钢管下料优化问题

《数学建模》论文

原料钢管下料的非线性优化模型

学院：数学与信息科学学院

专业：信息与计算科学

组员：09102114 **

09102109 董晓旭

指导老师：***

日期：2011 年 4 月 20 日

原料钢管下料非线性优化模型

摘要

本文研究了原料钢管如何下料（切割）使得其总费用最少的问题，建模时主要考虑如何根据顾客的不同需求对原料钢管下料（切割）使得其总费用及余料浪费最少。在一段时期内，每根原料钢管的购价稳定，不妨假设每根原料钢管的价值为1。根据题意，本文为关于钢管下料的优化问题，因此本文建立了整数非线性规划模型，运用LINGO软件求解模型，获得对原材料钢管的最佳下料方案。

通过求解获得了最优方案，结果表明，只需使用三种切割模式切割原料钢管，共需原料钢管19根。模式一所需原料钢管为14根，模式二所需原料钢管为4根，模式三所需原料钢管为1根。每种切割模式下切割成290mm、315mm、350mm、455mm的钢管根数如下表所示：

关键词：钢管下料总费用最少整数非线形规划切割模式

1问题重述

钢管零售商从钢管厂进货时得到的原料钢管长度都是一定的，而顾客需求的钢管长度多样，因此零售商必须将钢管按顾客的需求切割后售出。现有一零售商从钢管厂进货时得到的原料钢管长度都为1850mm，有一客户需要15根290mm、28根315mm、21根350mm和30根455mm的钢管。为了简化生产过程，规定所使用的切割模式的种类不能超过4种，使用频率最高的一种切割模式按照一根原料钢管价值的1/10增加费用，使用频率次之的切割模式按照一根原料钢管价值的2/10增加费用，依此类推，且每种切割模式下切割次数不能太多，规定一根原料钢管最多生产5根产品，此外，为了减少余料浪费，每种切割模式下的余料浪费不超过100mm。根据以上约束条件，求解一个最优下料模型，使得总费用最少。

2 问题分析

对于下料问题首先要确定采用哪些切割模式，所谓切割模式，是指按照顾客要求的长度在原料钢管上安排切割的一种组合。于是问题化为在满足客户需要的条件下，按照哪几种合理的模式，每种模式切割多少根原料钢管最为节省。而所谓节省，可以有两种标准，一是切割后剩余的总余料量最小，二是切割原料钢管的总根数最少。如果按照以上的办法处理，首先要通过枚举法确定哪些切割模式是合理的，并从中选出不超过4种模式，但是这种方法比较复杂。所以我们选择建立整数非线性规划模型分析求解，同时确定切割模式和切割数量，。

钢管进行切割后售出，为取得最大的经济效益要求总费用最少，而在进行切割时，一个合理的切割模模型应尽可能地减少余料浪费（题中给出要求为每根原料钢管浪费量不能超过100mm）。

对要求的四种切割模式进行假设（为缩小可行解的搜索范围可直接假设x1>=x2>=x3>=x4）,根据题目对模型中提出的各种要求将假设的数据进行约束，用LINGO11程序求出最优解，并将求出的最优解代入问题进行验证。

3 模型假设

1.在加工钢管时机器正常工作，垂直切割且按所要求的规格切割。

2.零售商从钢管厂进货时所获得的钢管均为合格品。

3.加工的钢管不考虑因摩擦或加热而引起的变形，即所加工的钢管都是令

人满意的。

4.余额不进行循环加工使用。

5.忽略钢管切割处的废屑。

6.每根原料钢管的价值稳定。

4 符号假设

①Xi：按照第i种模式，原料钢管被切割的根数。

②Ai：第i种模式下，每根原料钢管中切割为290mm规格的钢管根数。

③Bi：第i种模式下，每根原料钢管中切割为315mm规格的钢管根数。

④Ci：第i种模式下，每根原料钢管切割为355mm规格的钢管根数。

⑤Di：第i种模式下，每根原料钢管切割为450mm规格的钢管根数。

⑥Li: 顾客所需钢管规格（L1=290mm, L2=315mm, L3=350mm，L4=455mm）

附加说明：i取1，2，3，4

5 模型建立

Ⅰ、决策变量

规定所使用的切割模式种类不能超过四种，额外切割费用根据所使用的模式频率变化。

可用Xi（i=1、2、3、4）来表示第i种模式下切割原料钢管的根数，显然它们为非负整数。并用ai，bi，ci，di (非负整数)表示第i种模式中每根原料钢管切割为290mm,315mm,350mm和455mm规格的钢管数量。

Ⅱ、决策目标

由于不同切割模式不能超过4种，使用频率最高的一种切割模式按照一根原

料钢管价值的增加费用，使用频率次之的模式按照一根原料钢管价值的增加

费用，依次类推。为方便求解，在此假设原料钢管费用为单位1,于是以总费用最小为目标，即

min z=1.1x1+1.2x2+1.3x3+1.4x4

Ⅲ、约束条件

（1）为满足客户对不同规格的钢管根数的数量需求，应有：

（2）每一种切割模式必须可行、合理，所以每根原料钢管的成品量不能超过1850，也不能少于1750（余料不能大于100），于是

1850≥L1*ai+L1*bi+L3*ci+L4*di≥1750

i=1,2,3,4

（3）每种切割模式下的切割次数不能太多，一根原料钢管最多可生产5根产

品，故有以下约束：

ai+bi+ci+di≤5,i=1,2,3,4

（4）由于切割模式的种类不超过4种且排列顺序是无关要紧的，而切割费用与模式的使用频率有关，不妨假设：

x1≥x2≥x3≥x4

（5）原料钢管的根数不可能少于

=19（根）

考虑一种最浪费的生产计划：若只生产290mm钢管，一根原料钢管切割成6根290mmm钢管，而每种切割模式下的切割次数不能多于5次，所以一根原料钢管切割成5根290mm的钢管，而为满足15根290mm钢管的需求，则需要切割3根原料钢管；若只产生315mm钢管，一根原料钢管可切割成5根315mm钢管，而为满足28根315mm钢管的需求，则需要切割6根原料钢管；若只产生355mm钢管，一根原料钢管可切割成5根355mm钢管，而为满足21根355mm钢管的需求，则需要切割5根原料钢管；若只产生450mm钢管，一根原料钢管可切割成4根450mm 钢管，而为满足30根450mm钢管的需求，则需要切割8根原料钢管。因此，共需3+6+5+8=22根原料钢管，所以有：

19≤x1+x2+x3+x4≤22

（6）最后，加上非负整数约束：

,

,

,

,i=1,2,3,4

ai

xi,

bi

∈z

+

ci

di

总的整数非线性规划模型为：

目标函数：

min z=1.1x1+1.2x2+1.3x3+1.4x4

约束条件：