二年级下册数学试题-奥数思维拓展：第五讲 和差问题(解析版)全国通用

第五讲和差问题
课前复习
1.二(1)班有学生52人，二(2)班有学生48人，要使这两个班学生人数一样多，应该从二(1)班中调几个学生到二（2）班？
【答案】二(1)班比二(2)班多几人?
52-48=4(人)
二(1)班调几人到二(2)班，使两班人数相等?
4÷2=2(人)
答：应该从二(1)班调2人到二(2)班，两个班学生人数才会一样多.
2. 小华比小荣多12张画片，要使两人的画片一样多，小华应给小荣几张画片?
【答案】12÷2=6（张），小华应给小荣6张画片.
我们先来认识一下和差问题：甲乙两数的和是16，差是2，求甲乙两数各是多少?
类似这样的问题，就叫做和差问题.
搞清楚两个数的和与差是解决和差问题的关键，在解题过程中，有些题目往往不直接告诉我们这两个数的和或差.当我们熟悉了和差问题的特点和解法后，应当有意识地把题目中的数量关系，转化为直接已知的两个量的和与差.
解题的基本公式是：
(两数的和一两数的差)÷2=较小的数较小的数+两数的差=较大的数
(两数的和+两数的差)÷2=较大的数较大的数一两数的差=较小的数
解答完后，将得到的结果放回原题中，看是否符合题意，你就清楚自己做得对不对了.
实践应用
【例1】二年级一班和二班共有85人，一班比二班多3人.问一班、二班各有多少人?
【分析】本题是和差问题的基本题型，已知两个数的和与两个数的差，然后求大小两个数各是多少.和差问题一般可以借助线段图来进行分析.
方法一：一班人数：(85+3)÷2=44(人) ，二班人数：44-3=41（人）
方法二：二班人数：(85-3)÷2=41(人) ，一班人数：41+3=44（人）
【例2】王大伯家养的白兔和黑兔一共有22只，如果再买4只白兔，白兔和黑兔的只数一样多.王大伯家养的白兔和黑兔各多少只?
方法一：黑兔有多少只?
(22+4)÷2=13(只)
白兔有多少只?
22-13=9(只) 或 13-4=9(只)
方法二：白兔有多少只?
(22-4)÷2=9(只)
黑兔有多少只?
22-9=13(只) 或9+4=13(只)
答：白兔有9只，黑兔有13只.
【例3】图书馆的书架上、下两层共存书220本，如果从上层拿出10本放人下层，则两层书架上书数相等.求原来上、下层各存书多少本?
【分析】根据从上层拿出10本放入下层后两层书架上的书同样多，可以知道上层书架上的书比下层书架上的书多2个10本，如果从上层书架中减去10×2=20(本)，就和下层书架上的书同样多，那么上、下两层书架上书的总数减少了20本，这时上、下两层书架上的书的总数就相当于下层书架上书的2倍.
方法一：下层：(220-20)÷2=100(本) 上层： 220-100=120(本)
方法二：上层；（220+20）÷2=120（本）下层：220-120=100（本）
拓展训练
1、陈红和李玲平均身高为130厘米，陈红比李玲高8厘米，陈红和李玲身高各是多少厘米?
【分析】陈红和李玲平均身高为130厘米，她们身高的和为：130×2=260(厘米)
方法一：陈红：(260+8)÷2 =134(厘米) 李玲：134-8=126(厘米)
方法二：李玲：（260-8）÷2 =126(厘米) 陈红：126+8=134（厘米）
2、二(1)班平均分成两组做游戏，如果从第一组调3人到第二组，两组的人数同样多，都是12人，原来两组各有多少人?
【分析】二(1)班一共有学生12×2=24（人），如果从第一组调3人到第二组，两组的人数同样多，那么可以看出第一组比第二组多3×2=6（人），分析到这里就是一道典型的和差应用题了.
方法一：一组：（24+6）÷2=15（人）二组：15-6=9（人）
方法二：一组：（24-6）÷2=9（人）二组：24-9=15（人）
【例4】长方形操场的长与宽相差80米，沿操场跑一周是400米，求这个操场的长与宽是多少米？
【分析】一周有两个长和两个宽，由条件可知长与宽的和为400÷2=200(米)
长是(200+80)÷2=140(米) 宽是(200-80)÷2=60(米)
拓展训练
甲、乙两人同时打字，2分钟共打了240个字，已知甲每分钟比乙多打10个字.问甲、乙两人每分
钟各打多少个?
【分析】2分钟共打了240个字，那么甲、乙两人一分钟就打了240÷2=120（个）.
方法一：甲(240÷2+10)÷2=65(个) 乙 65-10=55(个)
方法二：乙(240÷2-10)÷2=55(个) 甲 55+10=65（个）
【例5】有大、小两个油桶，一共装油24千克，两个油桶都倒出同样多的油后分别还剩9千克和5千克.问：原来大、小两个油桶各装油多少千克?
【分析】两个油桶都倒出同样多的油后分别还剩9千克和5千克，那么也就是说大桶比小桶多4千克的油，知道这两桶油的和，又找到了这两桶油的差，这道题就变成了典型的和差问题的应用题了.
方法一：大桶：（24+4）÷2=14（千克）小桶：14-4=10（千克）
方法二：小桶：（24-4）÷2=10（千克）大桶：10+4=14（千克）
【例6】甲、乙两筐苹果，甲筐比乙筐多19千克，从甲筐取出多少千克放入乙筐，就可以使乙筐中的苹果比甲筐的多3千克?
【分析】如果把初始状态中乙筐的苹果看作0千克，那么甲筐相当于有19千克苹果．同时相当于甲、乙两筐共有苹果19千克．重新取放后问题可改变为：甲、乙两筐共有苹果19千克，其中乙筐中的苹果比甲筐的多3千克，求乙筐中有苹果多少千克．
解：根据分析，从甲筐中取出苹果：(19+3)÷2=11(千克)．
【例7】甲、乙两校共有学生1262人，部分学生因搬家需要转学，已知由甲校转入乙校25人，这样甲校比乙校还多12人，求两校原来有学生多少人?
【分析】由甲校转入乙校25人，这样甲校比乙校还多12人，实际上甲校比乙校多25×2+12=62(人)，乙：(1262-62)÷2=600(人) 甲：1262-600=662(人)
解答和差应用题，首先要弄清两个数相差多少的不同叙述方式．有些题目明确给了两个数的差，而有些应用题把两个数的差“暗藏”起来，我们管暗藏的差叫“暗差”．
本题就是经过转换变形后，成为一个基本的和差问题．
拓展训练
小华和小敏共有铅笔25枝，如果小华用去4枝，小敏用去3枝，那么小华还比小敏多2枝，小华
和小敏原来各有多少枝铅笔？
【分析】如果小华用去4枝，小敏用去3枝，那么小华还比小敏多2枝，这就说明原来小华的铅笔比小敏的铅笔多3枝.找到了这个暗差，这道题就简单了.
方法一：小华：（25+3）÷2=14（枝）小敏：14-3=11（枝）
方法二：小敏：（25-3）÷2=11（枝）小华：11+3=14（枝）
【例8】有三块布料一共190米，第二块比第一块长20米，第三块比第二块长30米.每块布料各长多少米?
【分析】先画线段图
从线段图可以看出，以第一块为标准，第二块减少20(米)，第三块减少20+30=50(米)，总和减少20+50=70(米)，即190-70=120 (米).120米相当于第一块布料长的3倍，求出第一块布料的长度，第二块、第三块就可以求出.
解(1)第一块布料长度的3倍是：190-(20+20+30)=120(米)
(2)第一块布料的长度是：120÷3=40(米)
(3)第二块布料的长度是： 40+20=60(米)
(4)第三块布料的长度是： 60+30=90(米)
【例9】有一个盒子里装满了球，第一次拿出1只，第二次比第一次多拿了2只，第三次比第二次多拿了2只……8次刚好拿完.这盒球共有多少只?
【分析】第一次拿1只，
第二次拿(1+2)只，比第一次多1个2，
第三次拿(1+2+2)只，比第一次多2个2，
第四次拿(1+2+2+2)只，比第一次多3个2，
第八次拿(1+2+2+2+2+2+2+2)只，比第一次多7个2.
解：8+2×(1+2+3+4+5+6+7)
=8+2×28
=8+56
=64(只)
答：这盒球一共有64只.
知道两个数的和，以及它们的差，要求这两个数，这类和差问题的应用题可用下面的公式计算.
(和+差)÷2=大数和-大数=数
(和-差)÷2=小数和-小数=大数
附加题（以下提供的内容，供老师参考使用）
1.【例3】解答后，可将条件改为：如果从上层拿出10本放入下层后，上层比下层还多6本.问题不变.一方面是【例3】的扩展题，另一方面为【例6】的解题思路作铺垫.
10×2+6=26（本）
(220-26)÷2=97(本) 上层 220-97=123(本)
2. 两个连续奇数的和是36，这两个数分别是多少?
【分析】两个连续奇数的差是2.
较小数：(36-2)÷2=17 较大数：36-17=19
3.某一服装厂做童装，甲乙两人共做36件，乙丙两人共做34件，甲丙两人共做38件.三人各做多少件? 评注：本题的最佳解法为解法一.
【分析】：此题关键在于转化为求两个数的和与差.因此，解法较多.
解法一：甲乙36件，乙丙34件，甲丙38件，共36+34+38=108(件)
这正好是甲乙丙和的2倍.因此，甲乙丙和108÷2=54(件)
甲：54-34=20(件) 乙：54-38=16(件) 丙：54-36=18(件)
解法二：甲和丙同样与乙相加，结果甲乙和是36件，乙丙和是34件，说明甲比丙多36-34=2(件)，又知甲丙的和是38件，所以，
甲：(38+2)÷2=20(件) 乙：36-20=16(件) 丙：38-20=18(件)
解法三：甲乙36件加上乙丙34件，就是甲丙与乙的2倍的和，减去甲丙38件，剩下就是乙的2倍乙：(36+34-38)÷2 =32÷2=16(件) 甲：36-16=20(件) 丙：38-20=18(件)
练习五
1.果园共260棵桃树和梨树，其中桃树的棵数比梨树多20棵.桃树和梨树各有多少棵?
【答案】方法一：桃树：（260+20）÷2=140（棵）梨树：140-20=120（棵）
方法二：梨树：（260-20）÷2=120（棵）桃树：120+20=140（棵）
答：桃树有140棵，梨树有120棵.
2．小华和小林一起做花，小华把自己做的花送给小林5朵，两人做的花的朵数一样多，这时小林有12朵花，原来小华做了几朵花?
【答案】一共的花：12×2=24（朵），小华比小林多5×2=10（朵）
方法一：小华：（24+10）÷2=17（朵）小林：17-10=7（朵）
方法二：小林：（24-10）÷2=7（朵）小华：7+10=17（朵）
答：原来小华做了17朵花.
3. 甲乙两个仓库共存大米56包，从第乙仓库调8包到甲仓库，两个仓库大米的包数就同样多了，甲、乙两个仓库原有大米各多少包?
【答案】乙比甲多8×2=16（包）
甲：（56-16）÷2=20（包）乙：56-20=16（包）
答：甲仓库有大米20包，乙仓库有大米16包.
4．书架上有故事书45本，比连环画少10本，科技书比连环画多10本，问：故事书多，还是科技书多?多几本?
【答案】科技书多，多10+10=20（本）
5．有一根钢管长12米，要锯成两段，使第一段比第二段短2米.每段各长多少米?
【答案】第一段：(12-2)÷2=5(米) 第二段：12-5=7(米)
答：第一段长5米，第二段长7米.
6. 兄弟俩现在年龄和是28岁，3年前哥哥比弟弟大2岁，兄弟俩现在各多少岁?
【答案】3年前哥哥比弟弟大2岁，现在哥哥仍比弟弟大2岁，他们的年龄差不变.
哥哥：(28+2)÷2=15(岁) 弟弟：28-15=13(岁)
答：哥哥现在15岁，弟弟现在13岁.
数学故事
报效祖国宏愿------ 华罗庚的故事
同学们都知道，华罗庚是一位靠自学成才的世界一流的数学家.他仅有初中文凭，因一篇论文在《科学》杂志上发表，得到数学家熊庆来的赏识，从此华罗庚北上清华园，开始了他的数学生涯.
1936年，经熊庆来教授推荐，华罗庚前往英国，留学剑桥.20世纪声名显赫的数学家哈代，早就听说华罗庚很有才气，他说：“你可以在两年之内获得博士学位.”可是华罗庚却说：“我不想获得博士学位，我只要求做一个访问者.”“我来剑桥是求学问的，不是为了学位.”两年中，他集中精力研究堆垒素数论，并就华林问题、他利问题、奇数哥德巴赫问题发表18篇论文，得出了著名的“华氏定理”，向全世界显示了中国数学家出众的智慧与能力.
1946年，华罗庚应邀去美国讲学，并被伊利诺大学高薪聘为终身教授，他的家属也随同到美国定居，有洋房和汽车，生活十分优裕.当时，不少人认为华罗庚是不会回来了.
新中国的诞生，牵动着热爱祖国的华罗庚的心.1950年，他毅然放弃在美国的优裕生活，回到了祖国，而且还给留美的中国学生写了一封公开信，动员大家回国参加社会主义建设.他在信中袒露出了一颗爱中华的赤子之心：“朋友们！梁园虽好，非久居之乡.归去来兮……为了国家民族，我们应当回去……”虽然数学没有国界，但数学家却有自己的祖国.
华罗庚从海外归来，受到党和人民的热烈欢迎，他回到清华园，被委任为数学系主任，不久又被任命为中国科学院数学研究所所长.从此，开始了他数学研究真正的黄金时期.他不但连续做出了令世界瞩目的突出成绩，同时满腔热情地关心、培养了一大批数学人才.为摘取数学王冠上的明珠，为应用数学研究、试验和推广，他倾注了大量心血.
据不完全统计，数十年间，华罗庚共发表了152篇重要的数学论文，出版了9部数学著作、11本数学科普著作.他还被选为科学院的国外院士和第三世界科学家的院士.
从初中毕业到人民数学家，华罗庚走过了一条曲折而辉煌的人生道路，为祖国争得了极大的荣誉.。