2021届广东省韶关市高三四校第一次调研数学试卷(理科)

2021届广东省韶关市高三四校第一次调研数学试卷（理科）
韶关一中 九十七中 七中 实验中学
考生注意：
1．答卷前，考生务必将姓名、高考座位号、校验码等填写清楚． 2．本试卷共有22道试题，满分150分．考试时间120分钟．
一．填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分．
1．3
(1i)(2i)
i --+= ．
【答案】3i -- 【解析】略
2．不等式11(sin 2)011x x x ⎛⎫
+⋅-<
⎪++⎝⎭
的解集为 ． 【答案】{1}x x >-
【解析】由于sin 20x -<，所以
11011x x +>++，所以1
01
x >+，所以1x >-． 3．设M 是椭圆22
143
x y +=上的动点，1A 和2A 分别是椭圆的左、右顶点，则12MA MA ⋅的 最小值等于 ．
【答案】1-
【解析】设00(,)M x y ，则100200(2,),(2,)MA x y MA x y =---=--
22222120000031
4(3)4144
MA MA x y x x x ⇒⋅=+-=+--=-，
显然当00x =时，12MA MA ⋅取最小值为1-．
4．设()f x 是定义在R 上的奇函数，且(3)()1f x f x +⋅=-，(1)2f -=，则
(2008)f = ．
【答案】
1
2
【解析】本题关键“寻规律，找周期．．．．．．．
”． 由(1)2f -=得，1(13)(1)1(2)2
f f f -+⋅-=-⇒=-
；
(23)(3)1(5)2f f f +⋅=-⇒=；1
(53)(5)1(8)2
f f f +⋅=-⇒=-；
(83)(8)1(11)2f f f +⋅=-⇒=，．．．．．．
显然()f x 的周期为6T =，所以1
(2008)(33464)(4)(2)(2)2
f f f f f =⨯+==-=-=
．
5．将一个钢球置于由6m ）的钢管焊接成的正四面体的钢架内，那么，这个钢球的最大体积为 3
()m ． 【答案】
6
π 【解析】设正四面体为P ABC -，设点P 在底面ABC 上的射影为P '、球心为O 、正四面
体的边长和高分别为,a H 。

由于钢球体积最大时与四个面都相切。

由题设点P 在 底面ABC 中的射影P '必是底面ABC 的中心。

显然O 将正四面体分割为四个体积 相同的正四面体,,,O ABC O PAB O PBC O PCA ----，所以有
114433S H S R H R ⎛⎫
⨯⨯=⨯⨯⨯⇒= ⎪⎝⎭
底底，
容易求得3H a =
，代入可求得1
2
R =。

所以钢球的最大体积为 3436
V R π
π==。

6．化简：cos sin 36ππαα⎛⎫⎛⎫
+++=
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
． 【答案】cos α
【详解】（方法一）：利用＂两角和公式＂直接求解；
（方法二）：cos sin sin sin 3623
6πππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
+++=-+++
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ sin sin 2sin cos cos 666πππαααα⎛⎫⎛⎫
=-++==
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
．
7．已知P 是双曲线22
219
x y a -=右支上的一点，双曲线的一条渐近线方程为30x y -=．设12
F F 、分别为双曲线的左、右焦点．若23PF =，则1PF = ．
【答案】5
【详解】由双曲线的一条渐近线方程为30x y -=可得：2a =，又双曲线的定义知
12112325PF PF a PF PF -=⇒-=⇒=．
8．已知一个凸多面体共有9个面，所有棱长均为1，其平面展开图如右
图所示，则该凸多面体的体积V = ．
【答案】1 【详解】凸多面体为：下半部分为正方体3
111V ==
，上半部分为正四棱锥221132
V =⨯⨯． 9．已知无穷数列{}n a 前n 项和1
13
n n S a =-，则数列{}n a 的各项和为 ． 【答案】1- 【详解】 由113n n S a =-可得：11113n n S a --=-，两式相减得并化简：11
2
n n a a -=-， 又11113132
a a a =
-⇒=-．所以1lim 11n x a
S q →∞==--．
10．古代“五行”学说认为：“物质分金、木、土、水、火五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金．”将五种不同属性的物质任意排成一列，设事件A 表示“排列中属性相克的两种物质不相邻”，则事件A 出现的概率是 （结果用数值表示）． 【答案】
1
12
【详解】如下图，当左边的位置排定后（例如：金），第二位（除去金本身）只有“土、水”两种属性。

第二位排定后，其他三种属性也确定。

故有1
1
5210C C =，
所以事件A 出现的概率是11
525
51
20
C C A =。

例如： （也可用列举法）。

11．已知12,,
,n a a a ；12,,,n b b b （n 是正整数），令112n L b b b =++
+，
223L b b =+,
n b ++，n n L b =．某人用右图分析得到
恒等式：1122n n a b a b a b +++
112233......k k n n a L c L c L c L c L =++++++
+，
则k c = (2)k n ≤≤． 【答案】1k k a a --
【详解】由图中的面积可得11232123()()()n n S a b b b b a a b b b =+++⋅⋅⋅++-++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅
1211()()()n n n n n n n a a b b a a b ----+-++-
所以k c =1k k a a --．
12．已知(1,2),(3,4)A B ，直线1l ：20,
:0x l y ==和3:l x +3y 10-=．设i P 是
i l (1,2,3)i =上与A 、B 两点距离平方和最小的点，则△123PP P 的面积是 ．
【答案】
3
2
【详解】（图略）设12300(0,),(,0),(,)P b P a P x y ．由题设点1P 到,A B 两点的距离和为
d ==．显然当3b =即1(0,3)P 时，点1P 到,A B 两点的距离和最小．
同理23(2,0),(1,0)P P ，所以123
2313
22
P P P S P P b ∆=⨯⨯=． 二．选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得 4分，否则一律得零分． 13．已知向量(2,3),
(3,)a b λ=-=，若//a b ，则λ等于
A ．
23 B ．2- C ．92- D ．2
3
- 【答案】C
14．已知椭圆
22
1102
x y m m +=--，长轴在y 轴上．若焦距为4，则m 等于 A ．4
B ．5
C ．7
D ．8
【答案】D
【详解】将椭圆的方程转化为标准形式为
(
)(
)
2
22
2
1y x +
=，
显然210m m ->-，即6m >．
2
2
22-=，解得8m =．
15．已知函数()()f x g x 、定义在R 上，()()()h x f x g x =⋅，则“()()f x g x 、均为奇函数”是“()h x 为偶函数”的
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 【答案】A
16．已知C z ∈，且22i 1,
i z --=为虚数单位，则22i z +-的最小值是
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
【答案】B
【详解】数形结合法．设(,)z a bi a b R =+∈，满足22i 1z --=的点均在以1(2,2)C 为圆心，以１为半径的圆上．所以22i z +-的最小值是12,C C 连线的长为3．
三．解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤． 17．（本题满分12分）
已知cos ,32πθθπ⎛⎫
=-
∈ ⎪⎝⎭
，求
2cos sin 2sin θθθ-的值． 【详解】原式22
cos 1cos sin 2sin cos sin sin cos cos θθθ
θθθθθθ
-=-==． …… 5分
又 cos ,,32πθθπ⎛⎫
=-
∈ ⎪⎝⎭
，∴sin 3θ==
， …… 9分
∴
2cos sin 2sin 2
θθθ-=-． …… 12分
18．（本题满分12分）
在平面直角坐标系xOy 中，A B 、分别为直线2x y +=与x y 、轴的交点，C 为AB 的中点．若抛物线2
2(0)y px p =>过点C ，求焦点F 到直线AB 的距离． 【详解】由已知可得 (2,0),(0,2),(1,1)A B C ， …… 3分
解得抛物线方程为 2
y x =． …… 6分
于是焦点 1,04F ⎛⎫
⎪⎝⎭
． …… 9分 ∴点F 到直线AB 的距离为
= …… 12分
19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
已知函数(
)
2()log 21x
f x =+．
（1）求证：函数()f x 在(,)-∞+∞内单调递增； （2）记1
()-f
x 为函数()f x 的反函数．若关于x 的方程1
()()f x m f x -=+在[1,2]上有解，
求m 的取值范围．
【详解】（1）任取12x x <，则()()11
2
21222221
()()log 21log 21log 21
x x x x f x f x +-=+-+=+，
∵12x x <，∴1
2
02121x x <+<+，∴112
222121
01,log 02121
x x x
x ++<<<++， ∴12()()f x f x <，即函数()f x 在(,)-∞+∞内单调递增． …… 6分 （2）∵()1
2()log 21(0)x f
x x -=->， …… 9分
[解法一] ∴()()1
22221
()()log 21log 21log 21
x x
x
x m f x f x --=-=--+=+
22log 121x ⎛
⎫=- ⎪+⎝⎭
…… 11分
当12x ≤≤时，
2225213x ≤≤+，∴12313215
x ≤-≤+ ∴m 的取值范围是2213log ,log 35⎡⎤⎛⎫
⎛⎫ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣
⎦
． …… 14分
[解法二] 解方程()(
)
22log 21log 21x
x
m -=++，得221log 12m m x ⎛⎫
+= ⎪-⎝⎭
…… 11分 ∵12x ≤≤，∴2211log 212m m ⎛⎫+≤≤ ⎪
-⎝⎭
，解得 2213log log 35m ⎛⎫⎛⎫
≤≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
∴m 的取值范围是2213log ,log 35⎡⎤⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦
． …… 14分
20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
某厂根据市场需求开发折叠式小凳（如图所示）．凳面为三角形的尼龙布，凳脚为三根细钢管．考虑到钢管的受力和人的舒适度等因素，设计小凳应满足：①凳子高度为30cm ，②三根细钢管相交处的节点O 与凳面三角形ABC 重心的连线垂直于凳面和地面．
（1）若凳面是边长为20cm 的正三角形，三只凳脚与地面所成的角均为45，确定节点O 分细钢管上下两段的比值（精确到0.01）；
（2）若凳面是顶角为120的等腰三角形，腰长为
24cm ，节点O 分细钢管上下两段之比为2:3．确定三根细钢管的长度（精确到0.1cm ）． 【详解】（1）设△ABC 的重心为H ，连结OH ．
由题意可得，BH =
设细钢管上下两段之比为λ． 已知凳子高度为30．则301OH λ
λ
=
+ …… 3分 ∵节点O 与凳面三角形ABC 重心的连线与地面垂直，
且凳面与地面平行．
∴OBH ∠就是OB 与平面ABC 所成的角，亦即45OBH ∠=
∵BH OH =,
∴
301λλ=+
解得0.63λ=
≈． …… 6分
即节点O 分细钢管上下两段的比值约为0.63． （2）设120B ∠=，∴24AB BC ==
，AC =设△ABC 的重心为H
，则8,BH AH == …… 10分
/
由节点O 分细钢管上下两段之比为2:3，可知12OH = 设过点A B C 、、的细钢管分别为AA BB CC '''、、，
则560.82AA CC OA ''==
==≈，
536.12BB OB '===≈，
∴对应于A B C 、、三点的三根细钢管长度分别为60.8cm ，36.1cm 和60.8cm
…… 14分
21．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分8分．
在直角坐标平面xOy 上的一列点()()11221
,,2,,
,
A a A a (,),
n n A n a ，简记为
{}n A ．若由1n n n b A A j +=⋅构成的数列{}n b 满足1,1,2,
n n b b n +>=，其中j 为方向与y 轴正方
向相同的单位向量，则称{}n A 为T 点列．
（1） 判断()123111,1,2,,
3,,
,
23A A A ⎛
⎫⎛
⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭1,,n A n n ⎛⎫
⎪⎝⎭
，是否为T 点列，
并说明理由；
（2）若{}n A 为T 点列，且点2A 在点1A 的右上方．任取其中连续三点1k k A A +、、
2k A +，判断△12k k k A A A ++的形状（锐角三角形、直角三角形、钝角三角形），并予以证明；
（3）若{}n A 为T 点列，正整数1m n p q ≤<<<满足m q n p +=+，求证：
>n q m p A A j A A j ⋅⋅．
【详解】（1）1n a n
=
，∴111
1(1)n b n n n n -=-=++，显然有1n n b b +>， ∴{}n A 是T 点列 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分 （2）在△12k k k A A A ++中，()()1112211,,1,k k k k k k k k A A a a A A a a ++++++=--=-，
()()1122111k k k k k k k k A A A A a a a a ++++++⋅=-+--． …… 5分
∵点2A 在点1A 的右上方，∴1210b a a =->，
∵{}n A 为T 点列，∴10n b b ≥>，
∴()()21110k k k k k k a a a a b b ++++--=-<，则1120k k k k A A A A +++⋅<
∴12k k k A A A ++∠为钝角，∴△12k k k A A A ++为钝角三角形． …… 8分 （3）∵1,m n p q m q n p ≤<<<+=+，∴0q p n m -=->． ①
112112()q p q q q q p p q q p p a a a a a a a a b b b q p b ---+---=-+-+
+-=+++≥-②
同理121()n m n n m n a a b b b n m b ----=++
+≤-． ③ …… 12分
由于{}n A 为T 点列，于是1p n b b ->， ④
由①、②、③、④可推得q p n m a a a a ->-， …… 15分 ∴q n p m a a a a ->-，即 >⋅⋅n q m p A A j A A j …… 16分
22．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．
已知z 是实系数方程2
20x bx c ++=的虚根，记它在直角坐标平面上的对应点为
(Re ,Im )z P z z ．
（1）若(,)b c 在直线20x y +=上，求证：z P 在圆1C ：2
2
(1)1x y -+=上；
（2）给定圆C ：2
2
2
()x m y r -+=（R m r ∈、，0r >），则存在唯一的线段s 满足：①若z P 在圆C 上，则(,)b c 在线段s 上；② 若(,)b c 是线段s 上一点（非端点），则z P 在圆C 上．写出线段s 的表达式，并说明理由；
（3）由（2）知线段s 与圆C 之间确定了一种对应关系，通过这种对应关系的研究，填写表一（表中1s 是（1）中圆1C 的对应线段）．
表一
【详解】（
1）由题意可得20b c +=，解方程2
220x bx b +-=，得z b =
-
．．．．．．．．．．2分
∴点(
)
,
z P b -或()
,z P b -，
将点z P 代入圆1C 的方程，等号成立，∴z P 在圆1C ：2
2
(1)1x y -+
=上．… 4分 （2）[解法一] 当0∆<，即2
b c
<时，解得z b =-
，
∴点(
),
z P b -或()
,z P b -，
由题意可得2
2
2
()b m c b r --+-=，整理后得 22
2c mb r m =-+-，…… 6分
∵()
2
40b c ∆=-<，2
2
2
()b m c b r ++-=，∴(,)b m r m r ∈---+
∴线段s 为： 22
2c mb r m =-+-，[,]b m r m r ∈---+ 若(,)b c 是线段s 上一点（非端点），则实系数方程为
222220,(,)x bx mb r m
b m r m r +-+-=∈---+
此时0∆<
，且点(
z P b -、(
,z P b -在圆C 上．
…… 10分
[解法二] 设i =+z x y 是原方程的虚根，则2
(i)2(i)0++++=x y b x y c ， 解得22
,2,x b y x bx c =-⎧
⎨
=++⎩①
② 由题意可得，2
2
2
()x m y r -+=． ③
解①、②、③ 得 2
2
2c mb r m =-+-． …… 6分 以下同解法一． （3）表一。