江苏省南通市通州区2021届高三第一次诊断测试数学试卷含答案
江苏省南通市通州区2025届高三上学期第一次质量监测数学试卷(含答案)
江苏省南通市通州区2025届高三上学期第一次质量监测数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A ={1,3,5,7}，B ={x|−x 2+4x ≥0}，则A ∩B =( )A. [1,3]B. [5,7]C. {1,3}D. {5,7}2.设函数f(x)={log 2 (2−x),x <1,2x−1,x⩾1,则f(−2)+f(log 210)=( )A. 4B. 5C. 6D. 73.“ln x >ln y ”是“ x >y ”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.当阳光射入海水后，海水中的光照强度随着深度增加而减弱，可用I D =I 0e −KD 表示其总衰减规律，其中K 是消光系数，D(单位：米)是海水深度，I D (单位：坎德拉)和I 0(单位：坎德拉)分别表示在深度D 处和海面的光强.已知某海域5米深处的光强是海面光强的40%，则该海域消光系数K 的值约为( ) (参考数据：ln 2≈0.7，ln5≈1.6)A. 0.2B. 0.18C. 0.1D. 0.145.函数y =f(x)的图象如图1所示，则如图2所示的函数图象所对应的函数解析式可能为( )A. y =f(1−12x)B. y =−f(1−12x)C. y =f(4−2x)D. y =−f(4−2x)6.今年暑期档，全国各大院线推出多部精彩影片，其中比较热门的有《异形：夺命舰》，《名侦探柯南》，《抓娃娃》，《逆行人生》，《姥姥的外孙》这5部，小明和小华两位同学准备从这5部影片中各选2部观看，若两人所选的影片至多有一部相同，且小明一定选看《名侦探柯南》，则两位同学不同的观影方案种数为( )A. 12B. 24C. 28D. 367.已知x >0，y >0，x +y =1，则12x +xy +1的最小值为( )A. 54B. 43C. 1D.228.若函数f(x)=e 2x4−axe x 有两个极值点，则实数a 的取值范围是( )A. (−∞,−12)B. (−12,0)C. (12,+∞)D. (0,12)二、多选题：本题共3小题，共15分。
2021届江苏省南通市高三第一次教学质量调研考试数学试题Word版含答案
2021届江苏省南通市高三第一次教学质量调研考试数学试，一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共计70分.不需要写出解答过程，清将答案填写在等呼下 相应的位置上.)1 .已知集合 A={x|-1 vxv3} , B= { - L 0, 1, 2, 3},则 A 「| B=.2 .已知复数z 满足(l + i)z =3 —i (其中i 为虚数单位)，则复数z 的模为. 3 .双曲线下一丁 二 1的顶点到渐近线的距离为.4 54 . 口袋中有形状和大小完全相同的4个小球，球的编号分别为1, 2, 3, 4,若从袋中一次性摸出2个球, 则摸出的两个球编号之和为奇数的概率为.5 .函数/*) = J ； — log4(x — l)的定义域为.|x + 2|,-2<x<0八 c c ，贝4/(/(17))-tan ——,0< x< 24的值为.7 .设函数/。
)=碗(5・+ 土)(2>0)，若f(x)< /(£)对任意的实数X 都成立，则出的最小值为8 4v <n8 .己知函数/(x)=,则不等式/(制>一1+ 1的解集为 ________lgM x>09 .设aeR,函数/(x) = 3f —为奇函数，则函数/(X)的极大值为10・ 已知 sin(a - £)=金，0 < a < 三，则 cos(a + 二)= 6 5 2 12 11 .已知Iog2〃 + log2^ = 2,则2"+2,的最小值为 12 .如图，在△ABC 中，D 为AC 的中点，BC±BD, BC=2, 则B A B C=.13 .在锐角AABC 中，设角A, B, C 的对边分别为a, 6, c ,若」的取值范围为14 .定义在 R 上的函数 “X), »(X), /7(x),若对 Vx £R,点(主，h(x) ) > (x 9 g(x))关于点(x , f (x))对称，则称函数〃(x)是函数g(x)关于函数/‘(X)的"对称函数”.已知函数/z(x)是函数 g(X)=。
高考数学专题03 充分、必要、充要问题的研究(解析版)
专题03 充分、必要、充要问题的研究一、题型选讲题型一 、充分、不要条件的判断充分、必要条件的三种判断方法：〔1〕定义法：直接判断“假设p 那么q 〞、“假设q 那么p 〞的真假．并注意和图示相结合，例如“p⇒q 〞为真，那么p 是q 的充分条件．〔2〕等价法：利用p⇒q 与非q⇒非p ，q⇒p 与非p⇒非q ，p⇔q 与非q⇔非p 的等价关系，对于条件或结论是否认式的命题，一般运用等价法．〔3〕集合法：假设A⊆B ，那么A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；假设A ＝B ，那么A 是B 的充要条件． 例1、【2021年高考天津】设a ∈R ，那么“1a >〞是“2a a >〞的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】首先求解二次不等式，然后结合不等式的解集即可确定充分性和必要性是否成立即可. 求解二次不等式2a a >可得：1a >或0a <， 据此可知：1a >是2a a >的充分不必要条件. 应选A ．1-1、【2021年高考天津理数】设x ∈R ，那么“250x x -<〞是“|1|1x -<〞的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】由250x x -<可得05x <<，由|1|1x -<可得02x <<， 易知由05x <<推不出02x <<， 由02x <<能推出05x <<，故05x <<是02x <<的必要而不充分条件， 即“250x x -<〞是“|1|1x -<〞的必要而不充分条件. 应选B.1-2、〔2021届浙江省台州市温岭中学3月模拟〕,x y 是非零实数，那么“x y >〞是“11x y<〞的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】D 【解析】 因为11x y <,所以00x y x y xy xy >⎧->⇒⎨>⎩或0x y xy <⎧⎨<⎩ ,所以x y >是“11x y <〞的既不充分也不必要条件,选D 1-3、〔2021·浙江省温州市新力量联盟高三上期末〕0a >且1a ≠，那么“()log 1a a b ->〞是“()10a b -⋅<〞成立的〔 〕 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由()log 1a a b ->当1a >时，a b a ->得0b <，推出()10a b -<， 当01a <<时，0a b a <-<得0b >，推出()10a b -<， 那么()log 1a a b ->是()10a b -<的充分条件，但当()10a b -<时不一定能推出()log 1a a b ->〔比方：01a <<，1b >，这时0a b -<无意义〕 那么()log 1a a b ->是()10a b -<的不必要条件， 应选：A.1-4、〔2021届浙江省温丽联盟高三第一次联考〕m 为非零实数，那么“11m＜-〞是“1m ＞-〞的〔 〕 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】由11m <-，得10m m +<，解得10m -<<，故“11m<-〞是“1m >-〞的充分不必要条件.应选A.例2、【2021年高考浙江】空间中不过同一点的三条直线l ，m ，n ．“l ，m ，n 共面〞是“l ，m ，n 两两相交〞的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】将两个条件相互推导，根据能否推导的结果判断充分必要条件. 依题意，,,m n l 是空间不过同一点的三条直线，当,,m n l 在同一平面时，可能////m n l ，故不能得出,,m n l 两两相交.当,,m n l 两两相交时，设,,m n A m l B n l C ⋂=⋂=⋂=，根据公理2可知,m n 确定一个平面α，而,B m C n αα∈⊂∈⊂，根据公理1可知，直线BC 即l α⊂，所以,,m n l 在同一平面.综上所述，“,,m n l 在同一平面〞是“,,m n l 两两相交〞的必要不充分条件. 应选B.2-1、〔2021·浙江学军中学高三3月月考〕直线a ，b 分别在两个不同的平面α，β内.那么“直线a 和直线b 相交〞是“平面α和平面β相交〞的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当“直线a 和直线b 相交〞时，平面α和平面β必有公共点，即平面α和平面β相交，充分性成立； 当“平面α和平面β相交〞，那么 “直线a 和直线b 可以没有公共点〞，即必要性不成立. 应选A.例3、【2021年高考北京】,αβ∈R ，那么“存在k ∈Z 使得π(1)k k αβ=+-〞是“sin sin αβ=〞的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】(1)当存在k ∈Z 使得π(1)k k αβ=+-时， 假设k 为偶数，那么()sin sin πsin k αββ=+=；假设k 为奇数，那么()()()sin sin πsin 1ππsin πsin k k αββββ=-=-+-=-=⎡⎤⎣⎦；(2)当sin sin αβ=时，2πm αβ=+或π2πm αβ+=+，m ∈Z ，即()()π12kk k m αβ=+-=或()()π121kk k m αβ=+-=+，亦即存在k ∈Z 使得π(1)k k αβ=+-．所以，“存在k ∈Z 使得π(1)k k αβ=+-〞是“sin sin αβ=〞的充要条件. 应选C ．3-1、〔2021届浙江省宁波市余姚中学高考模拟〕在ABC ∆中，“tan tan 1B C >〞是“ABC ∆为钝角三角形〞的〔 〕A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由题意可得，在ABC ∆中，因为tan tan 1A B >， 所以sin sin 1cos cos A BA B>，因为0,0A B ππ<<<<，所以sin sin 0A B >，cos cos 0A B >，结合三角形内角的条件，故A,B 同为锐角，因为sin sin cos cos A B A B >， 所以cos cos sin sin 0A B A B -<，即cos()0A B +<，所以2A B ππ<+<，因此02C <<π，所以ABC ∆是锐角三角形，不是钝角三角形，所以充分性不满足，反之，假设ABC ∆是钝角三角形，也推不出“tan tan 1B C >，故必要性不成立， 所以为既不充分也不必要条件，应选D.3-2、〔2021·浙江温州中学3月高考模拟〕“”αβ≠是”cos cos αβ≠的〔 〕 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】cos cos αβαβ=⇒=所以cos cos αβαβ≠⇒≠ 〔逆否命题〕必要性成立当cos cos αβαβ=-⇒=，不充分 故是必要不充分条件，答案选B3-3、〔江苏省南通市通州区2021-2021学年高三第一次调研抽测〕将函数()sin 4f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移ϕ个单位，得到函数y g x =（）的图象.那么“34πϕ=〞是“函数()g x 为偶函数〞的________条件，〔从“充分不必要〞、“必要不充分〞、“充要〞和“既不充分也不必要〞中选填一个〕 【答案】充分不必要【解析】由题意，将函数()sin 4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移ϕ个单位，可得sin 4（）=πϕ⎛⎫+- ⎪⎝⎭gx x 的图像， 当34πϕ=时，可得3sin sin cos 442（）=πππ⎛⎫⎛⎫+-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭gx x x x ，显然()g x 为偶函数，所以“34πϕ=〞是“函数()g x 为偶函数〞的充分条件； 假设函数()g x 为偶函数，那么,42ππϕπ-=+∈k k Z ，即,4πϕπ=--∈k k Z ，不能推出34πϕ=， 所以“34πϕ=〞不是“函数()g x 为偶函数〞的必要条件， 因此“34πϕ=〞是“函数()g x 为偶函数〞的充分不必要条件.故答案为：充分不必要例4、【2021年高考北京理数】设点A ，B ，C 不共线，那么“AB 与AC 的夹角为锐角〞是“||||AB AC BC +>〞的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】∵A ､B ､C 三点不共线，∴|AB +AC |>|BC |⇔|AB +AC |>|AC -AB | ⇔|AB +AC |2>|AC -AB |2AB ⇔·AC >0AB ⇔与AC 的夹角为锐角，故“AB 与AC 的夹角为锐角〞是“|AB +AC |>|BC |〞的充分必要条件. 应选C.4-1、〔2021届山东省日照市高三上期末联考〕设,a b 是非零向量，那么2a b =是a abb =成立的〔 〕A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分又不必要条件【答案】B 【解析】由2a b =可知：a b ， 方向相同，a ba b ， 表示 a b ， 方向上的单位向量所以a b a b=成立;反之不成立. 应选B例5、〔2021届浙江省嘉兴市高三5月模拟〕,R a b ∈，那么“1a =〞是“直线10ax y +-=和直线2(2)10x a y +--=垂直〞的〔 〕A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】直线10ax y +-=和直线2(2)10x a y +--=垂直，那么()220a a +-=，解得2a =-或1a =，所以，由“1a =〞可以推出“直线10ax y +-=和直线2(2)10x a y +--=垂直〞， 由 “直线10ax y +-=和直线2(2)10x a y +--=垂直〞不能推出“1a =〞，故“1a =〞是“直线10ax y +-=和直线2(2)10x a y +--=垂直〞的充分不必要条件， 应选：A.5-1、〔2021·浙江温州中学高三3月月考〕“直线()1330m x y +-+=与直线220x my -+=平行〞的充要条件是m =〔 〕 A ．-3 B ．2C ．-3或2D ．3或2【答案】A【解析】当0m =或1m =-时，显然直线不平行， 由132m m+=，解得：3m =-或2m =， 3m =-时，直线分别为：2330x y --+=和2320x y ++=，平行， 2m =时，直线分别为：3330x y -+=和2220x y -+=，重合，故3m =-， 应选：A ．例6、〔2021届浙江省宁波市鄞州中学高三下期初〕等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，那么“10a >〞是“990S >〞的〔 〕A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】设等比数列{}n a 公比为q ，当1q =时，19910990a S a >⇔=>，当1q ≠时，999999111,011q q S a q q --=⋅>--， 19900a S >⇔>∴，所以“10a >〞是“990S >〞的充要条件. 应选:C.6-1、〔2021·浙江高三〕等差数列{a n }的公差为d ，a 1≠0，S n 为数列{a n }的前n 项和，那么“d ＝0〞是“2nnS S ∈Z 〞的〔 〕 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】等差数列{a n }的公差为d ，a 1≠0，S n 为数列{a n }的前n 项和，假设d ＝0，那么{a n }为常数列，故a n =1a ， 即2112,n n S na S na ==⇒“2nnS S ∈Z 〞，当2nnS S ∈Z 时，d 不一定为0， 例如，数列1，3，5，7，9，11中，631357911135S S +++++==++4，d ＝2， 故d ＝0是2nnS S ∈Z 的充分不必要条件． 应选：A ．题型二、根据充分、必要条件判断含参的问题解决此类问题要注意以下两点：〔1〕把充分、不要条件转化为集合之间的关系；〔2〕根据集合之间的关系列出关于参数的不等式。
北京市通州区2021届高三数学第一次模拟考试试题含解析
市通州区2021届高三数学第一次模拟考试试题（含解析）一、选择题（共10小题）.1．已知集合A＝{﹣2，﹣1，0，1}，B＝{x|x＞﹣1}，则A∩B＝（）A．{﹣2，﹣1}B．{0，1} C．{﹣1，0，1} D．{﹣2，﹣1，0，1}2．已知（2+x）5＝a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则a3＝（）A．10B．20C．40D．803．下列函数中，是偶函数且值域为[0，+∞）的是（）A．f（x）＝x2﹣1B．f（x）＝C．f（x）＝log2x D．f（x）＝|x|4．某三棱柱的三视图如图所示，已知网格纸上小正方形的边长为1，则该三棱柱的体积为（）A．B．C．4D．85．已知等比数列{a n}的公比q＝﹣2，前6项和S6＝21，则a6＝（）A．﹣32B．﹣16C．16D．326．已知在圆（x﹣1）2+y2＝r2上到直线x﹣y+3＝0的距离为的点恰有一个，则r＝（）A．B．C．2D．7．已知a，b，c∈R，则“a＞b”的一个充分而不必要条件是（）A．a2＞b2B．a3＞b3C．2a＞2b D．ac2＞bc28．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，）的图象如图所示，则（）A．函数f（x）的最小正周期是2πB．函数f（x）在区间上单调递减C．函数f（x）在区间上的最小值是﹣1D．曲线关于直线对称9．已知点P是抛物线y2＝2px（p＞0）上一点，且点P到点A（0，﹣2）的距离与到y轴的距离之和的最小值为，则p＝（）A．B．4C．D．10．著名数学家、物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为θ1℃，空气温度为θ0℃，则tmin后物体的温度θ（单位：℃）满足：θ＝θ0+（θ1﹣θ0）e﹣kt（其中k为常数，e⋯）．现有某物体放在20℃的空气中冷却，2min后测得物体的温度为52℃，再经过6min后物体的温度冷却到24℃，则该物体初始温度是（）A．80℃B．82℃C．84℃D．86℃二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
江苏省南通市通州区、如东县2025届高三上学期期中联考数学
2024-2025学年（上）高三年级期中质量监测数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上指定位置上，在其他位置作答一律无效。
3.本卷满分为150分，考试时间为120分钟。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设，，则在复平面内对应的点位于（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.若集合，，则（ ）A. B. C. D. 3.已知向量，满足，，，则（ ）A.2B. C.4 D.164.已知是定义在上的奇函数，当时，，若在上单调递减，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 5.从5名男生和3名女生中选出4人参加一项创新大赛.如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内，那么不同的选法种数为（ ）A.15B.40C.55D.706.一个正四棱台油槽可以装汽油190L （1L=1000cm 3），若它的上、下底面边长分别为60cm 和40cm ，则它的深度为（ ）A.25cmB.75cmC.100cmD.150cm 7.当时，函数与的图象有4个交点，则的值为（ ）A.1B.2C.3D.48.已知函数的定义域为，且，当时，，则112i z =+2i z =12z z {}1,0,1,2A =-02x B xx ⎧⎫=≥⎨⎬-⎩⎭A B = {}1,0-{}0,1{}1,2{}1,0,1-a b 1a = 3b = (a b += a b -= ()f x R 0x <()21f x x ax =-++()f x ()0,1a (],2-∞-[)2,-+∞(],1-∞-[)1,-+∞[]0,2πx ∈sin y x =()()π2sin 6f x x ωω+⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭N ω()f x R ()()62f x f x +=(]0,6x ∈()24f x x x =-()21k f k ==∑（ ）A.-7B.25C.57D.102二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。
2021届江苏省南通市通州区高三上学期一诊考试数学试卷及答案
2021届江苏省南通市通州区高三上学期一诊考试数学试卷★祝考试顺利★(含答案)一、单项选择题（本大题共8小题,每小题5分,共计40分．在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的,请把答案添涂在答题卡相应位置上）1．函数()f x =的定义域为 A ．[1,3] B ．(1,3] C ．(-∞,1) D ．[3,+∞)2．已知a ,b ,c ,d ∈R,则下列命题正确的是A ．若a ＞b ,n N *∈,则n n a b >B ．若a ＞b ,c ＜d ,则a ﹣c ＞b ﹣dC ．若a ＞b ,c ＞d ,则ac ＞bdD ．若a ＞b ,则11a b< 3．集合M ＝8N N 1y y x y x ⎧⎫=∈∈⎨⎬+⎩⎭，，的非空子集个数是 A ．3 B ．7 C ．15 D ．314．已知131()2a -=,13log 2b =,121()3c =,则a ,b ,c 的大小关系是 A ．a ＜b ＜c B ．b ＜a ＜c C ．c ＜a ＜b D ．b ＜c ＜a5．函数1()()cos f x x x x=-在其定义域上的图像大致是6．函数1()ln 2f x x x x=--的单调减区间为A ．(1,+∞)B ．(0,1)C ．(12-,1)D ．(-∞,12-)和(1,+∞) 7．某种物体放在空气中冷却,如果原来的温度是1θ℃,空气的温度是0θ℃,那么t min 后物体的温度θ(单位：℃)满足：0.2010()e t θθθθ-=+-．若将物体放在15℃的空气中从62℃分别冷却到45℃和30℃所用时间为1t ,2t ,则21t t -的值为（取ln2＝0.7,e=2.718…）A ．72-B ．27-C ．72D ．278．已知函数()ln a f x x x =+,∀m ,n ∈[1,2],m ≠n 时,都有(1)(1)0f m f n m n+-+>-,则实数a 的取值范围是A ．(-∞,1)B ．(-∞,1]C ．(-∞,2)D ．(-∞,2]二、 多项选择题（本大题共4小题,每小题5分, 共计20分．在每小题给出的四个选项中,至少有两个是符合题目要求的,请把答案添涂在答题卡相应位置上）9．下列命题正确的是A.“a ＞1”是“a 2＞1”的充分不必要条件B ．“M＞N”是“lgM＞lgN”的必要不充分条件C ．命题“∀x ∈R,x 2＋1＜0”的否定是“∃x ∈R,使得x 2＋1＜0”D ．设函数()f x 的导数为()f x ',则“()f x '＝0”是“()f x 在0x x =处取得极值”的充要条件10．设a ＞b ＞0,则下列不等式一定成立的是A ．0a b b a -<B ．20201a b ->C ．2ab a b<+．b a a b > 11．定义在R 上的奇函数()f x 满足(1)(1)f x f x -=+,则A ．函数()f x 的图象关于原点对称B ．函数()f x 的图象关于直线x ＝1对称C ．函数()f x 是周期函数且对于任意x ∈R,(2)()f x f x +=成立D ．当x ∈(0,1]时,()e 1x f x =-,则函数()f x 在区间[1＋4k ,3＋4k ](k ∈Z)上单调递减（其中。
第52讲 椭圆的几何性质(原卷版)2021届新课改地区高三数学一轮专题复习
第 52 讲 椭圆的几何性质
一、课程标准
1、掌握椭圆的性质，能够正确求出椭圆的性质
2、掌握求椭圆的离心率的值以及离心率的范围
3、掌握直线与椭圆的位置关系
二、基础知识回顾
1、 椭圆的标准方程和几何性质 标准方程
x2＋y2＝1(a＞b＞0) a2 b2
x2＋y2＝1(a＞b＞0) b2 a2
|F1F2|＝2c
e＝c， a
e∈(0,1)
c2＝a2－b2
2、焦半径：椭圆上的点 P(x0，y0)与左(下)焦点 F1 与右(上)焦点 F2 之间的线段的长度叫做椭圆的焦半径，分
别记作 r1＝|PF1|，r2＝|PF2|. (1)ax22＋by22＝1(a＞b＞0)，r1＝a＋ex0，r2＝a－ex0； (2)ay22＋bx22＝1(a＞b＞0)，r1＝a＋ey0，r2＝a－ey0； (3)焦半径中以长轴为端点的焦半径最大和最小(近日点与远日点)．
五、优化提升与真题演练
1、（江苏省南通市通州区
2019-2020
学年高三第一次调研抽测）设
A，B
分别为椭圆
C：
x a
2 2
y2 b2
1(a＞b
＞0)的右顶点和上顶点，已知椭圆 C 过点 P(2，1)，当线段 AB 长最小时椭圆 C 的离心率为_______.
2、【2019
年全国Ⅲ卷】设
F1，F2
为椭圆
三、自主热身、归纳总结
1、直线 y＝kx－k＋1(k 为实数)与椭圆x2＋y2＝1 的位置关系为(
)
94
A. 相交
B. 相切
C. 相离
D. 相交、相切、相离都有可能
江苏省南通市通州区、海安县2025届高考仿真卷数学试卷含解析
江苏省南通市通州区、海安县2025届高考仿真卷数学试卷请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。
写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若[]1,6a ∈，则函数2x ay x+=在区间[)2,+∞内单调递增的概率是（ ）A ．45 B ．35 C ．25 D ．152．设1F ，2F 分别为双曲线22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，过点1F 作圆222x y b += 的切线与双曲线的左支交于点P ，若212PF PF =，则双曲线的离心率为（ ） A ．2B ．3C ．5D ．63．一个正三棱柱的正（主）视图如图，则该正三棱柱的侧面积是（ ）A ．16B ．12C ．8D ．64．已知3ln 3a =，1b e -=，3ln 28c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b c a >>D ．b a c >>5．从某市的中学生中随机调查了部分男生，获得了他们的身高数据，整理得到如下频率分布直方图：根据频率分布直方图，可知这部分男生的身高的中位数的估计值为 A ．171.25cm B ．172.75cm C ．173.75cmD ．175cm6．设12,F F 分别是双线2221(0)x y a a-=>的左、右焦点，O 为坐标原点，以12F F 为直径的圆与该双曲线的两条渐近线分别交于,A B 两点（,A B 位于y 轴右侧），且四边形2OAF B 为菱形，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A ．0x y ±= B ．30x y ±=C ．30x y ±=D ．30x y ±=7．函数()1sin f x x x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭(x ππ-≤≤且0)x ≠的图象是（ ） A ． B ．C ．D ．8．i 是虚数单位，若17(,)2ia bi ab R i+=+∈-，则乘积ab 的值是( ) A ．－15 B ．－3C ．3D ．159．已知数列满足：.若正整数使得成立，则( ) A ．16B ．17C ．18D ．1910．设集合{}1,2,3A =，{}220B x x x m =-+=，若{3}A B ⋂=，则B =（ ）A ．{}1,3-B ．{}2,3-C ．{}1,2,3--D ．{}311．下列图形中，不是三棱柱展开图的是（ ）A ．B ．C ．D ．12．已知集合{}2,1,0,1A =--，{}22*|,B x x a a N =≤∈，若A B ⊆，则a 的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021届江苏省南通市通州区高三上学期9月第一次诊断测试数学试题(解析版)
2021届江苏省南通市通州区高三上学期9月第一次诊断测试数学试题一、单选题1．函数()f x =的定义域为（ ） A ．[1,3] B ．(1,3]C ．(,1)-∞D ．[3,)+∞【答案】B【解析】根据函数解析式求定义域即可. 【详解】由()f x 解析式知：3010x x -≥⎧⎨->⎩，解之得：13x <≤，故选：B 【点睛】本题考查了具体函数的定义域求法，属于简单题. 2．已知,,,a b c d R ∈，则下列命题正确的是（ ） A ．若,a N b n *>∈，则n n a b > B ．若,a b c d ><，则a c b d ->- C ．若,a b c d >>，则ac bd > D ．若a b >，则11a b< 【答案】B【解析】利用不等式的性质，结合特殊值法即可判断选项的正误. 【详解】A 选项，22(1)(2)-<-，故A 错误；B 选项，,a b c d ><有,a b c d >->-，即有a c b d ->-，故B 正确；C 选项，1,0,1,2a b c d ===-=-，ac bd <，故C 错误；D 选项，0a b >>时不等式不成立，故D 错误； 故选：B 【点睛】本题考查了不等关系的判断，结合不等式性质、特殊值法等知识的应用，属于简单题.3．集合M =8,,1y y x N y N x ⎧⎫=∈∈⎨⎬+⎩⎭的非空子集个数是（ ）A ．3B ．7C ．15D ．31【答案】C【解析】根据集合描述求集合，由集合中元素的个数即可求非空子集个数. 【详解】 由M =8,,1y y x N y N x ⎧⎫=∈∈⎨⎬+⎩⎭知：{1,2,4,8}M = ∴非空子集个数为：42115-=， 故选：C 【点睛】本题考查了集合中子集个数，利用已知集合求其元素的个数，进而确定非空子集的个数，属于简单题.4．已知131()2a -=，13log 2b =，121()3c =，则,,a b c 的大小关系是（ ）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c a b <<D ．b c a <<【答案】D【解析】根据对数、指数的性质比较大小即可. 【详解】131()12a -=>，13log 20b =<，1210()13c <=<， ∴b c a <<， 故选：D 【点睛】本题考查了指数、对数比较大小，根据对应函数的性质结合边界值0、1比较大小，属于简单题.5．函数1()()cos f x x x x=-在其定义域上的图像大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】利用函数的奇偶性，以及特殊点的函数值符号即可由排除法选出正确图象. 【详解】()11()()cos ()cos ()f x x x x x f x x x-=-+-=--=-，所以函数()f x 是奇函数，图象关于原点对称，故排除选项A D 、， 因为当02x π<<时，(1)0f =，02f ⎛⎫= ⎪⎝⎭π，故在区间()0,2π与x 轴有两个交点，故 排除B 故选：C 【点睛】本题主要考查了根据函数的解析式选择正确的图象，属于中档题. 6．函数1()ln 2f x x x x=--的单调减区间为（ ） A ．(1,)+∞ B ．()0,1 C ．1,12⎛⎫-⎪⎝⎭ D ．1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭和(1,)+∞ 【答案】A【解析】求出导函数，由'()01f x x <⇒>，从而可得答案.【详解】因为1()ln 2f x x x x=--， 所以()()2'2221121121()2,0x x x x f x x x x x x -+-++=-+==> 由'()01f x x <⇒>， 所以函数1()ln 2f x x x x=--的单调减区间为(1,)+∞，故选：A. 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，解题的关键是熟练掌握求导公式，属于基础题.7．某种物体放在空气中冷却，如果原来的温度是1θ℃，空气的温度是0θ℃，那么min t 后物体的温度θ(单位：℃)满足：0.2010()teθθθθ-=+-.若将物体放在15℃的空气中从62℃分别冷却到45℃和30℃所用时间为1t ，2t ，则21t t -的值为(取207,2718ln e ==⋯．．)（ ）A ．72-B ．27-C ．72D ．27【答案】C【解析】根据题中所给函数模型，分别求出1t ，2t ，再由对数的运算，即可得出结果. 【详解】若物体放在15℃的空气中从62℃分别冷却到45℃， 则有10.24515(6215)t e-=+-，即10.23047t e -=，则10.24730t e=，解得1475ln 30t =； 若物体放在15℃的空气中从62℃分别冷却到30℃， 则有20.23015(6215)t e -=+-，即20.21547t e -=，则20.24715t e=，解得2475ln 15t =； 因此2147305ln 5ln 2 3.51647t t ⎛⎫-=⨯== ⎪⎝⎭. 故选：C. 【点睛】本题主要考查对数的运算，考查给定函数模型的应用，属于常考题型. 8．已知函数()ln ,,[1,2],af x x m n m n x =+∀∈≠时，都有(1)(1)0f m f n m n+-+>-，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,1)-∞ B ．(,1]-∞C ．(,2)-∞D ．(,2]-∞【答案】D【解析】[],1,2m n ∀∈且m n ≠，都有()()110f m f n m n+-+>-，等价于()()ln 11ag x x x =+++在[]1,2x ∈上单调递增，只需()'0g x ≥恒成立即可. 【详解】()()1ln 11af x x x +=+++， 令()()()1ln 11ag x f x x x =+=+++， [],1,2m n ∀∈且m n ≠，都有()()110f m f n m n+-+>-，()g x ∴在[]1,2x ∈上单调递增，即()()()2211'0111a x a g x x x x +-=-=≥+++恒成立， 即1a x ≤+，[]1,2,12x x ∈∴+≥，2a ∴≤，故选：D. 【点睛】本题主要考查函数单调性的定义，考查利用导数研究函数的单调性以及不等式恒成立问题，属于中档题.二、多选题9．下列命题正确的是（ ）A ．“1a >”是“21a >”的充分不必要条件B ．“M N >”是“lgM lgN >”的必要不充分条件C ．命题“2,10x R x ∀∈+<”的否定是“x R ∃∈，使得210x +<”D ．设函数()f x 的导数为()'f x ，则“0()0f x '=”是“()f x 在0x x =处取得极值”的充要条件 【答案】AB【解析】根据定义法判断是否为充分、必要条件，由全称命题的否定是∀→∃，否定结论，即可知正确的选项. 【详解】A 选项中，211a a >⇒>，但211a a >⇒>或1a <-，故A 正确；B 选项中，当0M N >>时有lgM lgN >，而lgM lgN >必有0M N >>，故B 正确；C 选项中，否定命题为“x R ∃∈，使得210x +≥”，故C 错误；D 选项中，0()0f x '=不一定有()f x 在0x x =处取得极值，而()f x 在0x x =处取得极值则0()0f x '=，故D 错误； 故选：AB 【点睛】本题考查了充分、必要条件的判断以及含特称量词命题的否定，属于简单题. 10．设0a b >>，则下列不等式一定成立的是（ ）A ．0a bb a-< B ．20201a b ->C ．2aba b<+D ．b a a b >【答案】BC【解析】对选项A ，利用做差法即可判断；对选项B ，利用指数函数的性质即可判断，对选项C ，利用基本不等式即可判断，对选项D ，利用赋值法即可判断. 【详解】对选项A ，22a b a b b a ab--=，因为0a b >>，所以22a b >，0ab >.所以0a bb a->，故A 错误. 对选项B ，因为a b >，所以0a b ->，即20201a b ->，故B 正确.对选项C ，因为0a b >>，所以(22aba b a b ab a b+>⇒+>⇒>+， 故C 正确.对选项D ，设4a =，3b =，满足0a b >>，此时3464b a ==，4381a b ==，不满足b a a b >，故D 错误. 故选：BC 【点睛】本题主要考查利用作差法，基本不等式法和赋值法比较大小，属于简单题. 11．定义在R 上的奇函数()f x 满足()()11+f x f x -=，则（ ） A ．函数()f x 的图象关于原点对称 B ．函数()f x 的图象关于直线1x =对称C ．函数()f x 是周期函数且对于任意x ∈R ，(2)()f x f x +=成立D ．当(0,1]x ∈时，()1x f x e =-，则函数()f x 在区间[]14,34()k k k Z ++∈上单调递减(其中e 为自然对数的底数) 【答案】ABD【解析】由函数()f x 是奇函数，可判断A ；由()()11+f x f x -=，可得函数()f x 的图象关于直线1x =对称，可判断B ；因为()()(2)1+1+f x f x f x +=≠⎡⎤⎣⎦，可判断C ；当(0,1]x ∈时，()1xf x e =-，由函数()f x 的奇偶性、单调性和周期性可判断D.【详解】定义在R 上的函数()f x 是奇函数，所以函数()f x 的图象关于原点对称，故A 正确； 因为函数()f x 满足()()11+f x f x -=，函数()f x 的图象关于直线1x =对称，故B 正确；因为()()()()(2)1+1+11+()f x f x f x f x f x f x +==-=-=-≠⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，()()()()()(4)1+3+13+(2)2+f x f x f x f x f x f x f x +==-=--=-=--=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，所以函数()f x 的周期为4，故C 不正确；当(0,1]x ∈时，()1xf x e =-，且()1xf x e =-在(0,1]x ∈上单调递增，因为函数()f x 是奇函数，所以函数()f x 在()10x ∈-，上单调递增， 又函数()f x 关于直线1x =对称，所以函数()f x 在()13x ∈，上单调递减，所以()()1>3f f ，又函数()f x 的周期为4，所以()()1+4>3+4f k f k ，所以函数()f x 在区间[]14,34()k k k Z ++∈上单调递减，故D 正确； 故选：ABD. 【点睛】本题考查抽象函数的奇偶性、单调性、周期性，以及对称性，属于中档题. 12．已知函数4()nnf x x x =+(n 为正整数)，则下列判断正确的是（ ） A ．函数()f x 始终为奇函数B ．当n 为偶数时，函数()f x 的最小值为4C ．当n 为奇数时，函数()f x 的极小值为4D ．当1n =时，函数()y f x =的图象关于直线2y x =对称 【答案】BC【解析】由已知得()()4()nnf x x x -=-+-，分n 为偶数和n 为奇数得出函数()f x 的奇偶性，可判断A 和；当n 为偶数时，>0n x ，运用基本不等式可判断B ；当n 为奇数时，令n t x =，则>0,>0;0,0x t x t <<，构造函数4()g t t t=+，利用其单调性可判断C ；当1n =时，取函数4()f x x x=+上点()15P ，，求出点P 关于直线2y x =对称的对称点，代入可判断D . 【详解】因为函数4()nn f x x x=+(n 为正整数)，所以()()4()n n f x x x -=-+-， 当n 为偶数时，()()44()()nn nnf x x x f x x x -=-+=+=-，函数()f x 是偶函数； 当n 为奇数时，()4()nnf x x f x x-=-+=--，函数()f x 是奇函数，故A 不正确； 当n 为偶数时，>0n x，所以4()4n n f x x x =+≥=，当且仅当4n n x x =时， 即2>0n x =取等号，所以函数()f x 的最小值为4，故B 正确；当n 为奇数时，令n t x =，则>0,>0;0,0x t x t <<，函数()f x 化为4()g t t t=+， 而4()g t t t =+在()()22-∞-+∞，，，上单调递增，在()()2002-，，，上单调递递减， 所以4()g t t t =+在2t =时，取得极小值4(2)242g =+=，故C 正确；当1n =时，函数4()f x x x=+上点()15P ，，设点P 关于直线2y x =对称的对称点为()000P x y ，，则000051121+5+222y x x y -⎧=-⎪-⎪⎨⎪⨯=⎪⎩，解得00175195x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即0171955P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，而将0171955P ⎛⎫⎪⎝⎭，代入4()f x x x=+不满足， 所以函数()y f x =的图象不关于直线2y x =对称，故D 不正确，故选：BC ． 【点睛】本题考查综合考查函数的奇偶性，单调性，对称性，以及函数的最值，属于较难题.三、填空题13．已知函数1,01()2(1),1x f x x x x ⎧<<⎪=⎨⎪-≥⎩，若()(1)f a f a =+，则实数a =___________.【答案】2【解析】根据分段函数各分支上的性质有011a a <<<+，结合解析式得12a a=即可求a . 【详解】∵()f x 在不同分支上是单调的， ∴()(1)f a f a =+有011a a <<<+，即12a a=，解之得：2a =，（舍去2a =-），故答案为：2【点睛】本题考查了利用分段函数各分支的性质，根据函数的等量关系，结合函数解析式求参数值，属于简单题.14．若()230,0s t st s t +=>>，则s t +的最小值是___________.【答案】5+【解析】利用“1”的代换，结合基本不等式求s t +的最小值. 【详解】 由题意知：231t s+=，∴2323()()555s t s t s t tst s +=++=++≥++，=时等号成立故答案为：5+【点睛】本题考查了利用基本不等式求最值，应用了“1”的代换转化目标式的形式，进而使用基本不等式，属于简单题.15．已知偶函数()f x (0)x ≠的导函数为()'f x ，()f e e =，当0x >时，()2()0xf x f x '->，则使21(1)(1)ef x x ->-成立的x 的取值范围是___________.(其中e 为自然对数的底数)【答案】(,1)(1,)e e -∞-⋃++∞；【解析】构造函数()()2f x g x x =，求导()()()''32xf x g xf x x -=，由已知分析出函数()g x 的奇偶性的单调性，可求得答案.【详解】令()()2f x g x x =，则()()()()()'''43222f x xf x xf x f x x x g x x--==， 因为当0x >时，()2()0xf x f x '->，所以当0x >时，()'>0g x ，()g x 单调递增，又()f x 是偶函数，所以()()()()()22f x f xg x x x g x --==-=，所以()g x 是偶函数， 而21(1)(1)ef x x ->-，所以()22(1)1(1)f e f x x e e ->=-，即()(1)g x g e ->，所以()(1)g x g e ->，又()g x 在()0+∞，单调递增，所以1x e ->，解得+1x e >或1x e <-， 故答案为：(,1)(1,)e e -∞-⋃++∞. 【点睛】本题考查构造函数求解抽象不等式，构造合适的函数是解决问题的关键，属于中档题. 16．在①AB A =，②A B ⋂≠∅，③R BC A ⊆这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的实数a 存在，求a 的取值范围；若不存在，说明理由.问题：已知集合{}20,,log (1)1,1x a A xx R B x x x R x -⎧⎫=<∈=-≤∈⎨⎬+⎩⎭∣∣，是否存在实数a ，使得___________？ 【答案】答案见解析【解析】求得集合[1,1)B =-，化简集合{()(1)0,}A xx a x x R =-+<∈∣，分1a >-，1a =-，1a <-三种情况讨论得到集合A ；再分别得若选择①，若选择②，若选择③时，实数a 的取值范围. 【详解】{}2log (1)1,R [1,1)B x x x =-≤∈=-∣，0,{()(1)0,}1x a A x x R x x a x x R x -⎧⎫=<∈=-+<∈⎨⎬+⎩⎭∣∣，当1a >-时，(1,)A a =-； 当1a =-时，A =∅； 当1a <-时，(,1)A a =- 若选择①AB A =，则A B ⊆，当1a >-时，要使(1,)[1,1)a -⊆-，则1a ≤，所以11a -<≤ 当1a =-时，A =∅，满足题意 当1a <-时，(,1)A a =-不满足题意 所以选择①，则实数a 的取值范围是[-1,1] 若选择②A B ⋂≠∅，当1a >-时，(1,),[1,1)A a B =-=-，满足题意； 当1a =-时，A =∅，不满足题意；当1a <-时，(,1),[1,1)A a B =-=-，不满足题意 所以选择②，则实数a 的取值范围是(1,)-+∞. 若选择③RB A ⊆，当1a >-时，(1,),(,1][,)RA a A a =-=-∞-⋃+∞，而[1,1)B =-，不满足题意当1a =-时，,R RA A =∅=，而[1,1)B =-，满足题意当1a <-时，(,1),(,][1,)RA a A a =-=-∞⋃-+∞，而[1,1)B =-，满足题意.所以选择③，则实数a 的取值范围是(,1]-∞-，综上得：若选择①，则实数a的取值范围是[-1,1]；若选择②，则实数a的取值范围是(1,)-+∞；若选择③，则实数a的取值范围是(,1]-∞-.【点睛】本题考查集合间的包含关系，集合间的运算，属于中档题.四、双空题17．校园内因改造施工，工人师傅用三角支架固定墙面(墙面与地面垂直)(如图)，现在一支架斜杆长为16dm，一端靠在墙上，另一端落在地面上，则该支架斜杆与其在墙面和地面上射影所围成三角形周长的最大值为___________dm；现为调整支架安全性，要求前述直角三角形周长为30dm，面积为230dm，则此时斜杆长度应设计为___________dm.【答案】16162+13.【解析】（1）由勾股定理有22256x y+=，结合基本不等式即可求周长最大值；（2）设斜杆长为a，它与地面的夹角为θ，根据题设列方程组并结合同角三角函数关系构造方程求值即可；【详解】（1）设其在墙面和地面上射影分别为x、y，则：周长16l x y=++，而22256x y+=，又222()x y x y+≤+，∴2216162()16(12)l x y x y=++≤+=，（2）设斜杆长为a，它与地面的夹角为θ，由题意有：22sin cos30sin cos sin2602a a aaaθθθθθ++=⎧⎪⎨==⎪⎩，∴21202sin cosaθθ=，而30sin cosaaθθ-+=，结合22sin cos1θθ+=，知：2230120()1a a a--=，解之得13a =，故答案为：16+13； 【点睛】本题考查了利用基本不等式求最值，应用勾股定理、同角三角函数关系列方程求直角三角形斜边长，属于中档题.五、解答题18．已知函数2()f x x ax b =++，,R a b ∈，关于x 的不等式()0f x <的解集为()2,3.（1）求a ，b 的值；（2）求函数()()2y f f x =-的所有零点之积. 【答案】（1）5a =-，6b =；（2）10.【解析】（1）根据不等式的解集得到方程20x ax b ++=的解为2和3，列出方程组求解，即可得出结果； （2）令()()20ff x -=，由（1）得到2[()]5()62f x f x -+=，求出()1f x =或()4f x =，由韦达定理，即可求出结果.【详解】（1）因为不等式()0f x <的解集为()2,3，即20x ax b ++<的解集为()2,3， 所以方程20x ax b ++=的解为2和3，所以24056a b a b ⎧->⎪-=⎨⎪=⎩，解得5a =-，6b =；（2）由（1）得2()56f x x x =-+，令()()20ff x -=，即2[()]5()62f x f x -+=，解得()1f x =或()4f x =，即2550x x -+=或2520x x -+=，2212(5)4550,(5)42170∆=--⨯=>∆=--⨯=>,方程2550x x -+=有两解，设为1x ，2x ，方程2520x x -+=有两解，设为3x ，4x ， 所以125x x =，342x x =，即函数()()2y f f x =-的所有零点之积为123410x x x x =. 【点睛】本题主要考查由一元二次不等式的解集求参数，考查求函数的零点之积，属于常考题型. 19．设函数()3221()(1)23,,3f x x k x k k x x R k R =+-+--∈∈. （1）若函数()f x 为奇函数，求函数()f x 在区间[]3,3﹣上的最值； （2）若函数()f x 在区间()0,2内不单调，求实数k 的取值范围. 【答案】（1）最大值为163，最小值为163-；（2）(3,1)(1,3)--. 【解析】（1）由已知得()()f x f x -=对x R ∀∈成立，根据恒等式的思想可求得1k =，得到31()43f x x x =-，求导，分析导函数取得正负的区间，从而得函数的单调性，可求得函数的最值.（2）对函数求导得()22()2(1)23(3)(1)f x x k x k k x k x k '=+-+--=+-++，令()0f x '=，得3x k =-或1x k =--，由已知条件建立不等式可求得实数k 的取值范围. 【详解】（1）因为函数()f x 为奇函数，所以()()f x f x -=对x R ∀∈成立， 即()()32232211(1)23(1)2333x k x k k x x k x k k x -+----=------对R x ∀∈成立，即22(1)0k x -=对x R ∀∈成立，所以1k =，此时31()43f x x x =-， 2()4(2)(2),[3,3]f x x x x x '=-=+-∈-，令()0f x '=，则2x =-或2x =，函数()f x 的极大值为16(2)3f -=，极小值为16(2)3f =-，而(3)3f -=，(3)3f =-. 所以函数()f x 在区间[-3,3]上的最大值为163，最小值为163-；（2）因为()3221()(1)233f x x k x k k x =+-+--，所以()22()2(1)23(3)(1)f x x k x k k x k x k '=+-+--=+-++，令()0f x '=，得3x k =-或1x k =--，因为函数()f x 在区间(0,2)内不单调，所以032k <-<或012k <--<，解得13k <<或31k -<<-.所以实数k 的取值范围为(3,1)(1,3)--.【点睛】本题考查利用导函数研究函数的单调性，极值，最值，属于中档题.20．经验表明，在室温25C ︒下，85C ︒开水冷至35︒C 到40C ︒(温水)饮用对身体更有益.某研究人员每隔1min 测量一次开水温度(如下表)，经过min x 后的温度为C y ︒.现给出以下2个函数模型：①25(,01,0)ay kx k R a x =+∈<<≥；②25(,01,0)xy ka k R a x =+∈<<≥，其中a 为温度衰减比例，计算公式为：11251()525i n i i y a i N y =--=∈-∑.开水温度变化（1）请选择一个恰当的函数模型描述,x y 之间的关系，并求出k ； （2）求a 值(a 保留0.01)；（3）在25C ︒室温下，85C ︒开水至少大约放置多长时间(单位：min ，保留整数)才能冷至到对身体有益温度？(参考数据：16.6140.92≈，21.5160.92≈) 【答案】（1）应该选择②，k 的值为60；（2）0.92；（3）17min .【解析】（1）应用表格数据代入所选模型确定是否合适，有矛盾的排除，选择合适的模型即可；（2）根据题设提供的公式计算求值；（3）由人体合适温度在35C ︒到40C ︒之间，结合（1）（2）所得模型列不等式求x 范围即可； 【详解】（1）若选择①25(,01,0)a y kx k R a x =+∈<<≥，把0x =代入得2585y =≠矛盾；若选择②25(,01,0)xy ka k R a x =+∈<<≥，把0,85x y ==代入，得60k =. ∴选择②25(,01,0)xy ka k R a x =+∈<<≥，其中k 的值为60.（2）5112511545046434052556054504643i i i y a y =--⎛⎫==++++ ⎪-⎝⎭∑0.92≈ （3）由（1）（2）知，x 、y 之间的关系为600.9225xy =⨯+，∵85C ︒开水冷至35C ︒到40C ︒ (温水)饮用对身体更有益， ∴35600.922540x ≤⨯+≤，有110.9264x ≤≤，即1460.92x ≤≤， 又16.621.5114,60.920.92≈≈，得16.621.5x ≤≤，∴在25C ︒室温下，85C ︒开水至少大约放置17min 才能冷至到对身体有益温度. 【点睛】本题考查了利用表格数据选择合适的数学模型，并确定模型中的参数值，进而应用模型计算预测值，属于中档题.21．已知函数()(2)ln 1f x x x x =-+-.（1）求曲线()y f x =在点(1,(1))P f 处的切线方程；（2）已知0x x =是函数()y f x =的极值点，若()()121212,,,f x f x x x x x R =≠∈，求证：1202x x x +>(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值). 【答案】（1）0y =；（2）证明见解析.【解析】（1）利用导数的几何意义求()y f x =在点(1,(1))P f 处的切线方程即可；（2）利用导数研究()f x 有极值点01x =；结合已知条件构造()()(2),01h x f x f x x =--<<，应用导数研究其单调性及()()12f x f x =即可证122x x +>.【详解】（1）由()(2)ln 1f x x x x =-+-，有2()ln 1x f x x x'-=++∴()01f '=，而(1)0f =，可知曲线()y f x =在点(1,(1))P f 处的切线方程为0y = （2）由（1）得22()ln 1ln 2x f x x x x x '-=++=+-，令2()ln 2,0g x x x x=+->， 则212()0g x x x'=+>在(0,)+∞上恒成立，即2()ln 2g x x x =+-在(0,)+∞上单调递增，而(1)0g =，知当01x <<时，()0f x '<；当1x >时，()0f x '>，∴当函数()f x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，即()f x 在1x =处取得极大值.∵()()121212,,,f x f x x x x x R =≠∈，不妨设1201x x <<<， 令()()(2),01h x f x f x x =--<<，则22()()(2)ln 2ln(2)22h x f x f x x x x x'''=+-=+-+-+--4ln (2)4(2)x x x x =-+--因为01x <<，所以0(2)1x x <-<，即有4ln (2)0,40(2)x x x x -<-<-，∴()0h x '<，即函数()()(2)h x f x f x =--在(0,1)上单调递减，而(1)(1)(1)0h f f =-=，所以()(1)0h x h >=在(0,1)上恒成立，即()(2)f x f x >-在(0,1)上恒成立，有()()112f x f x >-在(0,1)上恒成立，又()()12f x f x =，所以()()212f x f x >-，因为1201x x <<<且121x ->，而函数()f x 在(1,)+∞上单调递增，所以212x x >-，即122x x +>，而01x =，所以1202x x x +>得证. 【点睛】本题考查了由导数的几何意义求切线方程，利用导数研究函数的单调性，并结合已知条件构造函数并判断其单调性，进而证明不等式.22．已知函数1()x f x e ax -=+，()ln g x bx b x =-，其中e 为自然对数的底数，,a b ∈R . （1）讨论函数()f x 在(0,)+∞上的单调性；（2）当0a =时，()()f x xg x ≥对0x >恒成立，求实数b 的取值范围.【答案】（1）答案见解析；（2）(,1]-∞.【解析】（1）求得函数的导函数，将参数分为1a e ≥-、1a e<-讨论函数的单调区间；（2）[方法1]由不等式构造含参函数1()ln x h x bx b x xe -=-+，结合导数研究其在0x >上的单调区间，再由不等式恒成立为前提分类讨论参数b 并确定其范围；[方法2、3]利用导数研究函数不等式恒成立问题，结合参变分离，构造函数()g x 将问题转化为min ()b g x ≤，由()g x 的导数研究单调性得到最小值，进而求得b 的范围.【详解】（1）因为1()x f x e ax -=+，则1(),0x f x e a x '-=+>当1a e ≥-时，1()0f x e a -'>+≥，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增；当1a e<-时令1()0x f x e a '-=+>，得1ln()x a >+-，所以()f x 在)(ln()1,a -++∞上单调递增，令1()0x f x e a '-=+<，得1ln()x a <+-，所以()f x 在(0,ln()1)a -+上单调递减，综上，当1a e ≥-时，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增；当1a e<-时，函数()f x 在)(ln()1,a -++∞上单调递增，在(0,ln()1)a -+上单调递减；（2）当0a =时，()()f x xg x ≥对0x >恒成立12ln x e bx bx x -⇔≥-对0x >恒成立， 【方法1】1ln 0x bx e b x x--+≥对0 x >恒成立，令1()ln x h x bx b x x e -=-+则112(1)(1)(1)(),0x x b x x x b x h x x x x xe e --⎛⎫-- ⎪--⎝⎭'=+=>， 设1()x b e x x ϕ-=-，令12(1)()0x x x xe ϕ--'==，得1x =， ∴当1x >时，()0x ϕ'>，()ϕx 在(1,)+∞上单调递增；当01x <<时，()0x ϕ'<，()ϕx 在(0,1)上单调递减，所以()(1)1x b ϕϕ≥=-.①若10b -≥，即1b ≤，当1x >时，()0h x '>，所以函数()h x 在(1,)+∞上单调递增；当01x <<时，()0h x '<，所以函数()h x 在(0,1)上单调递减，所以()(1)10h x h b ≥=-≥成立. 即1b ≤时()()f x xg x ≥对0x >恒成立.②当10-<b ，即1b >时，(1)10h b =-<与()0h x ≥矛盾； 综上，实数b 的取值范围为(,1]-∞ 【方法2】1ln (ln )0x x b x x e ----≥对0x >恒成立，令()ln h x x x =-，由11()10x h x x x-'=-==得1x =，即当1x >时，()0h x '>，()h x 在(1,)+∞上单调递增，当01x <<时，()0h x '<，()h x 在(0,1)上单调递减，所以()(1)1h x h ≥=.令ln t x x =-，则1t ≥，则原问题等价于10t t e b --≥，对1t ≥恒成立，等价于1t b te -≤，对1t ≥恒成立，令1(),1t e p t t t -=≥，则12(1)()0t t p t e t--'=≥，所以()p t 在[1,)+∞上单调递增，所以min ()1p t =，所以，实数b 的取值范围为(,1]-∞. 【方法3】令()ln x x x ϕ=-，由1()10x xϕ'=-=得1x =，函数()ϕx 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，有()(1)1x ϕϕ≥=，所以ln 1x x -≥当且仅当1x =时取等号.令()1xp x e x =--，则由()10x p x e '=-=得0x =，函数()p x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增，所以()(0)0p x p ≥=，所以1x e x ≥+当且仅当0x =时取等号.因为ln 1x x -≥，所以原条件等价于11ln (ln )ln x x xe e b x x x x x---≤=--对0x >恒成立，令1ln ()ln x xe g x x x --=-，因为1ln 1ln 1ln x x x e x x x ----+=-≥，当且仅当ln 10x x --=时取等号，即1x =时取等号，所以1ln ()(1)1ln x xg x g x xe --=≥=-，所以min ()1g x =，即1b ≤.综上，实数b 的取值范围为(,1]-∞ 【点睛】本题考查了应用分类讨论求含参函数的单调区间，第二问--方法一：应用导数研究函数单调区间、结合参数分类讨论求参数范围；方法二、三：利用导函数研究函数不等式恒成立问题：应用参变分离法将问题转化为min ()b g x ≤，由导数得到函数的最值，进而求参数范围.。
南通市通州区2022-2023学年高三上学期 期中质量监测数学试题(含答案)
南通市通州区2022-2023学年高三上学期期中测试数学2022.11.14本试卷共6页，22小题，满分150分。
考试时间120分钟。
注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。
将条形码横贴在答题卡“条形码粘贴处”。
2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4.考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在复平面内，复数2i2i-+对应的点位于（ ） A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.已知集合{}20M x x a =-≤，{}2log 1N x x =≤.若M N =∅，则实数a 的取值集合为（ ）A.(],0-∞B.(]0,4C.()0,+∞D.[)4,+∞3.已知0a >，0b >，则“1a b +≤≤ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.“碳达峰”，是指二氧化碳的排放不再增长，达到峰值之后开始下降；而“碳中和”，是指企业、团体或个人通过植树造林、节能减排等形式，抵消自身产生的二氧化碳排放量，实现二氧化碳“零排放”.某地区二氧化碳的排放量达到峰值a （亿吨）后开始下降，其二氧化碳的排放量S （亿吨）与时间t （年）满足函数关系式tS ab =，若经过5年，二氧化碳的排放量为45a（亿吨）.已知该地区通过植树造林、节能减排等形式，能抵消自产生的二氧化碳排放量为4a（亿吨），则该地区要能实现“碳中和”，至少需要经过多少年?（参考数据：lg20.3≈）（ ） A.28B.29C.30D.315.如图是函数()f x 的大致图象，则函数()f x 的解析式可以为()f x =（ ）A.21x x - B.2sin 1x x - C.21x x - D.||e 1x x- 6.已知112tan sin αα=-，则tan 4πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ） A.7-B.17-C.19D.437.已知正六棱锥P ABCDEF -的底面边长为2，侧面与底面所成二面角的大小为60°.圆柱1O O 的上底面圆1O 与正六棱锥P ABCDEF -的侧面均相切，下底面圆O 在该正六棱锥底面内，则圆柱1O O 体积的最大值为（ ）A.49π B.43π8.若1ln 22x x e y e ⎛⎫+=⋅⎪⎝⎭，其中0x >，2y >，则（ ）A.xe y >B.2xe y >C.24x e y <D.2xe y >二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
江苏省南通市通州区2021届高三上学期第一次诊断测试英语试题 含答案解析
C.In Rome.
听第 8 段材料，回答第 10 至 12 题。
10.What language is the woman learning this term?
A.French.
B.Spanish.
11.What does the man find it difficult to learn?
A.The guitar.
听第 10 段材料，回答第 17 至 20 题。
C.A house agent.
17.What will take place in the hotel this weekend?
A.A birthday party. B.A trade fair.
C.A wedding.
18.What is the hotel staff unsure about?
A.The list of the food. B.The number of guests. C.The length of the event.
19. When will guests probably start arriving?
A. From 7:15.
B. From 7:30.
C.From 7:45.
A
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南通市通州区2021届高三第一次诊断测试数学标答
⎨ ⎩2021 届高三第一次调研考试数学参考答案与评分细则一、单选题（每题 5 分）1. B ；2. B ；3. C ；4. D ；5. C ；6. A ；7. C ；8. D ；二、多选题（每题 5 分，漏选得 3 分，错选得 0 分）9. AB ；10. BC ；11. ABD ；12. BC三、填空题（每题 5 分，注意 16 题第一空 2 分，第二空 3 分）13. 2 ；14. 5 + 22 四、解答题；15. (-∞,1 - e) (1 + e, +∞) ；16.（1）16 + 16 （2） 13 .17. 解： B = {x | log 2 (1 - x ) ≤ 1, x ∈ R} = [-1,1) ， ……2 分A = {x | x - a < 0, x ∈ R} = {x | (x - a )(x + 1) < 0, x ∈ R} ，x + 1当 a > -1时， A = (-1, a ) ； ……3 分 当 a = -1时， A = ∅ ； ……4 分 当 a < -1时， A = (a , -1) ． ……5 分 若选择① A B = A ，则 A ⊆ B ， ……6 分当 a > -1时，要使(-1, a ) ⊆ [-1,1) ，则 a ≤ 1，所以-1 < a ≤ 1 ； ……7 分当 a = -1时， A = ∅ ，满足题意； ……8 分当 a < -1时， A = (a , -1) 不满足题意． ……9 分所以选择①，则实数 a 的取值范围是[-1,1] ． ……10 分若选择② A I B ≠ ∅ ，当 a > -1时， A = (-1, a ) ， B = [-1,1) ，满足题意； ……6 分当 a = -1时， A = ∅ ，不满足题意； ……7 分当 a < -1时， A = (a , -1) ， B = [-1,1) ，不满足题意． ……8 分所以选择②，则实数 a 的取值范围是(-1, +∞) ． ……10 分若选择③ B ⊆ ðR A ，当 a > -1时， A = (-1, a ) ， ðR A = (-∞, -1] [a , +∞) ，而 B = [-1,1) ，不满足题意；…6 分 当 a = -1时， A = ∅ ， ðR A = R ，而 B = [-1,1) ，满足题意； …7 分当 a < -1时， A = (a , -1) ， ðR A = (-∞, a ] [-1, +∞) ，而 B = [-1,1) ，满足题意． …8 分所以选择③，则实数 a 的取值范围是(-∞, -1] ． …10 分 （注意：若解答过程中不是先讨论集合 A ，而是在求解过程中讨论，则每种情况 2 分）18．解：（1）因为不等式 f (x ) < 0 的解集为(2, 3) ，即 x 2 + ax + b < 0 的解集为(2, 3) ，所以方程 x 2 + ax + b = 0 的解为 2 和3， ……2 分⎧a 2 - 4b> 0,所以 ⎪-a = 5,⎪b = 6,解得 a = -5, b = 6 ．……4 分 所以 a , b 的值分别为 -5 和6 ． ……6 分（2）由（1）得 f (x ) = x 2 - 5x + 6 ，6 2令 f ( f (x )) - 2 = 0 ，即[ f (x )]2 - 5 f (x ) + 6 = 2 ，解得 f (x ) = 1 或 f (x ) = 4 ， ……8 分 即 x 2 - 5x + 5 = 0 或 x 2 - 5x + 2 = 0 ，设方程 x 2 - 5x + 5 = 0 的解为 x , x ，方程 x 2 - 5x + 2 = 0 的解为 x , x ，1 2 3 4 所以 x 1 x 2 = 5 ， x 3 x 4 = 2 ， ……10 分 函数 y = f ( f (x )) - 2 的所有零点之积为10 ． ……12 分19．解：（1）因为函数 f (x ) 为奇函数，所以 f (-x ) = f (x ) 对∀x ∈ R 成立，即 - 1 x 3 + (k - 1)x 2 - (k 2 - 2k - 3)x = - 1 x 3 - (k - 1)x 2 - (k 2 - 2k - 3)x对∀x ∈ R 成立，…1 分 3 3 即 2(k -1)x 2 = 0 对∀x ∈ R 成立，所以 k = 1． …2 分 此时 f (x ) = 1 x 3 - 4x，3 f '(x ) = x 2 -4 = (x + 2)(x - 2) ， x ∈[-3, 3] ，令 f '(x ) = 0 ，则 x = -2 或 x = 2 ，…5 分函数 f (x ) 的极大值为 f (-2) = 16，极小值为 f (2) = - 16 ，而 f (-3) = 3 ， f (3) = -3．3 3所以函数 f (x ) 在区间[-3, 3] 上的最大值为16 ，最小值为 - 16 ． ……7 分3 3（2）因为 f (x ) = 1 x 3 + (k -1)x 2 + (k 2 - 2k - 3)x，3 所以 f '(x ) = x 2 + 2(k -1)x + (k 2 - 2k - 3) = (x + k - 3)(x + k + 1) ，令 f '(x ) = 0 ，得 x = 3 - k 或 x = -1 - k ， ……9 分因为函数 f (x ) 在区间(0, 2) 内不单调，所以0 < 3 - k < 2 或0 < -1 - k < 2 ， ……11 分解得1 < k < 3 或-3 < k < -1．所以实数 k 的取值范围为(-3, -1) (1, 3) ． ……12 分 （注意：若（1）中直接利用 f (0) = 0 ，没有检验则得 1 分；判断单调性求最值，同样得分。
2021届江苏省南通市高三第一次教学质量调研考试数学试题Word版含答案
2021届江苏省南通市高三第一次教学质量调研考试数学试题一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡．．．相应的位置上．．．．．．．） 1．已知集合A ＝{}13x x -<<，B ＝{﹣1，0，1，2，3}，则AB ＝ ．2．已知复数z 满足(1i)3i z +=-（其中i 为虚数单位），则复数z 的模为 ．3．双曲线22145x y -=的顶点到渐近线的距离为 ． 4．口袋中有形状和大小完全相同的4个小球，球的编号分别为1，2，3，4，若从袋中一次性摸出2个球，则摸出的两个球编号之和为奇数的概率为 ． 5．函数41()log (1)2f x x =--的定义域为 ． 6．函数()f x 满足(4)()(R)f x f x x +=∈，[2x ∈-，2)时，2,20()tan ,024x x f x xx π⎧+-≤<⎪=⎨-≤<⎪⎩，则((17))f f 的值为 ． 7．设函数()sin()(0)8f x x πωω=+>，若()()4f x f π≤对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为 ． 8．已知函数20()lg 0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，，，则不等式()1f x x >-+的解集为 ．9．设a ∈R ，函数32()3(1)f x x a x ax =+--为奇函数，则函数()f x 的极大值为 ．10．已知4sin()65πα-=，02πα<<，则cos()12πα+＝ ． 11．已知22log log 2a b +=，则22a b +的最小值为 ． 12．如图，在△ABC 中，D 为AC 的中点，BC ⊥BD ，BC ＝2，则BA BC ⋅＝ ．13．在锐角△ABC 中，设角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若sinC ﹣sinA ＝2sinAcosB ，baλ=，则实数λ的取值范围为 ．14．定义在R 上的函数()f x ，()g x ，()h x ，若对x ∀∈R ，点(x ，()h x )，(x ，()g x )关于点(x ，()f x )对称，则称函数()h x 是函数()g x 关于函数()f x 的“对称函数”．已知函数()h x 是函数()1g x a x =-关于函数2()8f x x x =+的“对称函数”且函数()h x 存在4个零点，则实数a 的取值范围为 ．二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域．．．．．．．内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．（本题满分14分）如图，在四棱锥S —ABCD 中，底面ABCD 为菱形，SA ⊥平面ABCD ． （1）求证：AB ∥平面SCD ； （2）求证：BD ⊥SC ．16．（本题满分14分）已知平面向量(sin a α=，cos 2)α，3(cos 2b α=，)t ，R t ∈． （1）若a b =，求t 的值； （2）若t 3，a b ⊥，求tan(2)4πα+的值．17．（本题满分14分）设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12123a a a a +=，14a ，23S ，32S 成等差数列． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设等差数列{}n b 中，12b a =，861b a =-．①求数列{}n b 的前n 项和n T ；②若对n N*∈，不等式230n n na T n λ-+≥恒成立，求实数λ的最小值．18．（本题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知F(1，0)为椭圆C：22221(0)x ya ba b+=>>的右焦点，A，B为左右顶点．过点F的直线l与椭圆C交于P，Q两点，其中点P在第一象限，且点P到两个焦点的距离之和为4．（1）求椭圆C的标准方程；（2）记△AFP与△BFQ的面积分别为1S，2S，若123 2SS=，求直线l的方程．19．（本题满分16分）一个创业青年租用一块边长为4百米的等边△ABC田地（如图）养蜂、产蜜与售蜜．田地内拟修建笔直小路MN，AP，其中M，N分别为AC，BC的中点，点P在BC上．规划在小路MN与AP的交点O（O与M、N不重合）处设立售蜜点，图中阴影部分为蜂巢区，空白部分为蜂源植物生长区，A，N为出入口（小路的宽度不计）．为节约资金，小路MO段与OP段建便道，供蜂源植物培育之用，费用忽略不计．为车辆安全出入，小路AO段的建造费用为每百米4万元，小路ON段的建造费用为每百米3万元．（1）若拟修的小路AO7百米，求小路ON段的建造费用；（2）设∠BAP＝θ，求cosθ的值，使得小路AO段与ON段的建造总费用最小．20．（本题满分16分）设R a ∈，函数()x f x e ax =+，其中e 为自然对数的底数．（1）若函数()f x 是增函数，求实数a 的取值范围；（2）设直线210x y -+=与函数()y f x =的图像相切．①求实数a 的值；②求证：当x ≥0时，2()21f x x ≥+．（参考数据：148＜e 5＜149）2021届江苏省南通市高三第一次教学质量调研考试数学试题参考答案1．{0，1，2} 2．5 3．253 4．23 5．(1，3] 6．1 7．328．(1，+∞) 9．2910．210- 11．8 12．﹣4 13．2，3)14．a ＞815．证明：（1）∵底面ABCD 为菱形 ∴AB ∥CD∵AB ⊄平面SCD ，CD ⊂平面SCD∴AB ∥平面SCD（2）∵SA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ∴SA ⊥BD连接AC ，∵底面ABCD 为菱形 ∴AC ⊥BD又∵SA AC ＝A ∴BD ⊥平面SAC ∵SC ⊂平面SAC ∴BD ⊥SC 16．解：（1）∵a b =∴sin cos 2t ααα⎧=⎪⎨⎪=⎩①②由①得tan 2α=由②得22222222cos sin 1tan 1cos 2cos sin =cos sin 1tan 7t ααααααααα--==-==++ （2）当t时3=sin cos 222a b ααααα⋅=+ 由a b ⊥，得=0a b ⋅，即sin 2204αα+=，求得tan 24α=- ∴tan 2tan4134tan(2)41(4)51tan 2tan 4παπαπα+-++===---- 17．（1）∵12123a a a a +=∴113q a q +=①∵14a ，23S ，32S 成等差数列 ∴21332S a S =+，化简得322a a =，即2q = 将2q =代入①式求得112a =∴数列{}n a 的通项公式：11211()222n n n naa q ---==⋅=（2）①01221b a ===，48612115b a =-=-=∴81142817b b d -===- ∴2(1)22n n n T n n -=+=②要使不等式230nn na T n λ-+≥恒成立则222230n n n n λ--+≥，即max 223()2n n λ--≥ 令2232n n n c --=，则1121212352222n n n n n n n nc c +-------=-=∴当1≤n ≤2时，10n nc c +->，此时{}n c 单调递增当n ≥3时，10n nc c +-<，此时{}n c 单调递减∴当n ＝3时，max 33()2n c c == 即当max 2233()22n n λ--≥=时，原不等式恒成立 ∴实数λ的最小值为3218．（1）由F(1，0)，得c ＝1由点P 到两个焦点的距离之和为4，得2a ＝4，即a ＝2∴b 2＝a 2﹣c 2＝3∴椭圆C 的标准方程为22143x y += （2）113AF PF sin AFP PF sin AFP 22S =⋅∠=∠ 211BF QF sin BFQ QF sin BFQ 22S =⋅∠=∠由1232S S =，得QF 2PF =，即2Q P y y =-（0P y >） 设直线PQ 为：1x my =+由221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(34)690m y my ++-=∴2634P Q m y y m +=-+①，2934P Q y y m ⋅=-+②，又2Q P y y =-③由①和③求得：226341234P Q m y m my m ⎧=⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩，代入②求得24=5m由0P y >可知m ＞0，∴=5m 所以直线PQ的方程：15x y =+20y --= 19．（1）在△AOM 中，222AO AM OM 2AM OM cos AMO =+-⋅∠∴2222AM 22AM 2cos 3π=+- 化简得：2AM 2AM 30+-= ∵AM ＞0，∴AM ＝1，则ON MN AM 211=-=-=，3×1＝3答：小路ON 段的建造费用为3万元． （2）由正弦定理得：AM AO OM2sin sin sin()33θπθ==-则AO sin θ=，sin OM sin θθθ-=ON MN AM 2=-==设小路AO 段与ON 段的建造总费用为()f θ则9sin ()4AO 3ON sin f θθθθ-+=+=63ππθ<<2()sin f θθθ'=，若0θ满足03cos 4θ=，且063ππθ<<，列表如下：则当θ＝0θ时，()f θ有极小值，此时也是()f θ的最小值∴03cos cos 4θθ== 答：当cos θ34=，小路AO 段与ON 段的建造总费用最小．。
江苏省南通市通州区2021届高三数学上学期第一次调研抽测试题(含解析)
江苏省南通市通州区2021届高三数学上学期第一次调研抽测试题（含解析）注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1. 本试卷共4页，包含填空题（共14题）、解答题（共6题），满分为160分，考试时间 为120分钟。
考试结束后，请将答题卡交回。
2. 答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号等用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写 在答题卡上。
3. 作答试题必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位 置作答一律无效。
如有作图需要，可用2B 铅笔作答，并请加黑、加粗，描写清楚。
参考公式：锥体的体积公式1=3V Sh 锥体， 其中为锥体的底面积，h 为高.一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答題卡相应位置 1．己知集合A ＝{﹣1，1，2}，B ＝{1，2，4}，则A B ＝ ．答案：{1，2} 考点：集合的运算解析：∵A ＝{﹣1，1，2}，B ＝{1，2，4} ∴A B ＝{1，2}2．设i 为虚数单位，则复数3(1i)+的实部为 ． 答案：﹣2 考点：复数解析：∵323(1i)13i 3i i 22i +=+++=-+ ∴复数3(1i)+的实部为﹣2．3．某校共有学生2 400人，其中高三年级600人．为了解各年级学生的兴趣爱好情况，用分层抽样的方法从全校学生中抽取容量为100的样本，则高三年级应抽取的学生人数为 ． 答案：25考点：统计，抽样调查 解析：600÷2400×100＝25 4．若从甲、乙、丙、丁 4位同学中选出3名代表参加学校会议，则甲被选中的概率为 ． 答案：34考点：古典概型解析：从甲、乙、丙、丁 4位同学中选出3名代表共有4种情况，其中甲被选中有3种情况，则甲被选中的概率为34． 5．在如图所示的算法流程图中，若输出的y 的值为﹣2，则输入的x 的值为 ．答案：14考点：算法初步解析：当x ＞1时，22y x =-，输出的y 的值为﹣2，解得x ＝0，不符题意，舍；当x ≤1时，2log y x =，输出的y 的值为﹣2，解得x ＝14，符合题意，所以输入的x 的值为14． 6．已知双曲线2221(0)x y a a-=>的焦距为4，则a 的值为 ．5考点：双曲线解析：∵焦距为4， ∴c ＝2，∴2125a =+7．不等式23122x x --<的解集为 ． 答案：(﹣1，2) 考点：指数函数 解析：∵23122x x --<∴231x x --<-解得﹣1＜x ＜2∴原不等式的解集为(﹣1，2)8．在棱长为2的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，点E 是棱BB 1的中点，则三棱锥D 1—DEC 1的体积为． 答案：43考点：棱锥的体积解析：1111D DEC E DD C 114V V 222323==⨯⨯⨯⨯=——． 9．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ．若21a =，3680a a +=，则5S 的值为 ． 答案：316考点：等比数列 解析：∵3680a a += ∴38q =-，即2q =- ∴211122a a q ===-- ∴551[1(2)]3121(2)6S ---==--． 10．将函数()sin()4f x x π=+的图象向右平移ϕ个单位，得到函数()y g x =的图象．则“34πϕ=”是“函数()g x 为偶函数”的 条件．（从“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”和“既不充分也不必要”中选填一个） 答案：充分不必要 考点：常用的逻辑用语 解析：因为“34πϕ=”⇒“函数()g x 为偶函数”；“函数()g x 为偶函数”“34πϕ=” 所以“34πϕ=”是“函数()g x 为偶函数”的充分不必要条件． 11．已知函数()()xf x ax b e =+，若曲线()y f x =在点(0，(0)f )处的切线方程为310x y -+=，则(1)f 的值为 ．答案：3e考点：导数的几何意义，函数的切线解析：因为()()x f x ax b e =+，则()(1)xf x ax a e '=++由曲线()y f x =在点(0，(0)f )处的切线方程为310x y -+=，得切点坐标为(0，1)∴b ＝1，a ＝2，即()(21)xf x x e =+，所以(1)f 的值为3e ． 12．设x ＞0，y ＞0，x ＋2y ＝4，则(4)(2)x y xy++的最小值为 ．答案：9考点：基本不等式解析：2481648411()()55942xy x y x y x yxy xy y x y x+++=+=+++=++≥+=，当且仅当x ＝2，y ＝1取“＝”．13．已知()f x 是定义在R 上且周期为3的周期函数，当x ∈(0，3]时，()11f x x =--．若函数y ()log (01)a f x x a a =->≠且在(0，+∞)上有3个互不相同的零点，则实数a 的取值范围是． 答案：(4，7)(19，16] 考点：函数与方程解析：根据数形结合的思想，可得1log 41log 71a a a >⎧⎪<⎨⎪>⎩或01log 61log 91a aa <<⎧⎪≥-⎨⎪<-⎩，解得4＜a ＜7或19＜a ≤16．14．在平面直角坐标系xOy 中，P(2，2)，Q(0，﹣4)为两个定点，动点M 在直线x ＝﹣1上，动点N 满足NO 2＋NQ 2＝16，则PM PN +的最小值为 ．答案：3考点：圆的方程解析：由NO 2＋NQ 2＝16，得点N 在圆22(2)4x y ++=上，设MN 中点为T(x ，y )，M(﹣1，m )，N(0x ，0y )则00212x x y y m =+⎧⎨=-⎩，代入圆N 得：2212()()122m x y -++-=，即点T 在以(12-，22m -)为圆心，1为半径的圆上所以PT 的最小值为32，PM PN +的最小值为3． 二、解答题：本大题共6小题，共90分.请在答題卡指定区域内作答.解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤. 15. （本小题满分14分）如图，在四棱锥中，四边形是平行四边形，相交于点，OP OC =,为PC 的中点，. （1） 求证：平面； （2） 求证：平面16. (本小题满分14分)在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c .已知向量(sin(),1)6a A π=+-，向量(1,cos )b A =，且12a b ⋅=. (1)求角的大小；(2)若4,5b c ==，求sin2B 的值.17. (本小题满分14分)设数列{}n a 的各项均为正数，{}n a 的前n 项和21(2),8n n S a n N *=+∈ (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设等比数列{}n b 的首项为2,公比为(0)q q >，前n 项和为n T .若存在正整数m ，使得33m S S T =⋅，求q 的值.18.(本小题满分16分)如图，某沿海地区计划铺设一条电缆联通,A B两地，A地位于东西方向的直线MN上的陆地处，B 地位于海上一个灯塔处，在A 地用测角器测得4BAN π∠=，在A 地正西方向4km 的点C 处，用测角器测得tan 3BCN ∠=. 拟定铺设方案如下：在岸MN 上选一点P ，先沿线段AP 在地下铺设，再沿线段PB 在水下铺设.预算地下、水下的 电缆铺设费用分别为2万元/km 和4万元/km,设BPN θ∠=，,42ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，铺设电缆的总费用为()f θ万元.(1)求函数()f θ的解析式；(2)试问点P 选在何处时，铺设的总费用最少，并说明理由.19. (本小题满分16分)在平面直角坐标系xOy 中，己知椭圆2222:1(0)43x y C t t t-=>的左、右顶点为,A B ，右焦点为F .过点A 且斜率为的直线交椭圆于另一点.(1)求椭圆的离心率；(2)若12k =，求22PA PB 的值； (3)设直线:2l x t =，延长AP 交直线l 于点Q ，线段BQ 的中点为E ，求证：点关于直线的对称点在直线PF 上。
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江苏省南通市通州区2021届高三第一次诊断测试
数学试卷
2020．9
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 1．函数()31
f x x x =-+
-的定义域为 A ．[1，3] B ．(1，3] C ．(-∞，1) D ．[3，+∞) 2．已知a ，b ，c ，d ∈R ，则下列命题正确的是
A ．若a ＞b ，n N *
∈，则n
n
a b > B ．若a ＞b ，c ＜d ，则a ﹣c ＞b ﹣d C ．若a ＞b ，c ＞d ，则ac ＞bd D ．若a ＞b ，则
11a b
< 3．集合M ＝8N N 1y y x y x ⎧⎫
=
∈∈⎨⎬+⎩⎭
，，的非空子集个数是 A ．3 B ．7 C ．15 D ．31
4．已知131()2a -=，13
log 2b =，1
21
()3c =，则a ，b ，c 的大小关系是
A ．a ＜b ＜c
B ．b ＜a ＜c
C ．c ＜a ＜b
D ．b ＜c ＜a 5．函数1
()()cos f x x x x
=-在其定义域上的图像大致是
6．函数1
()ln 2f x x x x
=--
的单调减区间为 A ．(1，+∞) B ．(0，1)
C ．(12-
，1) D ．(-∞，1
2
-)和(1，+∞) 7．某种物体放在空气中冷却，如果原来的温度是1θ℃，空气的温度是0θ℃，那么t min 后
物体的温度θ(单位：℃)满足：0.2010()e
t
θθθθ-=+-．若将物体放在15℃的空气中从
62℃分别冷却到45℃和30℃所用时间为1t ，2t ，则21t t -的值为（取ln2＝0.7，e=2.718…）
A ．72-
B ．27-
C ．72
D ．2
7
8．已知函数()ln a f x x x =+
，∀m ，n ∈[1，2]，m ≠n 时，都有
(1)(1)
0f m f n m n
+-+>-，则实数a 的取值范围是
A ．(-∞，1)
B ．(-∞，1]
C ．(-∞，2)
D ．(-∞，2]
二、 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 9．下列命题正确的是
A .“a ＞1”是“a 2＞1”的充分不必要条件
B ．“M ＞N ”是“lgM ＞lgN ”的必要不充分条件
C ．命题“∀x ∈R ，x 2＋1＜0”的否定是“∃x ∈R ，使得x 2＋1＜0”
D ．设函数()f x 的导数为()f x '，则“()f x '＝0”是“()f x 在0x x =处取得极值”的充要条件
10．设a ＞b ＞0，则下列不等式一定成立的是
A ．
0a b b a -< B ．20201a b -> C ．2ab a b
<+ D ．b a a b > 11．定义在R 上的奇函数()f x 满足(1)(1)f x f x -=+，则 A ．函数()f x 的图象关于原点对称 B ．函数()f x 的图象关于直线x ＝1对称
C ．函数()f x 是周期函数且对于任意x ∈R ，(2)()f x f x +=成立
D ．当x ∈(0，1]时，()e 1x
f x =-，则函数()f x 在区间[1＋4k ，3＋4k ](k ∈Z)上单调递减（其中e 为自然对数的底数） 12．已知函数4
()n
n f x x x
=+
(n 为正整数)，则下列判断正确的是 A ．函数()f x 始终为奇函数
B ．当n 为偶数时，函数()f x 的最小值为4
C ．当n 为奇数时，函数()f x 的极小值为4
D ．当n ＝1时，函数
()y f x =的图象关于直线y ＝2x 对称
三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）
13．已知函数1
, 01
()2(1), 1
x f x x x x ⎧<<⎪=⎨⎪-≥⎩，若()(1)f a f a =+，则实数a ＝ ．
14．若2s ＋3t ＝st (s ＞0，t ＞0)，则s ＋t 的最小值是 ．
15．已知偶函数()f x (x ≠0)的导函数为()f x '，(e)e f =，当x ＞0时，()2()0xf x f x '->，
则使21
(1)(1)e
f x x ->
-成立的x 的取值范围是 ．（其中e 为自然对数的底数） 16．校园内因改造施工，工人师傅用三角支架固定墙面（墙面与地面垂直）（如图），现在一
支架斜杆长为16dm ，一端靠在墙上，另一端落在地面上，则该支架斜杆与其在墙面和地面上射影所围成三角形周长的最大值为 dm ；现为调整支架安全性，要求前述直角三角形周长为30dm ，面积为30dm 2，则此时斜杆长度应设计为 dm ．（第一空2分，第二空3分）
第16题
四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）
在①A
B ＝A ，②A
B ≠∅，③B R
⊆
A 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，
若问题中的实数a 存在，求a 的取值范围；若不存在，说明理由．
问题：已知集合A ＝0R 1x a x
x x ⎧-⎫
<∈⎨⎬+⎩⎭
，，B ＝{}2log (1)1R x x x -≤∈，，是否存
在实数a ，使得 ？
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 18．（本小题满分12分）
已知函数2
()f x x ax b =++，a ，b ∈R ，关于x 的不等式()0f x <的解集为(2，3)． （1）求a ，b 的值；
（2）求函数(())2y f f x =-的所有零点之积． 19．（本小题满分12分）
设函数3
221()(1)(23)3
f x x k x k k x =
+-+--，x ∈R ，k ∈R ． （1）若函数()f x 为奇函数，求函数()f x 在区间[﹣3，3]上的最值； （2）若函数()f x 在区间(0，2)内不单调，求实数k 的取值范围．
20．（本小题满分12分）
经验表明，在室温25°C 下，85°C 开水冷至35°C 到40°C （温水）饮用对身体更有益．某研究人员每隔1min 测量一次开水温度（如下表），经过x min 后的温度为y °C ．现给出以下
2个函数模型：①25a
y kx =+(k ∈R ，0＜a ＜1，x ≥0)；②25x
y ka =+( k ∈R ，0＜a ＜1，
x ≥0)，其中a 为温度衰减比例，计算公式为：51125
1525
i i i y a y =--=-∑(i ∈N)．
（2）求a 值(a 保留0.01)； （3）在25°C 室温下，85°C 开水至少大约放置多长时间（单位：min ，保留整数）才能冷至到对身体有益温度？（参考数据：16.6140.92≈，21.5
1
60.92
≈） 21．（本小题满分12分）
已知函数()(2)ln 1f x x x x =-+-．
（1）求曲线()y f x =在点P(1，(1)f )处的切线方程；
（2）已知0x x =是函数()y f x =的极值点，若12()()f x f x =，12x x ≠，1x ，2x ∈R ，求证：1202x x x +>（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）．
22．（本小题满分12分）
已知函数1
()e
x f x ax -=+，()ln g x bx b x =-，其中e 为自然对数的底数，a ，b ∈R ．
（1）讨论函数()f x 在(0，+∞)上的单调性；
（2）当a ＝0时，()()f x xg x ≥对x ＞0恒成立，求实数b 的取值范围．。