定积分的几何意义

0
0
例3.利用定积分的几何意义，判断下列定积分值的正、负号。
b
b
b
[ f ( x ) g( x )]dx = f ( x )dx g( x )dx
a
a
a
性质3
b
c
b
f ( x )dx = f ( x )dx f ( x )dx
a
a
c
(a＜c＜b)
b f (定x 积)dx分y=关c1 于f (积x )分dx区 间c2 具f (有x )可dx加 性b f ( x )dx
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定积分的几何意义：
当f(x)0时，由y=f (x)、x=a、x=b 与 x 轴所围成的
曲边梯形位于 x 轴的下方，
积分 b f (x)dx 在几何上表示 y a
上述曲边梯形面积的负值。
y=-f (x)
b
S = a[- f (x)]dx
b
S = a[- f (x)]dx
=- b f (x)dx ．， a
Oa
bx
b
c
b
f (x)dx ==-S f (x)dx
f (x)dx。
a
a
c
b
c
b
f (x)dx ==-S f (x)dx
a
a
c
f (x)dyx=f。(x)
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3、定积分的几何意义：
b a
f (x)d x
的实质
（1）当f(x)在区间［a,b］上大于0时，ba f (x) d x 表示
S = 0-1[(x -1)2 -1]dx - -102[(x -0 1)2 -1 1x]dx
01 2x
S = 2 x2dx 1
S = 1 1- x2 dx -1
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例2. 利用定积分的几何意义说明等式
解：在右图中，被积函数f (x) = sin x
2 -
sin
xdx
=
0成立。
每个小区间宽度⊿x = b - a
n
(2)近似代替:任取xi[xi-1, xi]，第i个小曲边梯形的面积用高
为f(xi)而宽为Dx的小矩形面积
y
f(xi)Dx近似之。
y=f(பைடு நூலகம்)
(3)求和:取n个小矩形面积的和
作为曲边梯形面积S的近似值： n
S f (xi )Dx i=1
(4)取极限:所求曲边梯形的面
2
在[- ， ]上连续，且在[- ，0]上
22
2
y f(x)=sinx
sin x 0,在[0， ]上sin x 0,并有
2
A1 = A2 ,所以
2 -
f
(x)dx
=
A2
-
A1
=
0
2
1
-2
A2
A1
x
-1 2
变式:
1）
2
sin xdx = 0
2）
sin xdx = 2
2 sin xdx
0
积S为
n
S
= lim n i=1
f (xi )Dx
Oa
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x xi i xi+1
b
x
Dx
2.定积分的定义
分割----近似代替-----求和-----取极限
n
小矩形面积和Sn =
i =1
f (xi )Dx =
n i =1
f
(xi
)
b
n
a
如果当n∞时，S 无限接近某个常数，这个常数叫做函
例1.用定积分表示图中四个阴影部分面积
①y
f(x)=x2 ② y
③
f(x)=x2
y
④
f(x)=(x-1)2-1
y
f(x)=1
0 a x -1 0 2 x a 0 b x -1 0 2 x
变S 式（=1:）用0a x定2d积x 分y表yS=示x=下2 列2-（1阴x22影）dx部分面1yS积=x2 。y2 =ba11dx
数f (x)在区间[a, b]上的定积分，记作 b f (x)dx，即 b f (x)dx =lim
a
a
0
即
b a
f
(x)dx
=
lim
n
n i=1
b
n
a
f
(xi )
说明:定积分是一个数值,
它只与被积函数及积分区间有关，
而与积分变量的记法无关，即
b f(x)dx =
b
f (t)dt =
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3、定积分的几何意义：
当
f(x)0
时，积分
b
f
(x)dx
a
在几何上表示由 y=f (x)、
x=a、x=b与 x轴所围成的曲边梯形的面积。
y y=f (x)
b f (x)dx =
c
b
f (x)dx
f (x)dx。
a
a
c
Oa
bx
特别地，当 a=b 时，有b a
f (x)dx=0。
S表示以y=f(x)为曲边的曲边梯形面积
的ba代f (y数 0xa)y和 d=xSf的表(x) 值示b0 x都可----用 y0--a几区y何=S边f 意(x)梯b义x0 形面积
2.如果f(x)在[a,b]上时正，时负，如下图
y
y=f(x)
S1
S3
b a
f
(x)dx
=
S1
-
S2
S3
0a
S2
bx
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b
f(u)du。
a
第a 3页/共20页 a
定积分的定义：即
b a
f
(x)dx
=
lim
n
n i=1
b
n
a
f
(xi )
积分上限
y
y = f (x)
积分号
b a
f
( x)dx
=
lim
n0
n i =1
b-a n
Oa
f (xi )
bx
被
积分下限
积
函
数
被 积 [a, b]—叫做积分区间
积
分
表 达 式
变 量
a
a
y=f(xc)1
c2
b
c
b
f (x)dx = f (x)dx
f (x)dx。
a
a
c
b
f
b
(xf )(dxx)d=x
cc
b
= f (xf )(dxx)dx
b
f
(xf )(dxx)d。x。
aa
aa
cc
Oa
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bx
S f (x) 0
1.
b a
f
(x)dx
=
-S
f (x) 0
1、求曲边梯形面积 分割-----近似代替-----求和-----取极限
2、定积分定义 3、定积分几何意义 4、定积分计算性质
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1.求由连续曲线y=f(x)对应的曲边梯形面积的方法
(1)分割:在区间[a,b]上等间隔地插入n-1个点,将它等分成
n个小区间:a, x1,x1, x2, xi-1, xi , ,xn-1,b,
根据定积分的几何意义,如何用定积分表示图中阴 影部分的面积?
y
y=f (x)
b
S1 = ya= fg((x) dx
Oa
bx
b
b
S = S1 - S2 =
a
f (x)dx -
g ( x)dx
a
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4.定积分的基本性质
性质1
b
b
kf ( x )dx = k f ( x )dx
a
a
性质2
由 直线x=a,x=b(a≠b),y=0和曲线y=f(x)所围成的曲
边梯形的面积 ，这也是定积分的几何意义.
（2）当f(x)在区间［a,b］上小于0时，ba f (x) d x 表示
由直线x=a，x=b (a≠b),y=0和曲线y=f(x)所围成的
曲边梯形的面积的相反数.
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定积分的几何意义：