人寿保险精算现值PPT(59张)

4.1 死亡年末赔付的人寿保险
死亡年末陪付是指如果被保险人在保障 期内发生保险责任范围内的死亡 ，保险公司 将在死亡事件发生的当年年末给予保险赔付。
死亡年末陪付时刻是一个离散随机变量， 它距保单生效日的时期长度就等于被保险人 签约时的整值剩余寿命加1。
1. 终身寿险
对 ( x ) 的1单位元死亡年末赔付终身寿
其精算现值以 m A x 表示，有
x1
mAx E(Z) vk1kqx km
显然有
Ax
A1 x:m
mAx
5.延期m年的n年定期寿险 延期m年的n年定期寿险是指从x+m岁起 的n年定期寿险。对(x) 的1单位元延期m年n 年定期寿险，其赔付现值随机变量为
0 , K0 ,1 ,2 , ,m 1 Z vK 1,Km ,m 1 , ,m n 1
●赔付现值随机变量的方差：
V(a Z )r E (Z 2) [E (Z )2 ]


E(Z2)
v2(k1)kqx
e q 2(k1) kx
k0
k0
E ( Z 2 ) 相当于以计算趸缴净保费利息力
的两倍计算的趸缴净保费。
记 有
2Ax E(Z2)
Va (Z)r2A x(A x)2
(x) 的1单位元n年两全保险的精算现值为
n1
A x:n
vk1 k qx vn n px
k0
A1 A 1
x:n
x:n
其中 A 1 表示1单位元给付纯生存险的 x:n
精算现值。
☆两全保险现值随机变量的方差
设Z为两全保险现值随机变量，Z1为n年 定期现值随机变量，Z2为n年纯生存保险现值 随机变量，则Z1和Z2不会同时发生，我们有
A 4 10:35%k 40vk1kq40k 401.01 5k1dl44 00 k
例2: 某人在50岁时购买了保险金额为10万元 的终身寿险，假设生存函数为
s(x) 1 x , 105
保险金在死亡年末给付，i=10%，求这一保 单的精算现值。
注: 在符号 A 1 中，令n=1，即得 A 1 ，在
Var(Z)Var(Z1Z2) Var(Z1)Var(Z2)2E(Z1)E(Z2)
Z2 的方差为
Var(Z2) E(Z22)[E(Z2)]2 v2n n px [vn n px]2 v2n n px nqx
例3: 设（35）投保5年两全保险，保险 金额为1万元， 保险金死亡年末给付， 按附表1示例生命表计算其趸缴纯保费。
本节考虑如下险种的精算现值：
● 终身寿险 ● 定期寿险 ● 生存保险 ● 两全保险 ● 延期保险 ● 变额保险
Whole life insurance Term life insurance Pure endowment insurance Endowment insurance Deferred insurance Varying insurance
其精算现值以 m n A x
或
m
A1 x :n
表示，有
mnBaidu Nhomakorabea1
mn Ax E(Z)
vk1 k qx
km
A1 A1
x : mn
x:m
6.标准变额寿险
如果保险契约规定的赔付数额随着死亡时 间的变动而不同，这样的寿险称为变额寿险。
如果赔付额 bK1K1，K是从投保开始到
险，其精算现值以 A x 表示。
记 K(x) k 为 x岁投保人的整值剩余寿命，
下面计算 A x
死亡年末1单位元赔付在投保时的现值随
机变量为 ZvK1 ，它的期望就是其精算现值.
因为 所以
P (Kk) kpxqxk kqx
A xE (Z)k x0 1vk 1kqxl1 xk x0 1dxkvk 1
赔付现值随机变量的方差反映赔付现值 随机变量的变动幅度，用于衡量保险公司承 担的赔付风险程度。
2.定期寿险
对(x) 的1单位元死亡年末赔付n年定期寿险， 其现值随机变量为
vk1, k0,1,2,,n1 Z0, kn,n1,
精算现值以 A 1 表示，有 x :n
n1
A1 E(Z) x:n
死亡时存活的整数年数，这时的变额寿险称为 标准递增的变额寿险。
标准递增的终身寿险
Z (K1)vK1, K 0,1,2,
vk1kqx
k0
Z的方差为
其中
Var(Z)2A1 (A1 )2
x:n
x:n
n1
2A1 E(Z2) x:n
v2(k1) k qx
k 0
n1
v2 (k1) k qx k 0
例1: 某40岁的人投保了5年10000元定期寿险， 保险金在死亡年末给付，根据中国人寿保险 业经验生命表（2000-2003）（男性表）计 算趸缴纯保费（利率5%）。
x :n
x :1
人寿保险中又称为自然保费，它是根据每一
保险年度、每一被保险人当年年龄的预定死
亡率计算出来的该年度的死亡纯保费，用符
号cx 表示，即
cx
vqx
1 1i

dx lx
3.两全保险：定期寿险与生存保险的合险。 对(x) 的1单位元n年两全保险，死亡年末1 单位元赔付现值随机变量为
vk1, k0,1,2, ,n1 Zvn, kn,n1,
第4章 寿险精算现值
精算现值（Actuarial present value） 是保险赔付在投保时的期望现值，也就是趸缴 纯保费（Net single premium） 。
保险费又称为总保费或毛保费，可以分为 净保费（纯保费）和附加保费。 净保费是补偿 保单所承诺的赔付和给付责任必需的缴费部分， 附加保费是补偿保险公司因出售和管理保单发 生的费用需要的缴费部分。
A A1 A 1
35 :5
35 :5
35 :5
4

v k 1 k q35 v 5 5 p35
k0

1 l35
4
( v k 1d 35k
k0

v5l40 )
4.延期m年终身寿险 对(x) 的1单位元死亡年末赔付 m年延期 终身寿险，现值随机变量为
0, K0,1,2, ,m1 Z vK1, Km,m1,