面积——等面积法

面积法在中学数学解题中的巧用

利用同一图形的面积相等，可以列方程计算线段的值，或证明线段间的数量关系；利用图形面积的和、差关系列方程，将相等的高或底约去，可以计算或证明线段间的数量关系。利用等积变形，可以排除图形的干扰，实现“从形到数”的转化，从而从数量方面巧妙地解决问题。

用面积法解题就是根据题目给出的条件，利用等积变换原理和有关面积计算的公式、定理或图形的面积关系进行解题的方法。运用面积法,巧设未知元,可获“柳暗花明”的效果。

有关面积的公式

（1）矩形的面积公式：S=长⨯宽 （2）三角形的面积公式：ah S 2

1

=

（3）平行四边形面积公式: S=底⨯高

（4）梯形面积公式: S=2

1

⨯(上底+下底)⨯高

（5）对角线互相垂直的四边形：S=对角线乘积的一半（如正方形、菱形等） 有关面积的公理和定理 1、面积公理

（1）全等形的面积相等；

（2）一个图形的面积等它各部分面积之和； 2、相关定理

（1）等底等高的两个三角形面积相等；夹在平行线间的两个共底的三角形面积相等；

如下图ACD BCD S S =△△；

反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD

（2）等底等高的平行四边形、梯形（梯形等底应理解为两底的和相等）的面积相等；

（3）等底的三角形、平行四边形面积之比等于其高之比；等高的三角形、平行四边形面积之比等于其底之比；

（4）相似三角形的面积的比等于相似比的平方；

（5）在两个三角形中，若两边对应相等，其夹角互补，则这两个三角形面积相等；

（6）等底等高的平行四边形面积是三角形面积的2倍。

一个长方形分成4个不同的三角形，绿色三角形面积是长方形面积的15%，黄色三角形的面积是21平方厘米。问：长方形的面积是__________平方厘米。

等面积法的应用一：利用平行线间两个共底的三角形面积相等解题。 如图，矩形ABCD 中，AB=3cm ，AD=6cm ，点E 为AB 边上的任意一点，四边形EFGB 也是矩形，且EF=2BE ，则AFC S =△ 9 2cm

如图，在四边形ABCD 中，动点P 从点A 开始沿A →B →C →D 的路径匀速前进到D 为止。在这个过程中，△APD 的面积S 随时间t 的变化关系用图象表示正确的是（ ）

等面积法的应用二：利用同一图形的面积相等，可以列方程计算线段的值。 已知直角三角形两直角边长分别为5和12，斜边上的高为_________ AH 是菱形ABCD 的高，且AC=6，BD=8，则AD=____

把矩形OABC 放置在直角坐标系中, OA ＝6,OC ＝8 ，若将矩形折叠，使点B 与O 重合得到折痕EF,求OB 、折痕EF 的长。（提示：BFOE 是菱形，利用菱形的面积

等于OB EF •2

1

又等于EB*OA ，列方程求出折痕EF 的长.）

D

C

B

P A

F

E

D

C B A

O

25 35

30

40

如图，由图中已知的小三角形的面积的数据，求三角形ABC 的面积？210 平行四边形ABCD 中AC 与BD 交于点O ，AB=10，AD=8，O 到AB 的距离为2，则O 到BC 的距离为__

在平行四边形ABCD 中，∠BAD=300，AB=5cm ，AD=3cm ，E 为CD 上的一个点，且BE=2cm ，则点A 到直线BE 的距离为______。

正方形ABCD 内接于圆O ，E 是CD 的中点，圆的半径为2，则点O 到BE 的距离为_____

如图，矩形ABCD 中AB ＝a ，BC ＝b ，M 是BC 的中点，D EA M ⊥，E 是垂足 求证：D E a b a b

=

+242

2

等面积法的应用三：利用同一图形的面积相等，可以列方程证明线段间的数量关系；利用图形面积的和、差关系列方程，将相等的高或底约去，可以计算或证明。

三边长分别为6、8、10的三角形的三条高的比分别为____ 看图，写代数恒等式:__________________

如图，边长为a 的正ABC △内有一边长为b 的内接正DEF △，则AEF △的内切圆半径为

3

)a b - 如图，已知P 为等边三角形ABC 内一点，过P 作三垂直，三角形ABC 的高为h.试说明PD PE PF h ++=

A

B

C

D P

F

E

已知P 为边长是3的等边三角形ABC 内一点，则P 点到三边的距离之和为___ 求证：等腰三角形底边上任一点到两腰距离的和等于腰上的高（运用面积法可以证明），等腰三角形底边延长线上任一点点到两腰距离的差等于腰上的高。

请应用上述结论完成下题：已知直线33+-=x y 和直线34

3

+=x y ，在直线

33+=x y 上有一点P ，且点P 到直线34

3

+=x y 的距离是2，求P 点的坐标

已知:如图，C是线段AB上的一点，△ACD、△BCE都是等边三角形，AE、BD 相交于O。

求证：∠AOC=∠BOC（提示：过点C作CP⊥AE，CQ⊥BD）

已知：如图，AD是∆A B C的角平分线。求证：AB

AC

BD

DC

=

已知：如图，AD是△ABC的中线，CF⊥AD于F，BE⊥AD交AD的延长线于E。

求证：CF=BE

已知：如图，在∆A B C中，A B A C

>，BD、CE分别为AC、AB边上的高。

求证：B DC

E

>

等面积法的应用四：面积等分线

等积定理：等底等高的两个三角形面积相等；两条平行直线之间的距离处处相等

一、平分三角形面积

（1）过一顶点作等积分割线：找中线；（2）过边上一点作等积分割线

二、平分平行四边形面积：找过对称中心的直线；

三、平分梯形面积：找两底中点所在直线；等积变形成三角形；等积变形成平行四边形

方案一：连结梯形上、下底的中点E、F

方案二：分别量出梯形上、下底a、b的长，在下底BC上截取BE＝1

2

(a＋b)，连

接AE。如果用尺规作图，就是把上底平移到下底一旁作出两底之和，再取两底之和的中点

方案三：取一腰中点，等积变形成三角形或平行四边形

四、平分一般四边形：变形成等积的三角形。

（1）过一顶点作等积分割线；（2）过边上一点作等积分割线

五、平分五边形的面积

练习题1、如图，在△ABC中，BD：DC=1：2，E为AD中点，若△ABC面积为120，则阴影部分面积为

2、有一块方角形钢板如图所示，请你用一条直线将其分为面积相等的两部分。

3、如果花园形状是任意四边形ABCD，四边形内部有一条折线小路AEC刚好平分四边形面积，现在小区的物业公司想把折线小路修成直线小路，由于各种条件限制，小路要通过点A，并且只能修在AC和点E之间，同时还要平分四边形面积，