多目标决策灰色关联投影法

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二：应用举例 应用举例
2）利用公式 理得到 Y ' 。
y ij y ij y0 j
或
y ij
y0 j y ij
求 y ij ,对决策矩阵 Y 进行初值化处
1 0 .5 3 4 1 1 0 .6 7 5 0 0 .3 0 6 8 1 0 .8 6 2 0 0 .8 5 5 7 0 .8 4 5 8 1 1 0 .8 0 7 0 0 .9 4 6 7 0 .8 1 6 6 1
i
D i Ai co s i A i
f ij
Ai A

* *


j 1
m
f ij w j
2
Ai A

j 1
m
wj
2


j 1
m
wj
2 m

j 1
wj
2
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一：基本原理 原理
10、灰色关联投影权值矢量
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一：基本原理 原理
3、最佳决策方案和决策矩阵的确定 记最佳决策方案 A 0 的因素指标为 y 0 j ，且满足： 当因素指标 为效益型时，取
y 0 j m ax y 1 j , y 2 j ， y n j
y 0 j m in y 1 j , y 2 j ， y n j
Ai A
* *


j 1
m
w j f ij w j

j 1 2
m
f ij w j
2
co s i
Ai A

j 1
m
wj
2

j 1
m
( w j f ij )

j 1
m
wj ຫໍສະໝຸດ Baidu
2

j 1
m
( w j f ij )
2
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一：基本原理 原理
9、灰色关联投影值 将模的大小与夹角余弦的大小综合考虑，就可以全面准确的反应 各个决策方案 A i 与理想方案 A *之间的接近程度。称决策方案 A i 在理想 方案 A * 上的投影值为灰色关联投影值 D ，则有
67.40 67.60 67.90 54.55 68.70 64.00 58.10 55.20
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二：应用举例 应用举例
下面就可以列出方案集 A 对指标集 V 的决策矩阵 Y ;
3 6 .9 7 2 9 .0 9 Y 3 6 .9 7 2 9 .1 3 2 3 .9 2 2 7 .2 0 2 4 .0 5 2 2 .9 0 2 0 .4 0 2 7 .2 0 2 .6 0 1 .9 4 2 .6 0 1 .9 7 1 .1 7 2 .4 3 4 .5 5 2 .4 3 3 .6 0 7 .9 2 5 8 .1 0 6 7 .4 0 6 7 .9 0 6 8 .7 0 5 8 .1 0 6 7 .6 0 6 7 .6 0 5 4 .5 5 6 4 .0 0 5 5 .2 0
灰色关联投影值 D 综合的反映了决策方案 A i 与理想方案 A * 之间的 接近程度。称 w j 为灰色关联投影权值，其中：
i
wj
wj
2 m

j 1
wj
2
则灰色关联投影值为： D i


j 1
m
f ij w j （ i 1, 2, n）
根据这些投影值的大小，就可以对多目标做出科学的排序。
综合 能耗
4.55 2.43 3.60 7.92
物耗
技改占固 定资产投 资比例
67.40 67.60 67.90 54.55 68.70 64.00 58.10 55.20
方案集 A ={北京，上海，天津，云南}， 指标集 V ={资金利润率，销售利润率，全员劳动生产率，综合能耗， 物耗，技改占固定资产投资比例}。其中：除了综合能耗和物耗两个指标 属成本型指标，其他四个指标都是效益型指标。
城市轨道交通规划与设计
多目标决策灰色关联投影法
土木工程学院铁道工程系
何安生
2012-4-16
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多目标决策灰色关联投影法
主要内容
一：基本原理 二：应用举例
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一：基本原理 引言
灰色系统（grey systematology ）是由华中科技大学控制科学与工程 系教授，博士生导师邓聚龙于1982年提出的。 按国际惯例，在控制论中，信息多少常以颜色深浅来表示： 信息充足、确定（已知）的为白色， 信息缺乏、不确定（未知）的为黑色， 部分确定与部分不确定的为灰色。 一个待评价的系统本身就是一个灰色系统，因为系统中既有已 被了解的的白色信息，又有尚未发现的黑色信息，而更多的是一般 定性了解的灰色信息。对这样的系统进行综合评价实际上是一个灰 色多目标决策问题。有关灰色多目标决策与评价理论，已有不少的 研究成果。下面介绍灰色关联投影法，它是从矢量投影的角度出发， 解决多目标决策与评价问题。
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V 111 y 1222 A1mm n nm n 2 2 m 1 12 21
一：基本原理 原理
1、属性值（指标值） 多指标决策域集合： {方案1，方案2，...，方案n} A 因素指标的集合： V

A1 , A 2 ,
An
{指标1，指标2，...，指标m} V1 , V 2 , V m
1, ( y ij ) ( n 1) m ( i 0， 2, , n ; j 1, 2, , m ) 进行初值化生成 Y ，
y ij y0 j y0 j y ij
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即： Y ( y ij ) 当指标为效益型时： 当指标为成本型时： 显然，理想方案
y ij y ij
1 f1 1 f 21 f n1
1 f1 2 f 22 fn2
1 f1 3 f 23 fn3


1 w1 f1 m w 2 f2m wm f nm
w1 w f 1 11 w1 f 2 1 w f 1 n1
y 0 j 1( j 1, 2, , m )
一：基本原理 原理
5、其它方案与理想方案的关联度
每一个方案是由 m个因素指标所确定的，它构成V 维因素指标空间 中的一个离散的方案点，进行多目标决策，就是比较空间中各方案点 与理想方案点的关联度。
以 y 0 j 为母因素，以 y ij 为子因素，就可以得到其他方案与理想方案 的关联度。
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二：应用举例 应用该法进行多目标决策的一般步骤
根据评价目的确定评价指标体系后，计算步骤如下:
step1：根据已知的方案集 A 和指标集 V ，首先找出最佳方案 的因 素指标 y 0 j ，然后列出方案集 A 和指标集 V 的决策矩阵 Y ； step2 ：对决策矩阵 Y 进行初值化处理得到 Y '； step3 ：计算出子因素与母因素的关联度； step4 ：由关联度，构造多目标灰色关联判断矩阵 F ； step5 ：由原有评价指标间的权向量构造灰色关联投影权值 w j ； step6 ：计算各个决策方案 A i 在理想方案 A * 上的投影值为灰色关联 投影值 D i 。 step7 ：根据灰色关联投影值 D i 的大小进行排序。
全员劳 资金利 销 售 利 动生产 润率 润率 率 北京 29.09 上海 36.97 天津 29.13 云南 23.92 24.05 22.90 20.40 27.20 1.94 2.60 1.97 1.17
综合 能耗 4.55 2.43 3.60 7.92
物耗
技改占固 定资产投 资比例
67.40 67.60 67.90 54.55 68.70 64.00 58.10 55.20
方案 A i 对指标 V j 的属性值（指标值）为 y ij ( i 1, 2, , n ; j 1, 2, , m )
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一：基本原理 原理
2、指标的分类 （1）“效益”型指标：属性值越大越好的指标。如资金值率，劳 动生产率等。 （2）“成本”型指标：属性值越小越好的指标。如流动资金占用 率，流动资金的周转天数等。
当因素指标 为成本型时，取
则称增广矩阵 Y ( y ij ) ( n 1) m ( i 0， 2, , n ; 1, 为方案集 A 对指标集V 的决策矩阵，即:
Y y 01 y1 1 y n1 y 02 y1 2 yn2 y0m y1 m y nm
很显然，在这里
f 0 1 = f 0 2 = = f 0 m = 1 。
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一：基本原理 原理
7、加权灰色关联决策矩阵 设评价指标间的加权向量为 W w1 , w 2 , w m , W 的确定方法有主客 观赋权法两大类，这里不再详述。
T
F F W
w2 w 2 f1 2 w 2 f 22 w2 fn2
w3 w 3 f1 3 w3 f 23 w3 f n3

wm w m f1 m wm f2m

w m f nm

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一：基本原理 原理
8、灰色关联投影角 将每个决策方案看成一个行向量（矢量），则称每个决策方案 A i与 理想方案 A * 之间的夹角 i 为灰色关联投影角。夹角余弦越大，表明决策 方案 A i与理想方案 A *之间的变化方向愈一致。夹角余弦为:
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二：应用举例 应用举例
1）根据下表数据，最佳方案 A 0 的因素指标为：
A0 3 6 .9 7 , 2 7 .2 0, 2 .6 0, 2 .4 3, 5 8 .1 0, 6 7 .6 0） （
表1 全国科技进步综合排名
全员劳 资金利 销 售 利 动生产 润率 润率 率 北京 29.09 上海 36.97 天津 29.13 云南 23.92 24.05 22.90 20.40 27.20 1.94 2.60 1.97 1.17 综合 能耗 4.55 2.43 3.60 7.92 物耗 技改占固 定资产投 资比例
j 1, 2, , m )
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一：基本原理 原理
4、指标值的初值化处理
无量纲化处理：为了消除量纲和量纲单位不同所带来的的不可公 度性，决策之前首先应将评价指标进行无量纲化处理。
初值化处理：对一个数列的所有数据均用它的第一个数去除，从 而得到一个新数列的方法叫初始化处理。该数列有共同的起点，无量 纲，其数据均大于零。 决策矩阵 Y
记 rij 为子因素关于母因素的关联度，则
rij m in m in y 0 j y ij m a x m a x y 0 j y ij
n m n m
y 0 j y ij m a x m a x y 0 j y ij
n m
常数 称为分辨系数，它的作用在于调整比较环境的大小，即将 比较环境缩小改变，当 = 0 时，环境消失； =1 时，环境“原封不动” 地保持着，通常，取 = 0 .5 。
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一：基本原理 原理
6、灰色关联度判断矩阵
由( n 1) m 个 r 数（用 f ij 代替）组成的矩阵为多目标灰色关联度判 断矩阵 F 。
F f 01 f1 1 f 21 f n1 f 02 f1 2 f 22 fn2 f 03 f1 3 f 23 fn3 f0m 1 f1 m f 11 f 2 m f 21 f nm f n1 1 f1 2 f 22 fn2 1 f1 3 f 23 fn3 1 f1 m f2m f nm
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二：应用举例 应用举例
下面以《中国经济年鉴》的统计资料为基础，进行综合经济效益 评价比较。实例中只采用了四座城市的统计数据。
表1 全国科技进步综合排名
全员劳 资金利 销 售 利 动生产 润率 润率 率 北京 29.09 上海 36.97 天津 29.13 云南 23.92 24.05 22.90 20.40 27.20 1.94 2.60 1.97 1.17