信号与系统 Z变换

jIm[z]
•当n1<0，绝对可和不成立 的最小z值|z1|=R2，则X(z) 收敛域为|z|<R2 •当n1>0时，剔除z=0点， 收敛域为0<|z|<R2
0
Z1
Re[z]
信号与系统（信息工程）
第六章 Z变换
例：求左边序列x(n)= -bnu(-n-1)(b＜1)的Z变换。 解：由信号的Z变换的定义可知

n
信号与系统（信息工程）
第六章 Z变换
单边Z变换

当0≤n≤∞时，得单边Z变换
X ( z ) x ( n) z
n 0
n
2、从离散时间序列直接定义
设x(n)为离散序列，x(n)={x(0)，x(1)，…， x(n) ，…}，则 x(n)的单边Z变换定义为：
X ( z ) Z xn x0z 0 x1z 1 x2z 2 ... x(n) z n
zb
信号与系统（信息工程）
第六章 Z变换
j Im[ ] z
╳
b Re[z]
z b
收敛域零、极点分布
信号与系统（信息工程）
第六章 Z变换
当n→±∞，序列x(n)均不为零时，称x(n)为双边序列， 它可以看作是一个左边序列和一个右边序列之和。对此 序列进行Z变换得到
X ( z ) Z xn

a n z n (az 1 )n
n 0 n 0

2 1 az 1 (az 1)
j Im[ ] z
a Re[z]
1 z X ( z) 1 1 az za
(z a)
信号与系统（信息工程）
第六章 Z变换
x(n) n n1 x(n) n n1 0
n n1

n2
x ( n ) z n x (0)
，
它的收敛域为整个闭域z平面，即0≤|z|≤∞。
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第六章 Z变换
例：已知有限长序列x(n)=u(n+1)-u(n-1)。求x(n)的双边Z变 换及其收敛域。

解： X ( z )


n 1
x ( n) z
n
x ( n) z n x ( n) z n
n 0


n
x ( n) z n
左边序列
1
右边序列
信号与系统（信息工程）
第六章 Z变换
jIm[z]
R1
R2
o
Re[z]
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第六章 Z变换
例 ：已知无限长双边序列x(k)为
x(n) a nu (n) b nu (n 1)
n n n n

1

n
1
n
jIm[z]
a
b
Re[z]
a+b 2
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第六章 Z变换
jIm[z] jIm[z]
|a | |a | o Re[z] o Re[z] o
|a|
jIm[z]
Re[z] |b |
(a)
(b)
(c)
6.1.3 典型序列的Z变换
(1) x(n)=δ (n)
其收敛域。
z u ( n) z 1 ZT z n 3 u ( n 1) z 3
ZT
|z|>1
|z|<3
由线性性质得
z z 2z 4z X ( z) z 1 z 3 ( z 1)( z 3)
2
1<|z|<3
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第六章 Z变换
2. 位移(时移)性 (1)双边Z变换
信号与系统（信息工程）
第六章 Z变换
上式中除了第一项的z=∞处及第二项中的z=0处
外都收敛，所以总收敛域为0＜|z|＜∞。有时将这个 开域(0,∞)称为“有限z平面”。 n2 (2)n1＜0,n2＜0时，有
n2
X ( z)
n n1

x(n) z n
n n1

x( n ) z n
(8) x(n)=nu(n)的Z变换
X ( z ) nz
n 0

n
1z z 2 1 1 z z 12
信号与系统（信息工程）
第六章 Z变换
若
x1 (n) X 1 ( z ) x2 ( n ) X 2 ( z )
ZT
ZT
Rx11 z Rx12 Rx21 z Rx22
ZT
若x(n) X ( z), Rx1 z Rx 2 , 则有
x ( n m) z X ( z )
m
Rx1 z Rx 2
x ( n m) z
式中，m为正整数
m
X ( z ) Rx1 z Rx 2
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第六章 Z变换
证明： 根据双边Z变换的定义，则有
X ( z ) ZT (n)
n
( n) z n 1
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第六章 Z变换
（2） x1 (n) (n m), x2 (n) (n m), m为正整数.
X1 ( z)
X 2 ( z)
(3) x(n)=u(n)
n
n

n
z za
|z|<|a|
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第六章 Z变换
(7)单边正弦序列sinω 0nu(n)和余弦序列cosω 0nu(n)的Z变换
z sin 0 ZT sin 0 nun 2 z 2 z cos 0 1 z 1 z z cos 0 ZT cos 0 nun 2 z 2 z cos 0 1
n

n
z z 1
|z|<1
(5) x(n) a nu (n)( a为实数.虚数.复数).
X ( z)
n
a u ( n) z
n
z za
|z|>|a|
(6) x(n) a nu (n 1).
X ( z)
n
[a u(n 1)]z
n
x ( n) z


n

或
xn lim n 0 n z
因为
n

x(n) z
n

n


x(n) z
n
信号与系统（信息工程）
第六章 Z变换
为满足上述绝对可和的条件，就必须要对|z|有一 定范围的限制。这个范围一般可表示为
Rx z R x
X ( z)
n
xn z

n

n
b
n 0
1
n
z
n
b n z n 1 b n z n
n 1




若公比|b-1 z|＜1，即|z|＜|b|时此级数收敛。此时
1 z X ( z) 1 1 1 b z z b
0 z
信号与系统（信息工程）
第六章 Z变换
x (n ) n n1 x(n) n n1 0
Z变换为
X ( z)
n n1


x(n ) z n
(1) n1≥0时，这时的右边序列就是因果序列。
n n1


x(n) z
n

n n1


x (n ) z1 n
Z [ x(n m)]
令 k=n+m, 则有
n
x ( n m) z n

Z [ x(n m)]
k
x(k ) z
k

( k m )
zm
x(k ) z k z m X ( z )
信号与系统（信息工程）
ZT
则
ax1 (n) bx2 (n) aX1 ( z ) bX 2 ( z ) max Rx11 , Rx21 z min Rx12 , Rx22
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第六章 Z变换
例 ：已知x(n)= u(n) – 3nu(-n-1)，求x(n)的双边Z变换X(z)及
(1) n1＜0,n2＞0时，有
X ( z ) x (n ) z n x (n ) z n x (n ) z n
n n1 n1 n n1 n2 n n1
n2
1
n2
x ( n ) z n x (n ) z n
n 1 n n1
第六章 Z变换
信号与系统（信息工程）
第六章 Z变换
1、从拉普拉斯变换到Z变换 对连续信号x(t)进行理想抽样，即x(t)乘以单位冲激序列
δT(t)， T为抽样间隔，得到抽样信号为
xs (t ) x (t ) T (t ) x(t ) (t nT )
n


n
因此，n1≥0时的右边序列的收敛域可以写成 |R1|＜|z|≤∞（ |R1| = |z1| ）
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第六章 Z变换
j Im[ ] z
例：求指数序列x(n)=anu(n) 的Z变换。 解：显然指数序列是一个 因果序列
z1
0 Re[z]
X ( z ) x (n ) z n
n 0
n 0

双边Z变换定义为：
X ( z ) Z xn
n
x ( n) z n
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第六章 Z变换
例： 已知x(n)=u(n)求其Z变换表达式。 解：
X ( z)
n


u(n ) z n z n 1 z 1 z 2

( n m) z

n
z
m
z 0
z
n
( n m) z
n
n
z
m
X ( z)
n
u ( n) z

z z 1
|z|>1
信号与系统（信息工程）
第六章 Z变换
(4) x(n)= -u(-n-1)
X ( z)
n
[u(n 1)]z
显然其收敛域为0≤|z|＜∞，是包括零点的半开域，即除z=∞ 外都收敛。 (3)n1＞0,n2＞0时，有 n2 X ( z ) x(n) z n
n n1
显然其收敛域为0＜|z|≤∞，是包括z=∞的半开域，即除z=0 外都收敛。
信号与系统（信息工程）
第六章 Z变换
X ( z)
(4)特殊情况，n1=n2=0时，这就是序列
n 0

由等比数列求和的性质可知，上式的级数在 |z-1|≥1时是发散的，只有在|z-1|＜1时才收敛。这时无
穷级数可以用封闭形式表示为
X ( z) z
n 0 n
1 1 z 1
1 z
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第六章 Z变换
6.1.2 Z变换的收敛域
对于任意给定的有界序列x(n)，使其Z变换式收敛的所有z 值的集合，称为Z变换X(z)的收敛域。 X(z)存在或级数收敛的充分条件是幂级数满足绝对可和
由此可见Z变换的收敛域为z平面上是一个以Rx- 及 Rx+为半径的两个圆所围成的环形区域。
j Im[ ] z
Rx－ Rx＋
Re[z]
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第六章 Z变换
根据离散序列x(n)的特性讨论X(z)的收敛域：
x(n) n1 n n2 x(n) n n1 , n n2 0
x(nT ) (t nT )
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第六章 Z变换
X s ( s) L[ xs (t )]
令 ，Xs(s)变为X(z)，得
n
x(nT )e
n

snT
X ( z)
取T=1，得
n
x(nT ) z

X ( z)
n
x ( n) z
式中，|b|>|a|。求x(k)的双边Z变换及其收敛域。 解 x(n)的双边Z变换为
X ( z)
n
a u (n) b u (n 1)z
n
n
n
a z
n
n
n 0
n
b n z n
1
信号与系统（信息工程）
第六章 Z变换
a b X ( z) a z b z n 0 n n 0 z n z 2 z (a b)z |a|<|z|<|b| z z z a z b ( z a )( z b)
n

n
[u (n 1) u (n 1)] z n
n 1
z n z 1 z 1
n
n
x(k ) z

n 1
z
1
n
1 z 1 z
所以，当
0 z 时，上式级数收敛。于是得
1 2
z z 1 X ( z) z 1 z z