命题，复合命题 “如果p,则q” 称 作p与q的蕴涵式，记作pq，并称p是蕴涵式的 前件，q为蕴涵式的后件. 称作蕴涵联结词，并 规定，pq为假当且仅当 p 为真 q 为假.
16
联结词与复合命题(续)
pq 的逻辑关系：q 为 p 的必要条件 “如果 p，则 q ” 的不同表述法很多：
19
例 求下列复合命题的真值 (1) 2 + 2 ＝ 4 当且仅当 3 + 3 ＝ 6. (2) 2 + 2 ＝ 4 当且仅当 3 是偶数. (3) 2 + 2 ＝ 4 当且仅当 太阳从东方升起. (4) 2 + 2 ＝ 4 当且仅当 美国位于非洲. (5) 函数 f (x) 在x0 可导的充要条件是它在 x0
解 令 p：王晓用功，q：王晓聪明，则 (1) p∧q (2) p∧q (3) p∧q.
12
例 (续)
令 r : 张辉是三好学生，s :王丽是三好学生 (4) r∧s. (5) 令 t : 张辉与王丽是同学，t 是简单命题 .
说明: (1)~(4)说明描述合取式的灵活性与多样性. (5) 中“与”联结的是两个名词，整个句子是
若 p，就 q 只要 p，就 q p 仅当 q 只有 q 才 p 除非 q, 才 p 或 除非 q, 否则非 p. 当 p 为假时，pq 为真 常出现的错误：不分充分与必要条件
13
联结词与复合命题(续)
3.析取式与析取联结词“∨” 定义 设 p,q为二命题，复合命题“p或q”称作p与q 的析取式，记作p∨q. ∨称作析取联结词，并规 定p∨q为假当且仅当p与q同时为假.
例 将下列命题符号化 (1) 2或4是素数. (2) 2或3是素数. (3) 4或6是素数. (4) 小元元只能拿一个苹果或一个梨. (5) 王晓红生于1975年或1976年.
15
联结词与复合命题(续)
4.蕴涵式与蕴涵联结词“” 定义 设 p,q为二命题，复合命题 “如果p,则q” 称 作p与q的蕴涵式，记作pq，并称p是蕴涵式的 前件，q为蕴涵式的后件. 称作蕴涵联结词，并 规定，pq为假当且仅当 p 为真 q 为假.
16
联结词与复合命题(续)
pq 的逻辑关系：q 为 p 的必要条件 “如果 p，则 q ” 的不同表述法很多：
19
例 求下列复合命题的真值 (1) 2 + 2 ＝ 4 当且仅当 3 + 3 ＝ 6. (2) 2 + 2 ＝ 4 当且仅当 3 是偶数. (3) 2 + 2 ＝ 4 当且仅当 太阳从东方升起. (4) 2 + 2 ＝ 4 当且仅当 美国位于非洲. (5) 函数 f (x) 在x0 可导的充要条件是它在 x0
解 令 p：王晓用功，q：王晓聪明，则 (1) p∧q (2) p∧q (3) p∧q.
12
例 (续)
令 r : 张辉是三好学生，s :王丽是三好学生 (4) r∧s. (5) 令 t : 张辉与王丽是同学，t 是简单命题 .
说明: (1)~(4)说明描述合取式的灵活性与多样性. (5) 中“与”联结的是两个名词，整个句子是
若 p，就 q 只要 p，就 q p 仅当 q 只有 q 才 p 除非 q, 才 p 或 除非 q, 否则非 p. 当 p 为假时，pq 为真 常出现的错误：不分充分与必要条件
离散数学(精选优秀)PPT
二、命题的表示法
1、命题标识符：表示命题的符号称为命题标识符。在数理逻辑中，使 用大写字母，或带下标的大写字母，或用方括号括起的数字表示命题。
例：P： 今天下雨。 “今天下雨”是一个命题，P是命题标识符。
它形成于七十年代初期，是一门新兴的工具性学科。
离散数学的应用
◆关系型数据库的设计（关系代数） ◆表达式解析（树） ◆编译技术、程序设计语言（代数结构） ◆人工智能、自动推理、机器证明（数理逻辑） ◆网络路由算法（图论） ◆游戏中的人工智能算法（图论、树、博弈论） ◆专家系统（集合论、数理逻辑—知识和推理规则的计算机表达） ◆软件工程—团队开发—时间和分工的优化（图论—网络、划分） ◆(各种)算法的构造、正确性的证明和效率的评估（离散数学的
第一章 命题逻辑
目标语言：就是表达判断的一些语言的汇集。 目标语言和一些符号公式构成了数理逻辑的形式 符号体系。
1-1 命题及其表示法
一、命题
1、定义 能表达判断的陈述句，称作命题（Proposition）。 例：判断下列语句是否为命题: (陈1)述地句球：外述存说在一智件事慧情生的物句。子，句末用句号。 (祈2)使1＋句1：=要10求。或者希望别人做什么事或者不做什么事时用的 (句3)子今，天句下末雨用。句号或感叹号。 (疑4)问你句今：年提暑出假问去题的旅句行子吗，？句（末疑用问问号句。） (感5)叹克句里：特带岛有人浓说厚感：情“的克句里子特，岛句末人用是感说叹谎号话。者”。 悖（：相悖反论。）悖论：自相矛盾的陈述。
各分支）
教材
左孝凌，李为鉴，刘永才编著．离散数学．上海： 上海科学技术文献出版社,1982 主要参考教材: 孙吉贵，杨凤杰，欧阳丹彤，李占山编著．离散数 学．高等教育出版社，2002
离散数学的ppt课件
科学中的许多问题。
03
例如，利用图论中的最短路径算法和最小生成树算法
等，可以优化网络通信和数据存储等问题。
运筹学中的应用
01
运筹学是一门应用数学学科， 主要研究如何在有限资源下做 出最优决策，离散数学在运筹 学中有着广泛的应用。
02
利用离散数学中的线性规划、 整数规划和非线性规划等理论 ，可以解决运筹学中的许多问 题。
并集是将两个集合中的所有元素合 并在一起，形成一个新的集合。
详细描述
例如，{1, 2, 3}和{2, 3, 4}的并集是 {1, 2, 3, 4}。
总结词
补集是取一个集合中除了某个子集 以外的所有元素组成的集合。
详细描述
例如，对于集合{1, 2, 3}，{1, 2}的 补集是{3}。
集合的基数
总结词
）的数学分支。
离散数学的学科特点
03
离散数学主要研究对象的结构、性质和关系，强调推
理和证明的方法。
离散数学的应用领域
计算机科学
01
离散数学是计重要的工具和方法。
通信工程
02
离散数学在通信工程中广泛应用于编码理论、密码学、信道容
量估计等领域。
集合的基数是指集合中元素的数量。
详细描述
例如，集合{1, 2, 3}的基数是3，即它包含三个元素。
03 图论
图的基本概念
顶点
图中的点称为顶点或节点。
边
连接两个顶点的线段称为边。
无向图
边没有方向，即连接两个顶点的线段可以是双向 的。
有向图
边有方向，即连接两个顶点的线段只能是从一个顶 点指向另一个顶点。
研究模态算子（如necessity、possibility）的语义和语法。
《离散数学讲义》课件
离散概率分布的定义
离散概率分布是描述随机事件在有限或可数无限的可 能结果集合中发生的概率的数学工具。
离散概率分布的种类
常见的离散概率分布包括二项分布、泊松分布、几何 分布等。
离散概率分布的应用
离散概率分布在统计学、计算机科学、物理学等领域 都有广泛的应用。
参数估计和假设检验
参数估计
参数估计是根据样本数据推断总体参数的过 程，包括点估计和区间估计两种方法。
假设检验
假设检验是用来判断一个假设是否成立的统计方法 ，包括参数检验和非参数检验两种类型。
参数估计和假设检验的应 用
在统计学中，参数估计和假设检验是常用的 数据分析方法，用于推断总体特征和比较不 同总体的差异。
方差分析和回归分析
方差分析
方差分析是一种用来比较不同组数据的平均值是否存在显著差异 的统计方法。
《离散数学讲义》ppt课件
目 录
• 离散数学简介 • 集合论 • 图论 • 离散概率论 • 逻辑学 • 离散统计学 • 应用案例分析
01
离散数学简介
离散数学的起源和定义
起源
离散数学起源于17世纪欧洲的数学研 究，最初是为了解决当时的一些实际 问题，如组合计数和图论问题。
定义
离散数学是研究离散对象（如集合、 图、树、逻辑等）的数学分支，它不 涉及连续的变量或函数。
联结词：如与(&&)、或(||)、非(!)等，用 于组合简单命题。
03
04
命题公式：由简单命题通过联结词组合而 成的复合命题。
命题逻辑的推理规则
05
06
肯定前件、否定后件、析取三段论、合取 三段论等推理规则。
谓词逻辑
个体词
表示具体事物的符号。
离散概率分布是描述随机事件在有限或可数无限的可 能结果集合中发生的概率的数学工具。
离散概率分布的种类
常见的离散概率分布包括二项分布、泊松分布、几何 分布等。
离散概率分布的应用
离散概率分布在统计学、计算机科学、物理学等领域 都有广泛的应用。
参数估计和假设检验
参数估计
参数估计是根据样本数据推断总体参数的过 程，包括点估计和区间估计两种方法。
假设检验
假设检验是用来判断一个假设是否成立的统计方法 ，包括参数检验和非参数检验两种类型。
参数估计和假设检验的应 用
在统计学中，参数估计和假设检验是常用的 数据分析方法，用于推断总体特征和比较不 同总体的差异。
方差分析和回归分析
方差分析
方差分析是一种用来比较不同组数据的平均值是否存在显著差异 的统计方法。
《离散数学讲义》ppt课件
目 录
• 离散数学简介 • 集合论 • 图论 • 离散概率论 • 逻辑学 • 离散统计学 • 应用案例分析
01
离散数学简介
离散数学的起源和定义
起源
离散数学起源于17世纪欧洲的数学研 究，最初是为了解决当时的一些实际 问题，如组合计数和图论问题。
定义
离散数学是研究离散对象（如集合、 图、树、逻辑等）的数学分支，它不 涉及连续的变量或函数。
联结词：如与(&&)、或(||)、非(!)等，用 于组合简单命题。
03
04
命题公式：由简单命题通过联结词组合而 成的复合命题。
命题逻辑的推理规则
05
06
肯定前件、否定后件、析取三段论、合取 三段论等推理规则。
谓词逻辑
个体词
表示具体事物的符号。
【精选文档】离散数学图论课件PPT资料
若V1 V，E1 E，则称G1是G的子图，记为G1 G；
deg(v3)＝5，deg+(v3)＝2，deg-(v3)＝3；
无自回路的线图称为简单图。
于是|V1|为偶数(因为V1中的结点v之deg(v)都为奇数)，即奇度数的结点个数为偶数。
(o)
(p)
二、度数
定义 在无向图G＝<V，E>中，与结点v(vV)关联的边的条 数，称为该结点的度数，记为deg(v)；
3) 在一个图中，关联结点vi和vj的边e，无论是有向的还是无 向的，均称边e与结点vi和vj相关联，而vi和vj称为邻接点， 否则称为不邻接的；
4) 关联于同一个结点的两条边称为邻接边； 5) 图中关联同一个结点的边称为自回路(或环)； 6) 图中不与任何结点相邻接的结点称为孤立结点； 7) 仅由孤立结点组成的图称为零图； 8) 仅含一个结点的零图称为平凡图；
离散数学图论课件
（优选）离散数学图论课件
离散数学
2
图的术语
1) 若边e与结点无序偶(u，v)相对应，则称边e为无向边,记为 e＝(u，v)，这时称u，v是边e的两个端点；
2) 若边e与结点有序偶<u，v>相对应，则称边e为有向边(或 弧)，记为e＝<u，v>，这时称u是边e的始点(或弧尾)，v是 边e的终点(或弧头)，统称为e的端点；
δ(G)最小度，Δ(G)最大度
定义 在图G＝<V，E>中，对任意结点vV，若度数deg(v)为 奇数，则称此结点为奇度数结点，若度数deg(v)为偶数， 则称此结点为偶度数结点。
例：
例：
deg(v )＝3，deg (v )＝2，deg (v )＝1； 例:如下图所示，图(a)、图(b)、图(c)和图+ (d)所表示的图形实际上都是-一样的。
离散数学PPT【共34张PPT】
15
18.4 点着色
定义17.9 (1) 图G的一种点着色——给图G的每个顶点涂上一种颜色，
使相邻顶点具有不同颜色 (2) 对G进行k着色（G是k-可着色的）——能用k种颜色给G
的顶点着色 (3) G的色数(G)=k——G是k-可着色的，但不是(k1)-可着色
的.
16
关于顶点着色的几个简单结果
定理17.19 (G)=1当且仅当G为零图 定理17.20 (Kn)=n 定理17.21 若G为奇圈或奇阶轮图，则(G)=3，若G为偶阶轮 图，则(G)=4. 定理17.22 若G的边集非空，则(G)=2当且仅当G为二部图.
路径 (7) M的交错圈——由M与EM中的边交替出现构成的G中圈
上图中，只有第一个图存在完美匹配
8
可增广路径及交错圈
(1)
(2)
(3)
设红色边在匹配M中，绿色边不在M中，则图(1)中的两条路 径均为可增广的交错路径；(2)中的全不是可增广的交错路 径；(3)中是一个交错圈. 不难看出，可增广交错路径中，不在M中的边比在M中的边 多一条. 交错圈一定为偶圈.
立集 (3) 最大点独立集——元素最多的点独立集 (4) 点独立数——最大点独立集中的元素个数，记为0
(1)
(2)
在图中，点独立数依次为2, 2, 3.
(3)
2
极大独立集与极小支配集
定理18.1 设G=<V,E>中无孤立点，则G的极大点独立集都是 极小支配集. 证明线索： (1) 设V*为G的极大点独立集，证明它也是支配集.
定理17.28 偶圈边色数为2，奇圈边色数为3. 定理17.29 (Wn) = n1, n4. 定理17.30 二部图的边色数等于最大度. 定理17.31 n为奇数（n1）时，(Kn)=n；
18.4 点着色
定义17.9 (1) 图G的一种点着色——给图G的每个顶点涂上一种颜色，
使相邻顶点具有不同颜色 (2) 对G进行k着色（G是k-可着色的）——能用k种颜色给G
的顶点着色 (3) G的色数(G)=k——G是k-可着色的，但不是(k1)-可着色
的.
16
关于顶点着色的几个简单结果
定理17.19 (G)=1当且仅当G为零图 定理17.20 (Kn)=n 定理17.21 若G为奇圈或奇阶轮图，则(G)=3，若G为偶阶轮 图，则(G)=4. 定理17.22 若G的边集非空，则(G)=2当且仅当G为二部图.
路径 (7) M的交错圈——由M与EM中的边交替出现构成的G中圈
上图中，只有第一个图存在完美匹配
8
可增广路径及交错圈
(1)
(2)
(3)
设红色边在匹配M中，绿色边不在M中，则图(1)中的两条路 径均为可增广的交错路径；(2)中的全不是可增广的交错路 径；(3)中是一个交错圈. 不难看出，可增广交错路径中，不在M中的边比在M中的边 多一条. 交错圈一定为偶圈.
立集 (3) 最大点独立集——元素最多的点独立集 (4) 点独立数——最大点独立集中的元素个数，记为0
(1)
(2)
在图中，点独立数依次为2, 2, 3.
(3)
2
极大独立集与极小支配集
定理18.1 设G=<V,E>中无孤立点，则G的极大点独立集都是 极小支配集. 证明线索： (1) 设V*为G的极大点独立集，证明它也是支配集.
定理17.28 偶圈边色数为2，奇圈边色数为3. 定理17.29 (Wn) = n1, n4. 定理17.30 二部图的边色数等于最大度. 定理17.31 n为奇数（n1）时，(Kn)=n；
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
复合命题：由简单命题通过联结词联结而成的陈述 句。它由原子命题、命题联结词和圆括号组成。
11、我学英语，或者我学日语。 12、 只有天下大雨，他才乘车去上班。
二、命题的表示法
常用大写字母、带下标的大写字母、数字表示命题， 称之为命题标识符。 例如：P： 北京是中国的首都。
[2]：北京是中国的首都。
附录(悖论):
“悖论”这个词的意义比较丰富，它包括一切与人们直觉和 日常经验相矛盾的数学结论。由真推出假，由假推出真。 (1) 说谎者悖论 我们陷入了著名的说谎者悖论之中。下面是它的简单形式。 这句话是错的
上面这个句子对吗? 如果是对的，这句话就是错的！ 如果这句话是错的，那这个句子就对了！ 像这样矛盾的说法比你所能想到的还要普遍得多。
陈述句，所以陈述句就成了推理的基本要素。 所有的陈述句都是推理的要素？ 数理逻辑中所要求的是能判断真假(对错)的陈
述句，于是称之为命题。
命题逻辑，研究由命题为基本单位构成的前提 和结论之间的可推导关系。也称命题演算，记 为Ls。
它与谓词逻辑构成数理逻辑的基础，而命题逻 辑又是谓词逻辑的基础。
本次课内容：
分析：
（2）（4）（9）不是命题。 （3）在十进制中为假，二进制中为真，不能确
定其真值。不是命题 （7）根据x的值而定，无唯一真值，不是命题。 （5）（6）目前无法确定，但从事物的本质而言，
它本身是有真假可言的，即客观存在且唯一， 为命题。 （8）是悖论。？ 所以，（1）（5） （6） （10）（11）（12） 是命题。
命题常量：表示一个确定的命题的命题标示符。 命题变元：任意命题的位置标志。命题变元不是
命题（表示任意命题，不能确定真值） 当命题变元P用一个特定的命题取代时，P才能确定
真值，也称对P进行指派。
本节的主要内容有:
1.给出了命题的概念； 2.命题的判断结果称为命题的真值； 3.分类：原子命题, 复合命题。
数理逻辑 用数学的方法来研究推理的规律统称数理逻辑
为什么研究数理逻辑 程序=算法+数据 算法=逻辑+控制
数理逻辑是用数学方法即通过引入表意符号研究 推理的学问。因此，数理逻辑又名为符号逻辑。
第一章 命题逻辑
命题的引入：
数理逻辑研究推理，而推理必须包含前提和结 论，它们又都是由什么样的句子组成？
1-2 联结词
内容：
否定联结词 合取联结词 析取联结词 条件联结词 双条件联结词
(1)否定联结词
定义1-2.1 设P为命题，复合命题“非P”（或“P
的否定”）称为P的否定式，记作 ┐P，符号┐ 称为否定联结词。 运算规则：属于单目运算符(一元运算)
P
┐P
例: P:上海是一个大城市。
TFΒιβλιοθήκη ┐P: 上海并不是一个大城市。
F
T
┐P：上海是一个不大的城市。
(2) 合取联结词∧
定义1-2.2 复合命题“P并且Q”或“P与Q”，称 为P与Q的合取式，记作P ∧ Q ，符号∧称为合 取联结词。
运算规则：属于双目运算符 （二元运算）
P
Q
P∧Q
合取运算特点：只
T
T
T
有参与运算的二命
T
F
F
题全为真时，运算
F
T
F
结果才为真，否则 为假。
F
F
F
例题
例1 P ：今天下雨。 Q： 明天下雨。 上述命题的合取为： P∧Q：今天下雨而且明天下雨
or 今天与明天都下雨。 or 这两天都下雨。
例2 P: 地球在运转。Q：2＋2＝4 则 P∧Q：地球在运转 且 2＋2＝4
注意：
（1）自然语言中的表示“并且”意思的联结词，如“既… 又…”、“不但…而且…”、“虽然…但是…”、“一面…一 面…”等都可以符号化为∧ 。
（2）判断命题规则：
只有具有确定真值的陈述句才是命题； 感叹句，疑问句，祈使句等都不是命题。 真值必须唯一，与是否知道其真值无关。
（3）判断命题的两个步骤： 1、是否为陈述句； 2、是否有确定的、唯一的真值。
例：判断下列句子是否为命题
1、100是自然数。 2、这周四是否开会？ 3、1＋101＝110 4、How do you do ? 5、别的星球上有生物。 6、2011年国庆是晴天。 7、x+3>9 8、我正在说谎。 9、全体立正！ 10、离散数学是我们的基础必修课。 11、我学英语，或者我学日语。 12、 只有天下大雨，他才乘车去上班。
离散数学p
先看下面一道推理题：
如果我学习，那么我的离散数学不会不及格。 如果我不热衷于玩扑克，那么我将学习。 但我离散数学不及格。 因此我热衷于玩扑克。
请问这个人说得对吗？他是怎么推导出来的呢？ 要回答这样的问题，实际上就是看由一些诸如“离散数 学不及格”这样的前提能否推出“热衷于玩扑克”这样的 结论来。这又需要经历如下过程： (1) 什么是前提？有哪些前提？ (2) 结论是什么？ (3) 根据什么进行推理？ (4) 怎么进行推理？
(2)罗素悖论（理发师悖论）
著名的理发师悖论是伯特纳德·罗素提出的。 告示: 城里所有不自己刮脸的男人都由我给他们刮脸，我也
只给这些人刮脸。
谁给这位理发师刮脸呢？ 如果他自己刮脸，那他就属于自己刮脸的那类人。但是，
他的招牌说明他不给这类人刮脸，因此他不能自己来刮。
如果另外一个人来给他刮脸，那他就是不自己刮脸的人。 但是，他的招牌说他要给所有这类人刮脸。因此其他任何 人也不能给他刮脸。看来，没有任何人能给这位理发师刮 脸了！
命题，逻辑联结词，命题符号化
重点：(1)掌握命题概念
(2)掌握联结词含义及真值表 (3)掌握命题符号化方法
作业：
P8 （3）（5） P12 （5）
1-1 命题及其表示方法
内容：命题 重点：掌握命题概念
一.基本概念
命题：具有确定真值的陈述句。
or 真值客观存在且唯一 or 能区分真假 可以看出： （1）一个命题，总是具有一个“值”，称为真 值。命真真命题：真值为真(T，1)的命题。 假命题：真值为假(F，0)的命题。
伯特纳德·罗素提出这个悖论，为的是把他发现的关于集 合的一个著名悖论用故事通俗地表述出来。
命题的分类
简单/原子命题：由不能再分解为更简单的陈述句的 陈述句构成。(1) (5) (6) (10)
1、100是自然数。 5、别的星球上有生物。 6、2011年国庆是晴天。 10、离散数学是我们的基础必修课。
11、我学英语，或者我学日语。 12、 只有天下大雨，他才乘车去上班。
二、命题的表示法
常用大写字母、带下标的大写字母、数字表示命题， 称之为命题标识符。 例如：P： 北京是中国的首都。
[2]：北京是中国的首都。
附录(悖论):
“悖论”这个词的意义比较丰富，它包括一切与人们直觉和 日常经验相矛盾的数学结论。由真推出假，由假推出真。 (1) 说谎者悖论 我们陷入了著名的说谎者悖论之中。下面是它的简单形式。 这句话是错的
上面这个句子对吗? 如果是对的，这句话就是错的！ 如果这句话是错的，那这个句子就对了！ 像这样矛盾的说法比你所能想到的还要普遍得多。
陈述句，所以陈述句就成了推理的基本要素。 所有的陈述句都是推理的要素？ 数理逻辑中所要求的是能判断真假(对错)的陈
述句，于是称之为命题。
命题逻辑，研究由命题为基本单位构成的前提 和结论之间的可推导关系。也称命题演算，记 为Ls。
它与谓词逻辑构成数理逻辑的基础，而命题逻 辑又是谓词逻辑的基础。
本次课内容：
分析：
（2）（4）（9）不是命题。 （3）在十进制中为假，二进制中为真，不能确
定其真值。不是命题 （7）根据x的值而定，无唯一真值，不是命题。 （5）（6）目前无法确定，但从事物的本质而言，
它本身是有真假可言的，即客观存在且唯一， 为命题。 （8）是悖论。？ 所以，（1）（5） （6） （10）（11）（12） 是命题。
命题常量：表示一个确定的命题的命题标示符。 命题变元：任意命题的位置标志。命题变元不是
命题（表示任意命题，不能确定真值） 当命题变元P用一个特定的命题取代时，P才能确定
真值，也称对P进行指派。
本节的主要内容有:
1.给出了命题的概念； 2.命题的判断结果称为命题的真值； 3.分类：原子命题, 复合命题。
数理逻辑 用数学的方法来研究推理的规律统称数理逻辑
为什么研究数理逻辑 程序=算法+数据 算法=逻辑+控制
数理逻辑是用数学方法即通过引入表意符号研究 推理的学问。因此，数理逻辑又名为符号逻辑。
第一章 命题逻辑
命题的引入：
数理逻辑研究推理，而推理必须包含前提和结 论，它们又都是由什么样的句子组成？
1-2 联结词
内容：
否定联结词 合取联结词 析取联结词 条件联结词 双条件联结词
(1)否定联结词
定义1-2.1 设P为命题，复合命题“非P”（或“P
的否定”）称为P的否定式，记作 ┐P，符号┐ 称为否定联结词。 运算规则：属于单目运算符(一元运算)
P
┐P
例: P:上海是一个大城市。
TFΒιβλιοθήκη ┐P: 上海并不是一个大城市。
F
T
┐P：上海是一个不大的城市。
(2) 合取联结词∧
定义1-2.2 复合命题“P并且Q”或“P与Q”，称 为P与Q的合取式，记作P ∧ Q ，符号∧称为合 取联结词。
运算规则：属于双目运算符 （二元运算）
P
Q
P∧Q
合取运算特点：只
T
T
T
有参与运算的二命
T
F
F
题全为真时，运算
F
T
F
结果才为真，否则 为假。
F
F
F
例题
例1 P ：今天下雨。 Q： 明天下雨。 上述命题的合取为： P∧Q：今天下雨而且明天下雨
or 今天与明天都下雨。 or 这两天都下雨。
例2 P: 地球在运转。Q：2＋2＝4 则 P∧Q：地球在运转 且 2＋2＝4
注意：
（1）自然语言中的表示“并且”意思的联结词，如“既… 又…”、“不但…而且…”、“虽然…但是…”、“一面…一 面…”等都可以符号化为∧ 。
（2）判断命题规则：
只有具有确定真值的陈述句才是命题； 感叹句，疑问句，祈使句等都不是命题。 真值必须唯一，与是否知道其真值无关。
（3）判断命题的两个步骤： 1、是否为陈述句； 2、是否有确定的、唯一的真值。
例：判断下列句子是否为命题
1、100是自然数。 2、这周四是否开会？ 3、1＋101＝110 4、How do you do ? 5、别的星球上有生物。 6、2011年国庆是晴天。 7、x+3>9 8、我正在说谎。 9、全体立正！ 10、离散数学是我们的基础必修课。 11、我学英语，或者我学日语。 12、 只有天下大雨，他才乘车去上班。
离散数学p
先看下面一道推理题：
如果我学习，那么我的离散数学不会不及格。 如果我不热衷于玩扑克，那么我将学习。 但我离散数学不及格。 因此我热衷于玩扑克。
请问这个人说得对吗？他是怎么推导出来的呢？ 要回答这样的问题，实际上就是看由一些诸如“离散数 学不及格”这样的前提能否推出“热衷于玩扑克”这样的 结论来。这又需要经历如下过程： (1) 什么是前提？有哪些前提？ (2) 结论是什么？ (3) 根据什么进行推理？ (4) 怎么进行推理？
(2)罗素悖论（理发师悖论）
著名的理发师悖论是伯特纳德·罗素提出的。 告示: 城里所有不自己刮脸的男人都由我给他们刮脸，我也
只给这些人刮脸。
谁给这位理发师刮脸呢？ 如果他自己刮脸，那他就属于自己刮脸的那类人。但是，
他的招牌说明他不给这类人刮脸，因此他不能自己来刮。
如果另外一个人来给他刮脸，那他就是不自己刮脸的人。 但是，他的招牌说他要给所有这类人刮脸。因此其他任何 人也不能给他刮脸。看来，没有任何人能给这位理发师刮 脸了！
命题，逻辑联结词，命题符号化
重点：(1)掌握命题概念
(2)掌握联结词含义及真值表 (3)掌握命题符号化方法
作业：
P8 （3）（5） P12 （5）
1-1 命题及其表示方法
内容：命题 重点：掌握命题概念
一.基本概念
命题：具有确定真值的陈述句。
or 真值客观存在且唯一 or 能区分真假 可以看出： （1）一个命题，总是具有一个“值”，称为真 值。命真真命题：真值为真(T，1)的命题。 假命题：真值为假(F，0)的命题。
伯特纳德·罗素提出这个悖论，为的是把他发现的关于集 合的一个著名悖论用故事通俗地表述出来。
命题的分类
简单/原子命题：由不能再分解为更简单的陈述句的 陈述句构成。(1) (5) (6) (10)
1、100是自然数。 5、别的星球上有生物。 6、2011年国庆是晴天。 10、离散数学是我们的基础必修课。