计量经济第十九章 系统估计

第十九章 系统估计

本章讲述的内容是估计联立方程组参数的方法。包括最小二乘法LS 、加权最小二乘法WLS 、似乎不相关回归法SUR 、二阶段最小二乘法TSLS 、加权二阶段最小二乘法W2LS 、三阶段最小二乘法3LS 、完全信息极大似然法FIML 和广义矩法GMM 等估计方法。

§19.1 理论背景

模型系统就是一组包含未知数的方程组。以一个由国内生产总值（Y ）、居民消费总额（C ）、投资总额（I ）、政府消费额（G ）和短期利率（r ）等变量构成的简单的宏观经济系统为例：

⎪⎩⎪⎨⎧++=++++=++++=----t t t t

t t t t t t t t t t G I C Y r I Y I r C Y C 22312101131210log log log log log log log log εββββεαααα

（19.1） 其中，前两个方程是行为方程，第三个方程表示国内生产总值在假定进出口平衡的情况下，由居民消费、投资和政府消费共同决定，是一个衡等方程，也称为定义方程。这就是一个简单的描述宏观经济的联立方程模型。在联立方程模型中，对于其中每个方程，其变量仍然有被解释变量与解释变量之分。但是对于模型系统而言，已经不能用被解释变量与解释变量来划分变量。对于同一个变量，在这个方程中作为被解释变量，在另一个方程中则可能作为解释变量。对于联立方程系统而言，将变量分为内生变量和外生变量两大类，外生变量与滞后内生变量又被统称为前定变量。一般的联立方程系统形式是：

t t t x y f εβ=),,( (19.2)

这里t y 是一个内生变量向量，t x 是外生变量向量，t ε可以是序列相关的扰动项向量。估计的任务是

寻找参数向量β的估计量。

EViews 提供了估计系统参数的两类方法。一类方法是使用前面讲过的单方程法对系统中的每个方程分别进行估计。第二类方法是同时估计系统方程中的所有参数，这种同步方法允许对相关方程的系数进行约束并且使用能解决不同方程残差相关的方法。这里，应该区分系统和模型的差别。模型是一组描述内生变量关系的已知方程组，给定了模型中外生变量的值可以使用模型对内生变量求值。

§19.2 系统估计方法

下面的讨论是以线性方程的组成的平衡系统为对象的，但是这些分析也适合于包含非线性方程的非平衡系统。若一个系统，含有M 个方程，用分块矩阵形式表示如下：

⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡M M

M M X X X y y y εεεβββ 2121212

1000000 (19.3) 这里y m 是T 维向量，X m 是T ×k m 矩阵，β

m 是k m 维的系数向量，误差项ε的协方差矩阵是MT ×MT

的方阵V 。我们简单的将其表示为： εβ+=X y (19.4)

在标准假设下，系统残差的协方差阵为：

T M I I E V ⊗==2

)'(σεε (19.5) 式中算子⊗表示克罗内克积(Kronecker Product)，简称叉积，还有一些的残差方差的结构不满足标准假设。首先，不同方程的残差可能是异方差的；其次，他们除了异方差还可能是同期相关的。我们可以定义不同的M ×M 的同期相关矩阵∑来对这两种情况进行区分，∑的第i 行第j 列的元素是)(jt it ij E εεσ=，

对所有t 都成立。如果残差是同期不相关的，若i ≠j ,则0=ij σ，V 可以写成：

T M I diag V ⊗=),,,(2

2221σσσ (19.6)

更一般的，如果残差是异方差且同期相关的，则V 可以写成： T I V ⊗∑= (19.7)

最后，最一般的情况是存在异方差、同期相关的同时，残差是自相关的，残差的方差矩阵应写成：

⎥⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡ΩΩΩΩΩΩΩΩΩ=MM MM M M M M M M M M V σσσσσσσσσ

221122222221211112121111 (19.8) 这里，ij Ω是第i 个方程和第j 个方程的自相关矩阵。系统中方程可以是线性的也可以是非线性的，

还可以包含自回归误差项。下面是各种估计方法。

一、普通最小二乘法（Ordinary Least Squares , LS ）

这种方法是在联立方程中服从关于系统参数的约束条件的情况下，使每个方程的残差平方和最小。如果没有这样的参数约束，这种方法和使用单方程普通最小二乘法估计每个方程式一样的。

二、加权最小二乘法(Weighted Least Squares , WLS)

这种方法通过使加权的残差平方和最小来解决联立方程的异方差性，方程的权重是被估计的方程的方差的倒数，来自未加权的系统参数的估计值。如果方程组没有联立约束（参数、异方差），该方法与未加权单方程最小二乘法产生相同的结果。

三、似乎不相关回归(Seemingly Unrelated Regression , SUR)

该方法也称作多元回归法或Zellner 法，既考虑到异方差性也考虑到不同方程的误差项的相关性。对联立方程协方差阵的估计是建立在对未加权系统的参数估计基础上的。注意到因为EV iews 考虑了联立方程间的约束，所以可以估计更为广泛的形式。

四、二阶段最小二乘法(Two-Stage Least Squares , TSLS)

系统二阶段最小二乘法方法（STSLS ）是前面描述的单方程二阶段最小二乘估计的系统形式。当方程右边变量与误差项相关，但既不存在异方差，误差项之间又不相关时，STSLS 是一种比较合适的方法。EViews 在实施联立方程约束同时，对未加权系统的每个方程进行二阶段最小二乘估计，如果没有联立方程的约束，得到的结果与未加权单方程的最小二乘（TSLS ）结果相同。

五、加权二阶段最小二乘法(Weighted Two-Stage Least Squares , WTSLS)

该方法是加权最小二乘法的二阶段方法。当方程右边变量与误差项相关并且存在异方差但误差项之间不相关时，W2LS 是一种比较合适的方法。EViews 首先对未加权系统进行二阶段最小二乘，根据估计出来的方程的方差求出方程的权重，如果没有联立方程的约束，得到的一阶段的结果与未加权单方程的最小二乘结果相同。

六、三阶段最小二乘法(Three-Stage Least Squares , 3SLS)

3SLS 是SUR 的二阶段最小二乘。当方程右边变量与误差项相关并且存在异方差，同时残差项相关时，3LSL 是有效方法。EViews 对未加权系统进行二阶段最小二乘，并实施任何联立方程参数的约束。得到的估计结果被用来形成完全联立方程的协方差矩阵估计，用估计的协差矩阵转换方程，以消除联立方程误差项之间的相关。最后TSLS 被用于转换后的模型。

七、完全信息极大似然法(Full Information Maximum Likelihood , FIML)

在同期误差项假定为联合正态分布的情况下，FIML 估计出似然函数，如果似然函数能准确的描述，