合成法则悖论分析

一种D-S 合成法则悖论消除方法的不稳定性分析
摘 要：首先介绍了证据理论及其合成法则，针对梁昌勇教授提出的合成法则悖论消除方法
进行了分析，说明消除方法的不稳定性。

最后，对合成法则的优势和不足加以分析。

关键词：证据理论 合成法则悖论 可信度分配 不稳定性
一、引言
证据理论（或称 Dempster-Shafer 理论）是从概率论发展而来的一种样本空
间度量理论，它最早始于 Dempster 关于上下概率分布簇的研究，Dempster 的
学生Shefer 在1976年给出严格的数学理论并指出信任函数可以表示不确定性知
识及其推理。

对比经典概率论的完整理论体系，证据理论的两个基本的证据度量
函数即信任函数和似然函数作为概率函数的推广，它们成立的条件弱于概率函数
（不需要了解命题的先验概率），具有直接表达“不确定性”的能力，对不确定
性问题的处理具有更大的灵活性和更广泛的应用领域。

因此，目前该理论已获得
广泛应用，如在信息融合、数据挖掘、模式识别、决策分析模型等等应用领域均
有以证据理论为基础的成功应用案例。

但是，该理论尚有一些不尽人意的地方。

尤其是，在理论上缺乏一个大家所认同的合理解释和证据理论（Dempster-Shafer ）
合成过程中会产生一些悖论。

本文着重分析了悖论产生的原因所在和一种消除方
法的不稳定性，从本质上说明悖论的不可消除性。

二、 D-S 证据理论基本概念及其合成法则
设U 表示X 的所有可能取值的论域集合，其所有在U 内的元素间是互不相
容的，则称U 为X 的识别框架。

1、基本概率赋值。

设U 为一个识别框架，如果函数]1,0[2:→U M 在满足下
列条件：
（1）0)(=φM
（2）∑=1)(A M
U A ⊂时，则称)(A M 为A 的基本概率赋值。

2、信任函数。

设U 是一个识别框架，]1,0[2:→U M 是U 上的基本概率赋值，
定义函数
]1,0[2:→U BEL
∑=)()(B M A BEL )(U A ⊂∀
称该函数是U 上的信任函数。

3、似真度函数。

设U 是一识别框架，定义]1,0[2:→U PL 为
∑=-=)()(1)(B M A BEL A PL
PL 称为似真度函数。

)(A PL 表示不否定A 的信任度，是所有与A 相交的集合的基本概率赋值之
和，且有)()(A PL A BEL ≤，并以)()(A BEL A PL -表示对A 不知道的信息。

规定
的信任区间)](),([A PL A BEL 描述A 的不确定性。

4、Dempster-Shafer 合成法则。

证据理论中的合成法则提供了组合证据的两
个规则。

设1M 和2M 是U 2上的两个相互独立的基本概率赋值，确定组合后的基
本概率赋值：21M M M ⊕=
设1BEL 和2BEL 是同一识别框架U 上的两个信任函数，1M 和2M 分别是其对
应的基本概率赋值，焦元分别为k A A ,,1 和r B B ,,1 ，又设
1)()(211 ∑==
φj i B A j i B M A M K
那么，由下式定义的函数]1,0[2:→Θm 是基本可信度分配：
Φ≠---------
=Φ
=-------------------=Φ∑∑Φ==A B m A m B m A m A m A m J I J I B A j i A B A j i
)()(1)()()(0)(2121
在上式中，若,1≠K 则M 确定一个基本概率赋值；若1=K ，则认为1M 和2
M 完全冲突，不能对基本概率赋值进行合成。

以上定义的证据组合规则称为
D-S
合成法则。

三、合成法则悖论及其消除方法分析
1、合成法则悖论
从证据合成法则中，我们容易看到：如果冲突系数K 等于1时，表示证据
完全冲突，此时不能进行合成；当K 接近于1时，虽然可以按照合成法则进行
融合，但是由于冲突值接近于1，合成的结果往往会产生悖论，出现的不合理结
果与实际的情况相违背。

下面举一个悖论的实例加以具体说明，即著名的Kyburg 悖论。

某地区发生凶杀案，嫌疑人为b a ,和c ，有两个人向警方提供证据：
1E ：
证人e 为住在被害人屋子对面的老妇，称事发时段透过窗户看见嫌疑人a 在凶杀现场。

2E ：证人f 为被害人的邻居，称在事发时段看见嫌疑人c 在凶杀现场。

假设我们得到如下基本概率指派：
99.0})({1=a m 01.0})({1=b m 0})({1=c m
0})({2=a m 01.0})({2=b m 01.0})({2=c m
对两条证据进行合成，首先计算证据的冲突程度k ：
9999
.099.001.099.099.001.099.0)}
({})({})({})({})({})({})({})({})({})({})({})({212121212121=⨯+⨯+⨯=+++
++=b m c m a m c m c m b m a m b m c m a m b m a m k
由于k k ,1→接近1，表示证据冲突程度很大，此时若用D-S 证据合成法则
合成，其结果为：
0})({=a m 1})({=b m 0})({=c m 由此可见，两条证据对b 的支持度为0.01，但融合结果却是1。

也就是说，
两个证人都认为b 几乎不可能是杀人犯，但证据合成后，b 却确定成为杀人犯。

这很显然与常理相违背。

2、悖论消除方法及其分析说明
先后有很多专家教授对此悖论进行了分析修正。

本文着重对可信度分配上的修正进行分析说明。

梁昌勇教授认为：产生悖论的原因是证据1E 给予了a 过高的概率指派，却给予c 过低的概率指派；而证据2E 却恰恰相反。

他对上述悖论提出了如下的消除方法：
考虑到专家给出的概率分配函数是基于自己的专业知识和经验判断，所以，应当考虑对两位专家的意见进行折衷。

如果经过统计得知专家1在类似的判断中其正确率为1α；而专家2在类似的判断中其正确率为2α；称1α是专家1的权威，2α是专家2的权威。

就上述悖论而言，若有8.01=α ，7.02=α，对专家1和专家2的原始概率分配进行修正，修正方法如下：
专家1修正后的概率为11)(x A m = ， 21)(x B m = ， 33)(x C m =，其中321,,x x x 满足：
专家2修正后的概率为12)(y A m = ，22)(y B m = ， 32)(y C m =，其中321,,y y y 满足：
由上述修正的方法可以得到修正后的专家概率为：
792.0)(1=A m 109.0)(1=B m 099.0)(1=C m
1485.0)(2=A m 1585
.0)(2=B m 693.0)(2=C m 经计算得，796059.0=k ；用D-S 合成法则进行合成得到：
5767.0)(=A m 0824.0)(=B m 3364
.0)(=C m 这样可得到两组证据合成后对A 的支持度为0.5767，对B 的支持度为0.0824，对C 的支持度为0.3364。

其实，我们不难发现，如果利用梁昌勇教授的修正方法，只要将可信度分配重新设置一下，就会出现截然不同的结果。

具体修正方案如下：
专家1修正后的概率为1
1)(x A m '= ， 21)(x B m '= ， 33)(x C m '=，其中321
,,x x x '''满足：
可以计算得到：
792.01='x 179.02='x 029.03
='x 同理，也对专家2的分配概率赋予同样的数值进行修正，可以计算得到：
029.01='y 179.02='y 792
.03='y 所以，可以计算得到：
7.099.03⨯=y
01.012+=y y
1321=++y y y
9220
.0)179.0029.0(029.0)029.0792.0(179.0)792.0179.0(792.0=+⨯++⨯++⨯=k 2946.09220.01029.0792.0)(=-⨯=
'A m 4108.09220
.01179.0179.0)(=-⨯='B m 2946.09220.01029.0792.0)(=-⨯='C m 如果我们再换取另外一组数值可得：
专家1修正后的概率为1
1)(x A m ''= ， 21)(x B m ''= ， 33)(x C m ''=，其中321
,,x x x ''''''满足：
经计算得， 9405.01
=''x 05725.02=''x 00225.03=''x 同理，也对专家2的分配概率赋予同样的数值进行修正，可以计算得到：
00225.01=''y 05725.02
=''y 9405.03=''y 所以，9925.0=k
28215.0)(=''A m 4357.0)(=''B m 28215
.0)(=''C m 这样的话，仅仅由于改变了具体的修正数值，就得到了截然不同的结果。

并且，当两个专家对b 的支持度较低时，经过了证据合成后，由于他们的意见冲突明显，却使得对b 的支持度得到了明显的效应放大。

可见，这个方法并没有从根本上消除了合成法则的悖论。

四、合成法则及其悖论分析的意义
证据理论的优势：证据理论用集合来表示命题，将对命题的不确定性描述转
化为对集合的不确定性描述。

讨论的对象是目标集的幂集，在对证据信息的表示上，能够区分不确定和不知道的差异，对不确定性问题的描述更接近人的思维习惯，能较好地处理具有模糊和不确定信息的合成问题。

在实际的问题中，由于证据理论对证据的处理灵活，且证据理论对不确定性的描述更接近于人类的思维习惯，因而，在个体因素起到重要作用的群决策过程中，证据理论发挥了独特的作用。

但是，不同专家给出证据时，尽可能体现自己的专业知识。

因而，在证据合成过程中，会出现两信任函数的焦元不相交即证据发生冲突的情况。

此时，组合规则得到的结论往往是不合理的。

对证据组合规则的改进首先要研究冲突证据的基本信任度分配问题，已有的研究或是把冲突的基本信任分配加入)
Θ
m用来表示证据理论的冲突，但是m中，或是假设)0
(
(Θ
这样就破坏证据推理的封闭性，从而带来其他问题。

这些问题在群决策中变得尤为突出。

由此可以看出，证据理论的不足之处为：证据理论计算出的结果在数值上有时缺乏稳定性，基本概率分配的的微小变化有时可能引起结果的较大变化，从上述的悖论消除方法及其分析中可以看出。

特别是应用于决策分析时，决策结果的稳定性得不到保障；证据完全冲突时，证据合成法则无法使用。

所以，严格的讲，上述中梁昌勇教授提出的悖论消除方法并未从根本上消除悖论。

从理论本身来讲，由于合成法则成立的条件相对于贝叶斯公式而言，不需要了解命题的先验概率，即成立条件弱于贝叶斯公式。

这样，也就决定了在证据合成过程中必然有一些不稳定因素的存在，悖论就是成立条件较弱带来的必然结果，是无法从本质上进行消除的。

其实，由于证据冲突明显，证据合成得到的结果尽管有些情况下和常理相违背，有些情况在一定程度上和实际的决策中还是有些一致性的。

比如，在群决策的过程中，由于利益双方冲突明显争执不下时，往往决策结果会趋向中立，或者说，本来在决策中处于弱势的第三方往往由于实力较强两方的冲突严重而受益最大。

这样，也就从实际问题的角度出发，说明了合成悖论存在的合理性和不可消除性。

值得一提的是，张所地等广大学者教授对D-S证据理论的研究为决策理论的发展作出了应有的贡献。

尤其是，张所地教授提出的三个悖论为我们在群决策中如何更好更合理的利用合成法则提供了很大帮助，为我们划定了一个合成法则可行的区域和不适用的范围。

尽管，梁昌勇教授的悖论消除方法并未从根本上消
除合成法则悖论，带来了结果的不稳定性，但是，他提出的消除方法对我们更好的利用合成法则有很好的启示。

通过这种分配度重新分配的方法，使得我们对冲突的证据不再盲目地全盘否定，提高了合成结果的可靠性与合理性。

通过悖论的分析，我们让经典的D-S证据理论获得了新生，也有了更为广泛的应用领域。

参考文献
[1]张所地：《管理决策论》，高等教育出版社，2001.05.
[2]梁昌勇等：《Dempster-Shafer合成法则悖论的一种消除方法》，系统工程理论与实践，2005.03
[3]张所地、王拉娣：《Dempster-Shafer合成法则悖论》，系统工程理论与实践，
1997，17（5）：82-85。