说题比赛的题目(高中)

说题比赛的题目（高中）
一、题目1：已知O 是坐标原点，点()1,1-A ，若点()y x M ,为平面区域⎪⎩
⎪
⎨⎧≤≤≥+212y x y x 上的一个动点，则OM
OA ⋅的取值范围是（ ）
A 、[]0,1-
B 、[]1,0
C 、[]2,0
D 、[]2,1-
1、题目背景
本题是2011年福建高考理科第8题，以向量运算为切入点，以不等式组所表示的平面区域为载体，以对学生数形结合思想、化归转化思想考查为突破口，重点考查了不等式组表示平面区域、向量运算、最值问题等基础知识以及解决数学问题的运算能力．因此，在本题的问题解决过程中，学生要注意以下几个方面：
（1）是否掌握了利用不等式组表示平面区域的方法； （2）是否掌握了向量的运算；
（3）是否掌握了求最值问题的基本方法； （4）是否掌握了数形结合、化归转化的数学思想与方法．
本题可以在课本必修5第91页练习第1题的小题(2)找到原型题．
题目：求y x z 53+=的最大值和最小值，使y x ,满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≤-+≤≤+3511535y x x y y x
两题目条件一样，解题方法也一样，只是线性目标函数的体现形式不同，但又可以转化为一样：设()y x M ,为可行域内任一点，()5,3A ，则OM OA y x z ⋅=+=53，体现了近年来高考试题“追根溯源，回归课
本”，“源于课本，高于课本”的理念，因此我们在高考复习中应当充分重视课本，研究课本，汲取课本的营养价值，发挥课本的示范功能． 2、解法探究 方法一：目标函数法
解析：b x y y x OM OA b +=+-=⋅=,，作出可行域如图所示，由图1可知：当直线b x y +=经过D 点时，纵截距b 取得最大值，则2max =b ；经过C
点时，纵截距b 取得最小值，则0max =b ．所以，
OM OA ⋅的取值范围为[]2,0 [O ，2]，故选C ．
评注：解题过程中，关键是利用向量运算y x OM OA +-=⋅，将问题转化为求目标函数b x y +=在可行域内纵截距b 的取值范围，化难为简，注重考查数形结合思想、化归转化思想等，考查学生对基本思想和基本数学方法的掌握程度．根据目标函数的几何性质，通过数形结合寻找最优解，这是解决线性规划问题的常规方法． 方法二：向量法
解析：作出可行域如图2
所示，AOM AOM OM OA ∠=∠=⋅cos cos ，所以，OM OA ⋅的最值信赖于OM 在OA 方向上的投影的最值，由图可知：当点M 运动到点D 时，OM 在OA 方向上的投影最大，
()()()22,01,1max
=⋅-=⋅=⋅OD OA OM OA ；当点M 运动到点C 时，OM 在OA 方向上的投影最小，()
()()01,11,1min
=⋅-=⋅=⋅OD OA OM OA ．所以，OM OA ⋅的取值范围为[]2,0
[O ，2]，故选C ．
评注：向量中的投影也是实现目标函数几何化的重要载体，为我们解决线性规划问题筑起一个崭新的方法平台，并且利用向量工具解决此类问题，目标函数的几何意义更直观、更形象，解题过程操作性更强． 3、 试题价值
平面向量作为一个基本工具，在数学解题中有着极其重要的地位与作用，而将它的思想延伸到解决线性规划问题，可谓匠心独特．这不仅仅是知识层面上的交汇，更重要的是思想上、方法上的交汇，不仅有效实现了数学知识和方法的整合，同时对于学生创新意识的培养大有裨益．
引申变式一、已知变量y x ,满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≤≤≥+2
12
y x y x ，则1+x y 的最大值为___________．
解析：作出可行域如图3所求，设()y x M ,为可行域的任意一点，()01，A -，则
()y x AM ,1+=与向量()0,1夹角的余弦为()
2
2
11
cos y
x x +++=
θ，由图可知：当点
M 在点()2,0D 处时，θcos 取得最小值
55
，而此时θtan 取得最大值2，故1
+x y 的最大值为2．
引申变式二、已知变量y x ,满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≤≤≥+212y x y x ，则22--=y x z 的最大值
为___________．
解析：作出可行域如图
4所示，将目标函数转化为
5
2
2522--⋅
=--=y x y x z ，则所求的问题化归为求可行域内的点()
y x M ,到直线 022=--y x 距离的5倍的最大值．由图可知，当点M 在()2,0D 处时，它到直线022=--y x 距离最大，此时在直线022=--y x 上取一点
()0,2N ，则点M 到直线022=--y x 距离的最大值
为
d =
max ，又
()()2,1,2,2-=-=n ND
，则65
4255max =+⋅==z ．
我们在解决有关线性规划问题时，若能站在向量的角度，利用向量的观点，高屋建瓴，有意识地强化用向量解题，就能变单向思维为多向思维，逐步完善学生的认知结构，提高学生的解题能力．
二、题目2：如图1，已知椭圆E 经过点()3,2A ，对称轴为坐标轴，焦点21,F F 在x 轴上，离心率2
1
=e ． (1)求椭圆E 的方程；(2)求21AF F ∠的角平分线所在的直线的方程．
1、题目背景
这道题是2010年高考数学安徽卷文科第17题，完全符合新课标的目标要求，即“了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；能用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题(直线与圆锥曲线的位置关系)和实际问题．”本题是以椭圆为背景考查椭圆的方程及直线的方程．试题背景是大家熟悉的椭圆与角平分线的有机结合，使题目内容饱满、丰富．从知识角度看，能够考查学生对椭圆的方程、直线方程以及角平分线的性质理解程度；从能力角度看，区分学生的运算能力、综合分析能力．有效地考查了学生的层次性和差异性．主要表现在对所提供的条件以及对有关概念的准确理解，通过运算、推理，可以求得问题的正确解答．尤其通过图形，抓住问题的本质，做特殊化处理，得到不同的解题思路，这样既考查了学生能否准确地抓住问题的本质，又能考查学生思维的灵活性和创造性．故此题虽小，其中的“巧”“活”注入了经典题的“灵性”，其中所含的“能力立意”既蕴含数形结合的数学思想方法，也凸现在文字、符号、图形之中，这样的题一定会成为“亮点”题． 2、解法探究
对于第一问，容易求得椭圆的方程是112
162
2=+y x ，下面仅对第二问进行解题探究．
1．抓住“角平分线”的概念作为突破口
从上述分析可知，题目涉及的知识点除去椭圆及离心率外，剩下的就是“角平分线”这个知识点，也是第二问涉及的一个概念．根据“角平分线”的概念、性质进行联想，角平分线具有对应的角的对称轴、内角平分线定理等等，自然形成下面几种解法．
解法1：如图2，1F 关于直线l 的对称点是B 点，对称点B 必然在直线2AF 上，并且有51==AF AB ，由于x AF ⊥2轴，32=AF ，故点B 的坐标为()22-
，
所以直线B F 1的斜率2
1
22021-=+--=
k ，即可得直线l 的斜率是2=k ，所以所求角平分线所在直线l 的方程为()223-=-x y ，即012=--y x ．
解法2：由题设知，()()52,3,3,2,0,22122=-==AF a AF AF A F ，设21AF F ∠的角平分线所在的直线交x 轴于点C ，点C 在线段21F F 上，点C 的坐标为()0,m ，根据角平分线的性质定理知21
2
1CF CF AF AF =
，则()m
m ---=2235，
解得21=
m ，所以点2203,0,21=--=⎪⎭
⎫
⎝⎛m k C AC ，由点斜式，可得所求角平分线所在的直线l 的方程为012=--y x ．
解法3：由题设知，()()()3,2,0,20,221A F F -，设21AF F ∠的角平分线所在的直线交x 轴于点C ，点C 在线段21F F 上，根据题意易知21AF F ∆为直角三角形，而且54,31212===AF ，F F AF ，根据角平分线的性质定理知
352
12
1=
=AF AF CF CF ，由和比性质33
52
21+=+CF CF CF ，化简得232=CF ，由斜率的定义得
2tan 2
2
2==
∠=CF AF ACF k AC ，故而可得所求角平分线所在的直线l 的方程为012=--y x ． 归纳：上述的三种解题方法，完全利用了角平分线的性质(对称性、角平分线性质定理等)进行解题，方法自然顺畅，容易想到思路，过程简单、简捷．
2．抓住“角平分线”的“几何意义”作为突破口
由第一问的椭圆性质和角平分线的几何意义可知，条件所涉及的“角平分线”一定通过直角21AF F ∆的内心，再根据直角三角形的内切圆的性质也可以解决；或利用点到直线的距离公式、点关于直线的对称等基础知识来体现解析几何的基本思想方法；或利用向量的几何性质进行解决此问题．故容易得到下列方法．
解法4：如图3，由题意可以得到Rt 21AF F ∆，其中
54,31212===AF ，F F AF ，借助直角三角形的内切圆的性
质得：内切圆的半径1=r ，又x AF ⊥2轴，22=OF ，结合图形易求得内切圆的圆心坐标为()1,1，故角平分线所在的直线的斜率为2=k ，从而可得所求角平分线所在的直线l 的方程为012=--y x ．
解法5：根据题意可知，()()0,20,221F F -，直线1AF 的方程为
0643=+-y x ，
直线2AF 的方程为2=x ．再由点A 在椭圆上的位置可知，直线l 的斜率为正数．设()y x P ,为l 上的任一点，则有方程25643-=+-x y x ，从而可得所求角平分线所在的直线l 的方程为012=--y x ．
归纳：内切圆的圆心就是三角形的内角平分线的交点，依此对题目进行剖析，梳理思路，在解题过程应用中显得很“巧”．
3．抓“角平分线”的关键词“角”作为突破口
角平分线就是这个角的对称轴，借助三角函数的知识，或利用容易求得的焦点三角形的面积公式来体现对应角的关系，或根据在“同圆(等圆)中相等的圆周角所对的弧相等、弦相等”的性质，进而求得角平
分线所在直线的斜率，自然可知其方程．依此思路可以得到下面的解法．
解法6：根据题意可知，()()()3,2,0,20,221A F F -，且有Rt 21AF F ∆，其中4,3212==F F AF ，可以设
()
002190,0,2∈=∠ααAF F ，由3
4
tan 1tan 22tan 2=
-=
α
αα，解方程得21tan =α或2tan -=α(舍去)，在Rt 2
1AF F ∆中，()
2cot 90tan 0==-=ααl k ，故所求角平分线所在的直线l 的方程为012=--y x ．
解法7：设 ()
002190,0,2∈=∠ααAF F ，椭圆的焦点三角形Rt 21AF F ∆的面积公式得αtan 2b S =∆，又
122221==⨯∆S AF F F ，从而解得2
1
tan =
α，故2cot ==αl k ，从而可得所求角平分线所在直线l 的方程为012=--y x ．
归纳：上述解题方法，反映了解析几何问题最常用、最基本的解决方法：解析法、几何法等．都是从“角平分线”的“角”作为突破口进行探索，发现角平分线就是这个角的对称轴的几何特征，借助三角函数的知识，或利用容易求得的焦点三角形的面积公式来体现对应角的关系，或根据在“同圆(等圆)中相等的圆周角所对的弧相等、弦相等”的性质的策略与手段，进而求解得其方程．。