证明平面与平面垂直(空间向量)

1．利用空间向量证明面面垂直通常可以有两个途径：一是利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直进而转化为线线垂直；二是直接求解两个平面的法向量，由两个法向量垂直，得面面垂直．
2．向量法证明面面垂直的优越性主要体现在不必考虑图形的位置关系，恰当建系或用基向量表示后，只需经过向量运算就可得到要证明的结果，思路方法“公式化”，降低了思维难度．
.用向量证明垂直的方法
(1)线线垂直：证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零.
(2)线面垂直：证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或将线面垂直的判定定理用向量表示.
(3)面面垂直：证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示.
4．若平面α与β的法向量分别是a＝(4,0，－2)，b＝(1,0,2)，则平面α与β的位置关系是( )
A．平行 B．垂直
C．相交不垂直 D．无法判断
解析：∵a·b＝4×1＋0＋(－2)×2＝0.
∴a⊥b，∴α⊥β.
答案：B
面面垂直.
在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为CC1的中点，证明：平面B1ED⊥平面B1BD.
【证明】 以DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为1，
则D (0,0,0)，B 1(1,1,1)，E (0,1，12)，DB 1→＝(1,1,1)，DE →
＝(0,1，12
)，设平面B 1DE 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )，
则x ＋y ＋z ＝0且y ＋1
2z ＝0，令z ＝－2，∴n 1＝(1,1，－2)．同理求得平面B 1BD 的法向量为n 2＝(1，－1,0)，
由n 1·n 2＝0，知n 1⊥n 2，∴平面B 1DE ⊥平面B 1BD .
图3－2－12
4．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 为CC 1的中点，证明：平面B 1ED ⊥平面B 1BD .
[证明] 以DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系．
设正方体的棱长为1，则D (0，0，0)，B 1(1，1，1)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12，DB 1→＝(1，1，1)，DE →＝⎝ ⎛
⎭⎪⎫0，1，12，设平面B 1DE 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )，则x ＋y ＋z ＝0且y ＋12z ＝0，令z ＝－2，则y ＝
1，x ＝1，∴n 1＝(1，1，－2)．同理求得平面B 1BD 的法向量为n 2＝(1，－1，0)，由n 1·n 2＝0，知n 1⊥n 2，∴平面B 1DE ⊥平面B 1BD .
例3：如图3－2－12，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝2，BB 1＝1，E 为BB 1的中点，求证：平面AEC 1⊥平面AA 1C 1C .
【解答】 由题意得AB ，BC ，B 1B 两两垂直，以B 为原点，分别以BA ，BC ，BB 1所在直线为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (2,0,0)，A 1(2,0,1)，C (0,2,0)，C 1(0,2,1)，E (0,0，12)，则AA 1→＝(0,0,1)，AC →
＝(－
2,2,0)，AC 1→＝(－2,2,1)，AE →
＝(－2,0，12
)．设平面AA 1C 1C 的一个法向量为n 1＝(x ，y ，z )，
则⎩⎪⎨⎪⎧
n 1·AA 1→＝0n 1·
AC →＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧
z ＝0，
－2x ＋2y ＝0.
令x ＝1，得y ＝1，∴n 1＝(1,1,0)．设平面AEC 1的一个法向量为n 2＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧ n 2·AC 1→＝0n 2·AE →＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧
－2x ＋2y ＋z ＝0，－2x ＋12z ＝0. 令z ＝4，得x ＝1，y ＝－1.
∴n 2＝(1，－1,4)．∵n 1·n 2＝1×1＋1×(－1)＋0×4＝0， ∴n 1⊥n 2.∴平面AEC 1⊥平面AA 1C 1C .
如图所示，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝2，BB 1＝1，E 为BB 1的中点，证明：平面AEC 1⊥平面AA 1C 1C .
思路探究：要证明两个平面垂直，由两个平面垂直的条件，可证明这两个平
面的法向量垂直，转化为求两个平面的法向量n 1，n 2，证明n 1·n 2＝0.
[解] 由题意得AB ，BC ，B 1B 两两垂直．以B 为原点，BA ，BC ，BB 1分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
则A (2，0，0)，A 1(2，0，1)，C (0，2，0)，C 1(0，2，1)，E ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫0，0，12，
则AA 1→＝(0，0，1)，AC →＝(－2，2，0)，AC 1→＝(－2，2，1)，AE →
＝(－2，0，12)． 设平面AA 1C 1C 的一个法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)． 则⎩⎨⎧n 1·AA 1→＝0，n 1·AC →＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧z 1＝0，－2x 1＋2y 1＝0.
令x 1＝1，得y 1＝1.∴n 1＝(1，1，0)．
设平面AEC 1的一个法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)． 则⎩⎨⎧n 2·AC 1→＝0，n 2·AE →
＝0⇒⎩⎨⎧－2x 2＋2y 2＋z 2＝0，－2x 2＋12z 2＝0， 令z 2＝4，得x 2＝1，y 2＝－1.∴n 2＝(1，－1，4)． ∵n 1·n 2＝1×1＋1×(－1)＋0×4＝0. ∴n 1⊥n 2，∴平面AEC 1⊥平面AA 1C 1C .
如图在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为BB 1的中点，F 为CD 的中点，G 为AB 的中点．求证：平面ADE ⊥
平面A 1FG .
证明：连结D 1F ，以D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在的直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系D －xyz ，设正方体棱长为1.
∴D (0，0，0)，E (1，1，12)，A (1，0，0)，A 1(1，0，1)，G (1，12，0)，F (0，1
2
，0)．
∴AE →＝(0，1，12)，A 1G →
＝(0，12
，－1)，
GF →
＝(－1，0，0)．
∴AE →·A 1G →
＝0＋12－12
＝0，
AE →·GF →
＝0＋0＋0＝0. ∴AE →⊥A 1G →，AE →⊥GF →， ∵A 1G ∩GF ＝G ， ∴AE ⊥平面A 1GF . 又AE ⊂平面ADE ， ∴平面ADE ⊥平面A 1GF .
6.如图， 正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面边长为22，侧棱长为4，E 、F 分别
是棱AB 、BC 的中点，EF ∩BD ＝G .求证：平面B 1EF ⊥平面BDD 1B 1.
[证明] 以D 为原点，DA 、DC 、DD 1分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，
由题意知：D (0,0,0)、B 1(22，22，4)、E (22，2，0)、F (2，22，0)，
B 1E →＝(0，－2，－4)、EF →
＝(－2，2，0)． 设平面B 1EF 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )． 则n ·B 1E →＝－2y －4z ＝0，n ·EF →＝－2x ＋2y ＝0. 解得x ＝y ，z ＝－
24y ，令y ＝1得n ＝(1,1，－2
4
)， 又平面BDD 1B 1的一个法向量为AC →
＝(－22，22，0)， 而n ·AC →
＝1×(－22)＋1×22＋(－24)×0＝0，
即n ⊥AC →
.∴平面B 1EF ⊥平面BDD 1B 1. 10.
如图在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为BB 1的中点，F 为CD 的中点，G 为AB 的中点．求证：平面ADE ⊥平面A 1FG .
证明：连结D 1F ，以D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在的直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系D －xyz ，设正方体棱长为1.
∴D (0,0,0)，E (1,1，12)，A (1,0,0)，A 1(1,0,1)，G (1，12，0)，F (0，1
2，0)．
∴AE →＝(0,1，12)，A 1G →
＝(0，12
，－1)，
GF →
＝(－1,0,0)．
∴AE →·A 1G →
＝0＋12－12
＝0，
AE →·GF →＝0＋0＋0＝0.
∴AE →⊥A 1G →，AE →⊥GF →， ∵A 1G ∩GF ＝G ， ∴AE ⊥平面A 1GF . 又AE ⊂平面ADE ， ∴平面ADE ⊥平面A 1GF .
11．在正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面边长为2，侧棱长为3，E 、F 分别是AB 1、CB 1的中点，求证：平面D 1EF ⊥平面AB 1C .
证明：
把正四棱柱如图放置在坐标系中，则各点坐标为A (2，0,0)，C (0，2，0)，B 1(2，2，3)，D 1(0,0，3)，E (2，
22，32)，F (22，2，32
)． 假设平面AB 1C 的法向量为n 1＝(1，λ1，u 1)，
则n 1应垂直于AC →和AB 1→
， 而AC →＝(－2，2，0)，AB 1→
＝(0，2，3)，
∴n 1·AC →＝－2＋2λ1＝0， n 1·AB 1→＝2λ1＋3u 1＝0. ∴λ1＝1，u 1＝－
6
3. ∴n 1＝(1,1，－6
3)．
再设平面D 1EF 的法向量为n 2＝(1，λ2，u 2)，
则n 2应垂直于D 1E →、D 1F →
. 而D 1E →
＝(2，22，－32)，
D 1F →
＝(22，2，－32
)，
n 2·D 1E →
＝2＋22λ2－32u 2＝0，
∴n 2·D 1F →
＝22＋2λ2－32u 2＝0.
∴λ2＝1，u 2＝ 6. ∴n 2＝(1,1，6)． 由于n 1·n 2＝1＋1－6
3
·6＝0， ∴n 1⊥n 2.
∴平面D 1EF ⊥平面AB 1C .
2．三棱锥被平行于底面ABC 的平面所截得的几何体如图所示，截面为三角形A 1B 1C 1，∠BAC ＝90°，A 1A ⊥平面ABC .A 1A ＝3，AB ＝AC ＝2A 1C 1＝2，D 为BC 中点．
证明：平面A 1AD ⊥平面BCC 1B 1.
[证明] 如图，建立空间直角坐标系．则A (0，0，0)，B (2，0，0)，C (0，2，0)， A 1(0，0，3)，C 1(0，1，3)，
因为D为BC的中点，
所以D点坐标为(1，1，0)，
所以BC→＝(－2，2，0)，AD→＝(1，1，0)，AA1→＝(0，0，3)，
因为BC→·AD→＝－2＋2＋0＝0，BC→·AA1→＝0＋0＋0＝0，
所以BC→⊥AD→，BC→⊥AA1→，所以BC⊥AD，BC⊥AA1，
又AD∩AA1＝A，所以BC⊥平面ADA1，而BC⊂平面BCC1B1，所以平面A1AD⊥平面BCC1B1.三棱锥被平行于底面ABC的平面所截得的几何体如图所示，截面为A1B1C1，∠BAC＝90°，A1A⊥平面ABC，
A1A＝3，AB＝2，AC＝2，A1C1＝1，BD
DC＝1
2.证明：平面A1AD⊥平面BCC1B1.
证明：
如图，建立空间直角坐标系，
则A(0,0,0)，B(2，0,0)，C(0,2,0)，A1(0,0，3)，C1(0,1，3)．
∵BD∶DC＝1∶2，∴BD→＝1
3BC
→，
∴D点坐标为(22
3，2
3
，0)，
∴AD→＝(22
3，2
3
，0)，BC→＝(－2，2,0)，
AA1
→＝(0,0，3)．
∵BC→·AA1→＝0，BC→·AD→＝0，
∴BC⊥AA1，BC⊥AD.又A1A∩AD＝A，
∴BC⊥平面A1AD.又BC⊂平面BCC1B1，
∴平面A1AD⊥平面BCC1B1.
中等难度建系
10．如图3-2-16所示，△ABC 是一个正三角形，EC ⊥平面ABC ，BD ∥CE ，且CE ＝CA ＝2BD ．
图3-2-16
求证：平面DEA ⊥平面ECA ．
【答案】建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz ，不妨设CA ＝2， 则CE ＝2，BD ＝1，C (0,0,0)，A (3，1,0)，B (0,2,0)，E (0,0,2)，D (0,2,1)．
所以EA →＝(3，1，－2)，CE →＝(0,0,2)，ED →
＝(0,2，－1)．
分别设平面CEA 与平面DEA 的法向量是n 1＝(x 1，y 1，z 1)，n 2＝(x 2，y 2，z 2)， 则⎩⎪⎨⎪⎧
n 1·EA →＝0，n 1·
CE →＝0，即⎩⎨⎧
3x 1＋y 1－2z 1＝0，2z 1＝0，
解得⎩⎨⎧
y 1
＝－3x 1，z 1＝0，⎩⎪⎨
⎪⎧
n 2·EA →＝0，n 2·
ED →＝0，
即⎩⎨⎧
3x 2＋y 2－2z 2＝0，
2y 2－z 2＝0， 解得⎩⎨⎧
x 2＝3y 2，z 2＝2y 2.
不妨取n 1＝(1，－3，0)， n 2＝(3，1,2)，
因为n 1·n 2＝0，所以n 1⊥n 2. 所以平面DEA ⊥平面ECA ．
2017·开封模拟)如图，已知AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，△ACD 为等边三角形，AD ＝DE ＝2AB ．
图7-7-4
求证：平面BCE ⊥平面CDE . 【导学号：97190251】
[证明] 设AD ＝DE ＝2AB ＝2a ，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz ，则A (0,0,0)，C (2a,0,0)，B (0,0，a )，D (a ，3a,0)，E (a ，3a,2a )．
所以BE →＝(a ，3a ，a )，BC →＝(2a,0，－a )，CD →＝(－a ，3a,0)，ED →
＝(0,0，－2a )． 设平面BCE 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)， 由n 1·BE →＝0，n 1·BC →＝0可得 ⎩⎪⎨⎪⎧
ax 1＋3ay 1＋az 1＝0，2ax 1－az 1＝0， 即⎩⎪⎨⎪⎧
x 1＋3y 1＋z 1＝0，2x 1－z 1＝0.
令z 1＝2，可得n 1＝(1，－3，2)． 设平面CDE 的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)， 由n 2·CD →＝0，n 2·ED →＝0可得 ⎩⎪⎨⎪⎧
－ax 2＋3ay 2＝0，－2az 2＝0，
即⎩⎪⎨⎪⎧
－x 2＋3y 2＝0，z 2＝0.
令y 2＝1，可得n 2＝(3，1,0)． 因为n 1·n 2＝1×3＋1×(－3)＝0. 所以n 1⊥n 2，
所以平面BCE ⊥平面CDE .
底面是梯形
如图所示，已知四棱锥P －ABCD 的底面是直角梯形，∠ABC ＝∠BCD ＝90°，AB ＝BC ＝PB ＝PC ＝2CD ，侧面PBC ⊥底面ABCD .证明：
(1)P A ⊥BD ；
(2)平面P AD ⊥平面P AB .
证明 (1)取BC 的中点O ，连接PO ，
∵平面PBC ⊥底面ABCD ，△PBC 为等边三角形， ∴PO ⊥底面ABCD .
以BC 的中点O 为坐标原点，以BC 所在直线为x 轴，过点O 与AB 平行的直线为y 轴，OP 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示.
不妨设CD ＝1，则AB ＝BC ＝2，PO ＝ 3.
∴A (1，－2，0)，B (1，0，0)，D (－1，－1，0)，P (0，0，3). ∴BD →＝(－2，－1，0)，P A →＝(1，－2，－3). ∵BD →·P A →＝(－2)×1＋(－1)×(－2)＋0×(－3)＝0， ∴P A →⊥BD
→，∴P A ⊥BD . (2)取P A 的中点M ，连接DM ，则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1，32.
∵DM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32
，0，32，PB →＝(1，0，－3)，
∴DM →·PB →＝32×1＋0×0＋32
×(－3)＝0， ∴DM
→⊥PB →，即DM ⊥PB . ∵DM →·P A →＝32×1＋0×(－2)＋32×(－3)＝0，
∴DM →⊥P A →，即DM ⊥P A .
又∵P A ∩PB ＝P ，∴DM ⊥平面P AB .
∵DM ⊂平面P AD ，∴平面P AD ⊥平面P AB .
9.如图，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD ∥QA ，QA ＝AB ＝12PD .证明：平面
PQC ⊥平面DCQ .
证明 如图，以D 为坐标原点，线段DA 的长为单位长，射线DA ，DP ，DC 分别为x 轴、y 轴、z 轴的正半轴建立空间直角坐标系D －xyz .
依题意有Q (1，1，0)，C (0，0，1)，P (0，2，0)，
则DQ
→＝(1，1，0)，DC →＝(0，0，1)，PQ →＝(1，－1，0). ∴PQ →·DQ →＝0，PQ →·DC
→＝0. 即PQ ⊥DQ ，PQ ⊥DC ，又DQ ∩DC ＝D ，
∴PQ ⊥平面DCQ ，又PQ ⊂平面PQC ，
∴平面PQC ⊥平面DCQ .
[跟踪训练] 如图7-7-5所示，已知四棱锥P -ABCD 的底面是直角梯形，∠ABC ＝∠BCD ＝90°，AB ＝BC ＝PB ＝PC ＝2CD ，侧面PBC ⊥底面ABCD ．
图7-7-5
证明：(1)P A ⊥BD ；
(2)平面P AD ⊥平面P AB ．
[证明] (1)取BC 的中点O ，连接PO ，
∵平面PBC ⊥底面ABCD ，△PBC 为等边三角形，
∴PO ⊥底面ABCD ．
以BC 的中点O 为坐标原点，以BC 所在直线为x 轴，过点O 与AB 平行的直线为y 轴，OP 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示．
不妨设CD ＝1，则AB ＝BC ＝2，PO ＝ 3.
∴A (1，－2,0)，B (1,0,0)，D (－1，－1,0)，P (0,0，3)．
∴BD →＝(－2，－1,0)，P A →＝(1，－2，－3)．
∵BD →·P A →＝(－2)×1＋(－1)×(－2)＋0×(－3)＝0，
∴P A →⊥BD →，
∴P A ⊥BD ．
(2)取P A 的中点M ，连接DM ，则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12
，－1，32. ∵DM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32
，0，32，PB →＝(1,0，－3)， ∴DM →·PB →＝32×1＋0×0＋32×(－3)＝0， ∴DM →⊥PB →，即DM ⊥PB ．
∵DM →·P A →＝32×1＋0×(－2)＋32×(－3)＝0，
∴DM →⊥P A →，即DM ⊥P A ．
又∵P A ∩PB ＝P ，
∴DM ⊥平面P AB ．∵DM ⊂平面P AD ，
∴平面P AD ⊥平面P AB ．
4.在正三棱锥P-ABC 中,三条侧棱PA,PB,PC 两两垂直,G 是△PAB 的重心,E,F 分别为BC 、PB 上的点,且BE∶EC=PF∶FB=1∶2.
(1)求证:平面GEF ⊥平面PBC.
(2)求证:EG ⊥BC,PG ⊥EG.
【证明】(1)如图,以三棱锥的顶点P 为原点,以PA 、PB 、PC 所在直线分别作为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系.
设PA=PB=PC=3,则A(3,0,0),B(0,3,0),C(0,0,3),E(0,2,1),F(0,1,0),G(1,1,0),P(0,0, 0), 方法一:可得=(3,0, 0),=(1,0,0),故=3,所以PA ∥FG.
而PA ⊥平面PBC,所以FG ⊥平面PBC.
又FG ⊂平面GEF,所以平面GEF ⊥平面PBC.
方法二:可得
=(0,-1,-1),=(1,-1,-1).设平面GEF 的法向量是n =(x,y,z), 则有n ⊥,n ⊥,所以{y +z =0,x -y -z =0.
令y=1,得z=-1,x=0,即n =(0,1,-1).
显然=(3,0,0)是平面PBC的一个法向量.又n·=0,所以n⊥.所以平面GEF⊥平面PBC.
(2)因为=(1,-1,-1),=(1,1,0),=(0,-3,3),
所以·=1-1=0,·=3-3=0.
所以EG⊥PG,EG⊥BC.。