张量与连续介质力学基本公式总结

第一章：矢量和张量
重要矢量等式： c (a b) (b c)a (a c)b 指标记法： 哑指标求和约定 自由指标规则 协变基底和逆变基底：
gi
i
r i
gi g j i j
i g k ek x g g3 g1 2 g
张量概念
g2
ˆ )dv ˆ (v ˆ dv
ˆ )J J (v
E
1
T ˆ v ˆ ) F 1 FT D F F ( v 2 2
6
几种应力 Cauchy 应力 第一类 Piola-Kirchhoff 应力 第二类 Piola-Kirchhoff 应力 面力 连续介质力学的基本定律 质量守恒定律
g3 g1 g
g3
g1 g2 g
gi' i'i gi
vi' ii' vi v vi gi vi g i
度量张量
g i' ii' g i
vi' i'i vi
i' j' i' j' k l ij T..k' l' i j k' l' T..kl
ˆ (v ) ˆ 0
pn n σ
1
ˆi g ˆj ˆ ij g σ
ij
ˆj P JF σ J gi g
S JF 1 σ F T J km g k g
ˆ σ da P da S F T Tn da
i N N g 1 1g 1 g 2 i g 2 3
3. 正交张量（了解方法）
R (cos( )e1 sin( )e2 ) e1 ( sin( )e1 cos( )e2 ) e2 e3 e3
2
4. 反对称二阶张量的标准形
Ω e2 e1 e1 e2 e3 G
m
动量定理
ˆ σ ˆ f ˆv
f P v
动量矩定理
σ=σ
T
机械能守恒定律
ˆ ˆ v fdv ˆ v σ da
S V
1 ˆ dv ˆ σ : Ddv ˆ ( v v) dt V 2 V
d
变形功率密度
S : E P : F Jσ : D
T
da
ˆ Jdv dv
J ˆ g g det( F )
变形梯度的物质导数
ˆ g ˆk k
ˆ F v F v

F
1

k
g
k
1 ˆ F v
线元、面元、体元 的物质导数
ˆ dr ˆ v ˆ dr
ˆ )da ˆ v ) da ˆ (v ˆ ( ˆ da
第六章 连续介质力学基础
物质导数 Euler 坐标基底矢量的物质导数：
Dg i Dt

g i x
k
v v mk g m
k k i
Dgi Dt

gi x
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v v ik gm
k k m
物质（Langrange）坐标基底矢量的物质导数：
ˆi Dg Dt ˆ i v v g ˆi g
3
tr ( A B ) tr ( A) tr ( B ) tr ( A B ) A. j B.i A : B A : B
i j T T
tr ( A B C ) A. j B. k C.i tr ( B C A) tr (C A B )
ri si ti ijk rj sj t j eijk erst ijk rst rst rk sk tk
ijk ist sj tk t j sk
j j j ... jn
stjk
ijk ijt 2 tk ijk ijk 6
ijk T( i, j,k ,l,m ) T...lm
置换符号
A
in 1 in 3 1 i2 a.i1 a.2 a.i3 ......a.n 1a.n ei1i2i3 ...in
1
a.i1j1a.i2j 2 a.i3j 3 ......a.injn1 ain e Ae 123 1 .n i1i2i3 ...in
i j k
第四章：曲线坐标系张量分析
基矢量的导数
g j i
k
gk
k ij
km
g
i k
kj g j
k m
i
ij g ij ,m
Hamilton 算子

i
i j , k g

m
i j
g
i

i'
g
i'
T
T
i
gi
T gi
ˆi Dg Dt
ˆi g ˆ i v v g
变形梯度张量：
ˆ F dr dr
ˆk gk Fg
ˆk F gk g
F
1
ˆk gk g
ˆk gk g
F
T
ˆ k gk F g
1
ˆ k gk F g
T
5
应变张量
1 1 G u G u G u u u u 2 2 1 1 ˆ G u ˆ u ˆ u ˆ u ˆ u ˆ e G G u 2 2 E
置换张量
ε ijk g i g j g k ijk gi g j gk
ijk gi ( g j gk ) eijk g

ijk
eijk g ( g g ) g
i j k
a b ai b j ijk g k ai b j ijk gk (a b) : ε ε : (a b)
ij T..kl ;s
重要性质： 1．度量张量的协变导数为零 2．置换张量的协变导数为零 3．张量分量的缩并与求协变导数次序可交换 4． s ( A..ijk B.lm ) ( s A..ijk ) B.lm A..ijk (s B.lm )
积分定理
4
da T d T
第二章： 二阶张量
重要性质： T.u u.T T 主不变量
1 Tr (T ) T.ii
ij l m 2 lm T.i T. j
1 2
3 det (T )
(T u) (v w) + u ((T v ) w) + u (v (T w)) 1 u (v w) （T u) [(T v ) w] + u [(T v ) (T w)] + (T u) [(v (T w)] 2 u (v w)
2. 方向导数与导数之间的关系 3. 导数 T ' ( A)
T Aijk
T ( A; C ) T ( A) : C
T Aijk ( gi g j g k )
' ' * '
'
'
( gi g j g k )
4. 张量函数导数的链式法则： H (T ) G ( F (T )) ，则 H (T ) G ( F ) n F (T ) 重要辅助知识
(T u) [(T v ) (T w)] det(T )u (v w)
标准形 1. 特征值、特征向量
T v v
(T G) v 0
3 1 2 2 3 0
2 g g 3 3 g g
2. 实对称二阶张量标准形
T Tij..kl g i g j gk gl
G g ij gi g j g i gi gi g i
v G G v v T G G T T
Ti . j Tik g kj
张量的商法则
T( i, j,k ,l,m )S lm U ijk
A
T da T d
A
da ( T ) ds T
S L
T ds (T ) da
L S
Riemann-Christoffel 张量 欧氏空间特性： ① Riemann 曲率张量等于零 ②张量对曲线坐标的求导顺序可交换 张量的物理分量 掌握张量在标准基下分解时 Hamilton 算子对张量的运算（会求极坐标系下线应 变张量）
2.对称各向同性张量函数表示定理：
H f ( N ) k0G k1 N k2 N 2 ；
其中 H H T ; N N T ；而系数 ki 是 N 的主不变量的函数。 张量函数的导数 1. 方向导数： T ( A; C ) lim
'
1 h
h0
[T ( A hC ) T ( A)] 是 C 的线性函数
掌握用张量方法推导弹性体运动方程（小位移、小应变）
7
T g
i
T i
T
i
T
T gi i
T
i
T
gi
T gi
T i
张量的协变导数
T
ij s ..kl
ij T..kl

s
mj i im j ij m ij m T..kl ms T..kl ms T..ml ks T..km ls
Ω u ω u 1 ω ε : Ω e3 u 2
Ω ε ω
5. 正则张量极分解
T R U V R
第三章 张量函数
概念：各项同性张量函数、解析函数 计算
eT
sin(T )
重要定理： 1. Hamilton-Cayley 定理：
3 1 2 2 3 0 T 3 1T 2 2T 3G 0
小变形、小位移假设下


1 E (u u) 2
在直角坐标系下
;
1 ˆ ˆ) e ( u u 2
1 ui u j uk u k Eij j i i 2 x x x x j
线元、面元、体元
ˆ F dr dr
ˆ JF da