医药高等数学试卷及答案

中医学院20-20学年第一学期《医药高等数学》课程
期末考试卷
命题教师： 试卷编号： 审核人：
适用专业 考试班级
考生姓名 学号 班级
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分。

在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求
的，把正确选项填在括号内。

1、=+-+-++∞→1
13)2(3)2(lim n n n
n n （ ）。

A 、
31 B 、 3
2
C 、 1
D 、 和n 取值有关 2、当1→x 时，（ ）是x -1的高阶无穷小。

A 、2
3
)1(x - B 、
x
x
+-11 C 、)1(2x - D 、1-x 3、⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0
,9,
0,sin )(x x x Ax x f 在x =0处连续，则A =（ ）。

A 、 0
B 、 -6
C 、 -9
D 、 9
4、0=x 是函数x
x
x f sin )(=的（ ）。

A 、不是间断点
B 、无穷间断点
C 、跳跃间断点
D 、可去间断点 5、若函数)4)(3)(2)(1()(----=x x x x x f ，则方程0)('=x f 的实根个数（ ）。

A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 6、下列等式中正确的是（ ）。

A 、 d ⎰=)()(x f dx x f
B 、 d ⎰=dx x f dx x f )()(
C 、
⎰=dx x f dx x f dx d )()( D 、 ⎰+=c x f dx x f dx
d
)()(
7、满足0),(0),(00'00'==y x f y x f y x 且的点),(00y x 一定是（ ）。

A 、 驻点
B 、极值点
C 、最大值点
D 、最小值点
8、σσd y x I d y x I D
D
2
21)][ln( , )ln(⎰⎰⎰⎰+=+=，其中D 是矩形闭区域53≤≤x ，
10≤≤y ，则1I 与2I 之间的关系（ ）。

A 、21I I ≤ B 、21I I ≥ C 、21I I = D 、无法比较
二、填空题：本大题共7小题，每小题2分，共14分。

把
答案填在题中横线上。

9、=+-+→)
1ln(1sin lim 0x x e x x ；
10、若x x y +=
，则='y ；
11、曲线3442
-+=x x y 在1-=x 处的切线方程 ；
12、曲线3
)3(1
+=
x y 的渐近线方程是 ；
13、
=-+→1
1lim
)
0,0(),(xy xy
y x ；
14、已知x
y
z arctan =，则=∂∂+
∂∂y z x z ； 15、更改二次积分的次序：=+⎰⎰⎰⎰
-30
10
2
3
40
2
),(),(y dx y x f dy dx y x f dy ；
三、解答题：本大题共7小题，共50分。

其中第18小题8分，其余6题各7分。

16、求极限x x x
k
)1(lim +∞→。

17、求不定积分⎰
+x
dx
1。

18、求定积分⎰20
2cos π
xdx e x 。

19、求函数22)(4y x y x z ---=的极值。

20、计算⎰⎰
D
dxdy y
y
sin ，D ：2,y x x y ==围成的区域。

21、计算无穷积分⎰+∞
-02
dx e x 的值。

22、求解微分方程
x e y dx
dy
-=+。

四、应用题：本大题共1小题，共12分。

23、销售某医疗器械需作两种方式的广告宣传，当两种广告费分别为x 和y 时，利润函数为351040580),(++++=
y
y
x x y x f （单位：百万元），如两种广告费拟用25（百万元），此时应如何分配两种广告费用，得到的利润最大？最大利润为多少？
中医学院20-20学年第一学期《医药高等数学》课程
期末考试卷参考答案及评分标准
命题教师：试卷编号：审核人：
适用专业考试班级
3分，共24分。

4、D M.18-20
6、B M.66-68
7、7、A F.138-151
8、A F.158-161
二、填空题：本大题共7小题，每小题2分，共14分。

把
答案填在题中横线上。

9、2 M.51-53 10、
x
x
x
x
y
+
⋅
+
=
4
2
1
'M. 35-37 11、0
7
4=
+
+x
y M.26-29 12、3
,0-
=
=x
y M.59-6113、2 F.137-13814、
2
2y
x
y
x
+
-
M.145-148
15
、-
142
)
,
(
x
dy
y
x
f
dx M.161-167
三、解答题：本大题共7小题，共50分。

其中第18小题8
分，其余6题各7分。

16、解
k
k
x
x
x
x x
k
x
k
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
=
+
∞
→
∞
→
)
1(
lim
)
1(
lim (5)
k
e
=………………2 M.16-18
17、解设tdt
dx
t
x2
,2=
= (2)
⎰
+x
dx
1
=⎰
⎰
+
-
+
=
+t
t
t
tdt
1
1
1
2
1
2
(2)
[]c
t
t+
+
-
=1
ln
2 (2)
[]c
x
x+
+
-
=1
ln
2………………1 M.70-77
18、解x
d
e
xdx
e x
x sin
cos2
2
2
2⎰
⎰=π
π
(1)
dx xe x e x e x x
x
⎰-+=20
2202202cos 4cos 2sin π
ππ
(5)
所以2cos 5
20
2-=⎰
ππ
e xdx e x (1)
得 5
2
cos 202-=⎰ππ
e xdx e x
………………1 M.94-96
19、解 令024,024''
=--==-=y z x z y x 得2,2-==y x ..................3 2''-==xx z A ，0''==xy z B ，2''-==yy z C (2)
042>=-B AC ,故有极值，02'
'<-==xx
z A ，所以在驻点)22(-处有极大值8。

………2 M.150-153
20、解 ⎰⎰⎰⎰=102sin sin y y D
dx dy y y dxdy y y
………………3 =()⎰⎰
-=-101
02sin sin )(sin dy y y y dy y y y y
………………2 ⎰⎰-=1
10
sin sin ydy y ydy (1)
1sin 1-=………………1 M.161-171,F.167-171
21、 解 记⎰+∞
-=0
2
dx e I x ,因为⎰+∞
-0
2
dx e x ⎰+∞
-=0
2
dy e y (1)
则dxdy e dy e dx e I y x
y x ⎰⎰
⎰
⎰+∞
+∞
+∞
+--+∞
-=⋅=0
)
(0
222
2
2
(3)
令θθsin ,cos r y r x ==，4
2
)
(2
22π
θπ
=
=⎰⎰⎰⎰
∞
+-∞
+∞
++-rdr e d dxdy e
r y x (2)
所以2
2
π
=
=⎰
∞
+-dx e I x ………………1 F.161-171
22、解 先解齐次方程
0=+y dx
dy
.........1分离变量dx y dy -=两边积分x ce y -= (1)
常数变异法x e x c y -=)(（1）两边求导 x x e x c e x c y ---=)()('' ..................2 代入原方程x x x x e e x c e x c e x c ----=+-)()()(' (2)
得1)('=x c ，两边积分得c x x c +=)('代入到（1）式得通解x e c x y -+=)(………1 M.190-198
四、应用题：本大题共1小题，共12分。

解：当两种广告费分别为x 和y 时，根据题意25=+y x ………………1 设)25(351040580),,(-++++++=
y x y
y
x x y x L λλ………………3 则令0,0''==y x L L ，联立25=+y x ………………4 解得10,15==y x ………………2 代入到351040580),(++++=
y
y
x x y x f ，可得最大利润为115百万元。

(2)
M.150-153；L.153-154。