专题：三角函数(高三用)

三角函数复习专题（一）
一、 核心知识点归纳： 1．弧长、扇形面积的公式：
设扇形的弧长为l ，圆心角大小为α(rad)，半径为r ，则弧长公式l ＝ ，扇形的面积公式S ＝ ＝ . 2.（1）三角函数定义（角α终边上任一点(),P
x y ）：其中r =
sin α= ;cos α= ; tan α= （2）符号规律：
sin α cos α tan α
（3）同角三角函数的基本关系：
①倒数关系： ②商数关系： ，
③平方关系：
注意三兄弟（三剑客）的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二． （4）特殊角的三角函数值表：
（5）诱导公式：（奇变偶不变，符号看象限）k ·π/2+a 所谓奇偶指的是整数k 的奇偶性：
①sin(2)cos(2)tan(2)k k k παπαπα±=⎧⎪±=⎨⎪±=⎩ ；②sin()cos()tan()παπαπα+=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩ ；③sin()cos()tan()ααα-=⎧⎪
-=⎨⎪-=⎩
④sin()cos()tan()παπαπα-=⎧⎪-=⎨⎪-=⎩ ； ⑤sin(2)cos(2)tan(2)παπαπα-=⎧⎪-=⎨⎪-=⎩ ；⑥sin()2cos()2
παπα⎧-=⎪⎪⎨⎪-=
⎪⎩ ⑦sin()2cos()2παπα⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ ；⑧3sin()23cos()2παπα⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩ ：⑨3sin()23cos()2παπα⎧
+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩
5.两角和与差的三角函数： （1）和（差）角公式：
①sin()αβ+= ；sin()αβ-= ②cos()αβ+= ；cos()αβ-= ③tan()αβ+= ；tan()αβ-= 注：公式的逆用或者变形．．．．．．．．．
（2）二倍角公式：
=a 2sin =a 2cos
=a 2tan
从二倍角的余弦公式里面可得出降幂公式：=a 2cos ， =a 2sin
6．辅助角公式：sin cos a b α
α+=
三、基础练习 1、（1）弧长为3π，圆心角为135°的扇形半径为________，面积为________ (2)已知扇形周长为40，当它的半径和圆心角取何值时，才使扇形面积最大？
2、（1）求值：sin(－1 200°)·cos 1 290°＋cos(－1020°)·sin(－1 050°)＋
tan 945°.
点评：利用诱导公式化简求值时的原则—
3、已知f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)＋4 (其中a ，b ，α，β为非零实数)， f (2 011)＝5，则f (2 012)＝ ( )
A ．3
B ．5
C ．1
D ．不能确定
四、典型例题
考点一：三角函数的概念
例1若P (4，y )是角θ终边上一点，且sin θ＝－25
5，则y ＝____.
练习1.(2012·潍坊质检)已知角α的终边经过点P (m ，－3)，且cos α＝－4
5，
则m 等于 ( )
A ．－
114 B.11
4
C ．－4
D ．4
练习2. 若角α的终边经过点P (1,-2),则tan 2α的值为 .
变：若角α的终边与单位圆交于点255,5
5p ⎛⎫
-- ⎪
⎪⎝⎭，则sin 2a 的值为 . 考点二、同角三角函数的关系（注意2
2
sin cos 1αα+=，这是一个隐含条件）
例2、(2011·全国卷)已知α∈⎝ ⎛
⎭⎪⎫π，3π2，tan α＝2，则cos α＝________.
变式：若例题中条件变为“若sin θ＝－4
5，tan θ>0”，则cos θ＝________.
练：若cos 2sin 5,αα+=-则tan α=( )
（A ）
21 （B ）2 （C ）2
1
- （D ）2- 例3、已知sin α＋3cos α3cos α－sin α
＝5，则sin 2
α－sin αcos α的值是 ( )
A.25 B ．－2
5
C ．－2
D ．2
练习1．若tan α＝2，则2sin α－cos αsin α＋2cos α
的值为 ( )
A ．0 B.34 C ．1 D.5
4
练习2．(2011·杭州师大附中月考)如果f (tan x )＝sin 2x －5sin x cos x ，那么
f (5)＝________. 巩固练习：
1、已知扇形的周长是6 cm ，面积是2 cm 2，则扇形的圆心角的弧度数是( )
A ．1或4
B ．1
C ．4
D ．8
2、已知
1＋tan π＋α
1＋tan 2π－α
＝3＋22，求cos 2(π－α)＋sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
3π2＋α·cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π2＋α＋2sin 2(α－π)的值．
3、已知函数2()322sin f x x x =-.（Ⅰ）若点(1,3)P -在角α的终边上，求
()f α的值； （Ⅱ）若[,
]63x ππ
∈-
，求()f x 的值域.
三角函数复习专题（二）
sin y x =
cos y x = tan y x =
图象
定义域 值域
最值
周期性 奇偶性
单调性
对称性
函 数 性 质
题型一：三角函数的定义域、值域
例1．(2012·珠海模拟)函数y ＝lg(2sin x －1)＋1－2cos x 的定义域为_ 练习1.函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π4－x 的定义域是 ( )
A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x ≠π4，x ∈R
B.
⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x |x ≠－π4，x ∈R C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x ≠k π＋π4，k ∈Z ，x ∈R D.
⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x |x ≠k π＋3π4，k ∈Z ，x ∈R 例2 (2010·江西高考)函数y ＝sin 2x ＋sin x －1的值域为( ) A ．[－1,1] B ．[－54，－1] C ．[－54，1] D ．[－1，5
4]
变式：若例2中函数变为“y ＝2cos 2x ＋5sin x －4”试求值域． 练习2． y ＝2－3cos ⎝ ⎛
⎭⎪⎫x ＋π4的最大值为________．此时x ＝________.
练习3．(2012·湛江)函数y ＝2sin ⎝
⎛
⎭⎪⎫2x ＋π3⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6<x <π6的值域为____ ____．
题型二：三角函数的单调性:注意区分下列两种形式的单调增区间不同
(1)y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4； (2)y ＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π4－2x .
例3 (2011·全国卷)设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋cos ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2x ＋π4，则 ( )
A ．y ＝f (x )在⎝
⎛
⎭⎪⎫0，π2单调递增，其图象关于直线x ＝π4对称
B ．y ＝f (x )在⎝
⎛
⎭⎪⎫0，π2单调递增，其图象关于直线x ＝π2对称
C ．y ＝f (x )在⎝
⎛⎭⎪⎫0，π2单调递减，其图象关于直线x ＝π4对称
D ．y ＝f (x )在⎝
⎛
⎭⎪⎫0，π2单调递减，其图象关于直线x ＝π2对称
练习4．函数y ＝|sin x |的一个单调增区间是 ( )
A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π4
B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4
C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2
D.⎝
⎛⎭⎪⎫
3π2，2π 练习5．(2012·华南师大附中模拟)已知函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π3－2x ，求：
(1)函数的周期； (2)求函数在[－π，0]上的单调递减区间．
题型三：三角函数的周期性和奇偶性
例4.(2010湖北高考)函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
x 2－π4，x ∈R 的最小正周期为 ( )
A.π2
B ．π
C ．2π
D ．4π
练习6．下列函数中，周期为π，且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤
π4
，π2上为减函数的是 ( )
A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2
B ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2
C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2
D ．y ＝cos ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π2
练习7. (2011·北京高考)已知函数f (x )＝4cos x sin ⎝
⎛
⎭⎪⎫x ＋π6－1.
(1)求f (x )的最小正周期； (2)求f (x )在区间⎣⎡⎦
⎤－π6，π
4上的最大值和最小值．
题型四：利用图像解题
例5.（1）设2sin
7a π=，2cos 7b π=，2tan 7
c π=，则（ ） A ．a b c << B ．a c b << C ．b c a << D ．b a c << （2）．函数y =－x ·cos x 的部分图象是（ ）
练习8.在（0，2π）内，使sin x ＞c os x 成立的x 取值范围为（ ）
A ．（
4π，2π）∪（π，4
5π
） B ．（4π，π） C ．（
4π，45π） D ．（4π，π）∪（45π，2
3π） 练习9.函数π
πln cos 2
2y x x ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭的图象是（ ）
y
x π
2
- π2
O
y
x π2-
π2
O
y
x π
2-
π2
O
y
x
π2-
π2
O
A ．
B ．
C ．
D ．
三角函数复习专题（三）
1、函数B x A y ++=)sin(ϕω），（其中00>>ωA
（1）.最大值是 ，最小值是 ，周期是 ，频率是 ，
相位是 ，初相是 ； y ＝A sin(ωx ＋φ)+B 的图象有无穷多条对称轴，可由方程 (k ∈Z)解出x 的值就是对称轴；它还有无穷多个对称
中心，它们是图象与x 轴的交点，可由 (k ∈Z)，解得x ＝
k π－φ
ω
(k ∈Z)的值作为对称中心横坐标，即其对称中心为(
k π－φ
ω
，0)(k ∈Z)． （2）．相邻两对称轴间的距离为T
2
，相邻两对称中心间的距离也为T
2
.
（3）．由y ＝sin x 的图象变换出y ＝sin(ωx ＋ϕ)的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换。

利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现
无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母x 而言，即图象变换要看“变量x ”
起多大变化，而不是“角变化”多少。

途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换)
途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换。

（4）．根据y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的图象求其解析式的问题，主要从以
下四个方面来考虑：
①A 的确定：根据图象的最高点和最低点，即A ＝最高点－最低点2；
②k 的确定：根据图象的最高点和最低点，即k ＝最高点＋最低点
2；
③ω的确定：结合图象，先求出周期T ，然后由T ＝
2π
ω
(ω>0)来确定ω；
④φ的确定：由函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 最开始与x 轴的交点的横坐标为－φ
ω
(即令ωx ＋φ＝0，x ＝－
φω)确定φ. 即：“五点”中的第一零点（－ω
ϕ，0）作为突破口，要从图象的升降情况找准．．
第一个零点的位置。

（5）．五点法作y =A sin （ωx +ϕ）的简图： 五点取法是令ωx +ϕ=θ，由θ取0、2π、π、2
π
3、2π来求相应的x 值及对应的y 值，再描点作图。

2、典型例题
例1．函数y ＝sin x
2的图象的一条对称轴的方程是 ( ) A ．x ＝0 B ．x ＝π
2 C ．x ＝π
D ．x ＝2π
练习1．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π
3(ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图象( ) A ．关于直线x ＝π
3对称
B ．关于点⎝⎛⎭⎫
π3，0对称
C ．关于直线x ＝－π
6
对称
D ．关于点⎝⎛⎭⎫π6，0对称
例2、把函数sin ()y x x =∈R 的图象上所有的点向左平行移动3
π
个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的
1
2
倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是（ ） A ．sin 23y x x π⎛⎫
=-
∈ ⎪⎝⎭
R ， B ．sin 26x y x π⎛⎫
=+∈
⎪⎝⎭R ， C ．sin 23y x x π⎛⎫
=+
∈ ⎪⎝
⎭
R ， D ．sin 23y x x 2π⎛⎫
=+
∈ ⎪⎝
⎭
R ， 练习2、将函数y ＝sin x 的图象上所有的点向右平行移动π
10
个单位长度，再把所得各点的横
坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是 ( )
A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π10
B ．y ＝sin ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫2x －π5
C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π10
D ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫1
2
x －π20
练习3．要得到函数y ＝cos ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2x ＋π6的图象，只需将函数y ＝cos 2x 的图象 ( )
A ．向右平移π6个单位
B ．向右平移π
12个单位
C ．向左平移π
6
个单位
D ．向左平移π
12
个单位
例3、(2011·江苏高考)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A ＞0，ω＞0)的部分图象如图所示，则f (0)的值是________． 变式：若本例函数图象变为如图所示，试求f (0)．
练习6、函数()sin()(0,0,||)2
f x A x A ωφωφπ
=+>><
部分图象如图所示．
（Ⅰ）求()f x 的最小正周期及解析式；（Ⅱ）设()()cos 2g x f x x =-，求函数()g x 在区间[0,]2
x π∈上的最大值和最小值．
练习7、(2011·重庆)设函数f (x )＝sin x cos x (1)求f (x )的最小正周期；
(2)若函数y ＝f (x )的图象向右平移π4个单位，再向上平移3
2个单位，平移后得
到函数y ＝g (x )的图象，求y ＝g (x )在[0，π
4]上的最大值．
三角函数复习专题（四）：
一、三角恒等变换
1.两角和与差的三角函数：
（1）和（差）角公式： （2）二倍角公式：
=a 2sin =a 2cos
=a 2tan
从二倍角的余弦公式里面可得出降幂公式：=a 2cos ， =a 2sin
（3）．辅助角公式： ()sin cos a x b x x θ+=+(其中θ角所在的象限由a , b
的符号确定，θ角的值由tan b
a
θ=
确定)在求最值、化简时起着重要作用。

如：①若方程sin x x c =有实数解，则c 的取值范围是___________.
②函数23y cos x sin x =-的最大值是_____ _
2、三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本策略是：三看原则：“一角二名三结构”。

即首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心。

第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦”；第三观察代数式的结构特点。

基本的技巧有: （1）三角函数名互化(弦切互化)， （2）“1”的代换：1=cos 2
θ+sin 2
θ。

（3）巧变角（已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换. 如()()ααββαββ=+-=-+，2()()ααβαβ=++-，
2()()αβαβα=+--，22
αβ
αβ++=⋅
，
(
)()
222αβ
β
ααβ+=-
-
-
等），
如：已知2tan()5αβ+=，1tan()44πβ-=，那么tan()4
π
α+的值是_____
（4）升幂与降幂。

主要用2倍角的余弦。

（5）引入辅助角。

asin θ＋bcos θ＝22b a +sin (θ＋ϕ)，这里辅助角ϕ所在象限由a 、b 的符号确定，ϕ角的值由tan ϕ＝a
b
确定。

例1．已知0cos cos 1sin sin =+=+βαβα，，求cos
）的值（βα+。

例2、已知函数x x x f 2cos )6
2sin()(+-=π
.（1）若1)(=θf ，求θθcos sin ⋅的值；（2）
求函数)(x f 的单调增区间.（3）求函数的对称轴方程和对称中心
练习1.已知函数2()2sin cos 2cos f x x x x ωωω=-
（0x ω∈>R ，），相邻两条对称轴之间的距离等于2
π．（Ⅰ）求()4f π的值；（Ⅱ）当 02x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，时，求函数)(x f 的最大值和最小值及相应的x 值．
练习2、（2011朝阳二模理15）已知函数2()2sin sin()2sin 12
f x x x x π=⋅+-+ ()x ∈R . （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及函数()f x 的单调递增区间；
（Ⅱ）若0(
)2x f =0ππ(, )44
x ∈-，求0cos 2x 的值.
练习3、已知向量a ＝(cos 23x ，sin 23x )，b ＝(2
sin 2cos x x ，-)，且x ∈[0，2π]． （1）求b a +
（2）设函数b a x f +=)(+b a ⋅，求函数)(x f 的最值及相应的x 的值。

二、解三角形
1、正、余弦定理：在ABC ∆中有:
①正弦定理： （R 为ABC ∆外接圆半径）
注意变形应用： ⇒
②面积公式：
③余弦定理： ⇒
例1、（广东五校联考）在⊿ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c,且10103cos ,21tan ==
B A （1）求tan
C 的值; （2）若⊿ABC 最长的边为1，求b 。

练习1．已知△ABC 中，2sin cos sin cos cos sin A B C B C B =+.
（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）设向量(cos , cos 2)A A =m ，12(, 1)5=-
n ，求当⋅m n 取最 小值时，)4tan(π-
A 值.
练习2、在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 分，且满足2cos cos c b B a A -=．
（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若a =ABC 面积的最大值．。