第三章时间响应分析(2)
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假设系统极点各不相同，则系统的传递函数可写成：
G( s)
K ( s zi )
i 1
m
(s p ) (s
j j 1 k 1
q
r
2
2 k nk )
2 nk
在单位阶跃输入下，系统输出为：
1 X o ( s) s
K ( s zi )
i 1 2 2 ( s p ) ( s 2 j k nk nk ) j 1 k 1 q r
r A0 q A j Bk s Ck X o ( s) 2 2 s j 1 s p j k 1 s 2 k nk s nk
q r
xo (t ) A0 A j e
j 1
p jt
Dk e knkt sin( dk t k )
结论：只有所有的闭环极点都具有负实部，系统才是稳 定的，此时，系统的自由响应分量又叫做瞬态响应分量， 强迫响应分量又叫做稳态响应分量。
系统零极点分布对时间响应的影响
极点距虚轴的距离决定了其对应的瞬态响应分量衰减的 快慢，距离越远衰减越快；
xo (t ) A0 A j e
j 1
q
p jt
衰减系数pj、ξknk
Dk e
k nkt
sin( dk t k )
传递函数零点影响各极点处留数的大小和符号（即各个 自由响应分量的相对强度），影响系统响应曲线的形状。
主导极点：
距虚轴最近、实部的绝对值为其它极点实部绝对值 的1/5或更小，且其附近没有零点的闭环极点。
m
GK ( s ) G ( s ) H ( s )
K (Ti s 1) s
v
(T s 1)
j j 1
i 1 n
v为开环串联积分环节 则系统的开环传递函数可简记为 ： 的个数，称为系统的 无差度
K GK ( s) G ( s) H ( s) v G0 ( s) s
则系统的稳态偏差为 ：
2.稳态误差及其计算
稳态误差ess
稳态误差为为系统期望输出与实际输出在稳定状态 （t→∞)下的差值，即：
ess lim e(t ) lim sE1 ( s)
t t 0
y (t )
稳态误差反映了系统的准确 性，是系统控制精度的测度
1
0
ts
t
稳态误差的计算
X i ( s)
+ E (s)
稳态误差ess为 ：
E ( s) ess lim e(t ) lim sE1 ( s) lim s t s 0 s 0 H ( s ) X i ( s) 1 1 lim s lim s 0 H ( s) 1 G ( s) H ( s) s 0 H ( s) ss ess
控制工程基础
主讲教师：韩锟
QQ：1297548665 Tel：82655345（O） Email:hkun@csu.edu.cn
第三章
时间响应分析
四、高阶系统的时间响应
1.高阶系统的单位阶跃响应
考虑高阶系统：
X o ( s) bm s m bm1s m1 b1s b0 G( s) (n m) n n 1 X i ( s) an s an 1s a1s a0
主导极点对高阶系统的瞬态响应起主导作用。
对高阶系统，如果能找到主导极点（通常选为一对 共轭复数极点，即二阶系统），就可以忽略其它远离 虚轴的极点，近似为二阶系统进行处理。
五、误差分析和计算
1.控制系统的偏差与误差
Xi (s) +
B( s )
E ( s)
-
G( s )
H(s)
X o (s)
偏差Ε(s)（时域表达式记为ε(t) ）
E1 (s) X or (s) X o (s) E1 (s) X i (s) / H (s) X o (s) E1 (s) H (s) X i (s) X o (s) H (s) E ( s)
E ( s) E1 ( s) H ( s)
对单位反馈系统，有
E1 (s) E (s)
与干扰有关的稳态误差
N ( s)
X i ( s) +
E(s)
-
+
G1 (s)
+
G2 (s)
X o (s)
B(s)
H (s)
干扰引起的稳态偏差为 ：
Es B ( s ) X o ( s ) H ( s )
G2 ( s) N ( s) H ( s) 1 G1 ( s)G2 ( s) H ( s)
K P lim G ( s) H ( s)
s 0
K v lim sG ( s) H ( s) K
s 0
K a lim s G( s) H (s) 0
2 s 0
Ⅱ型系统：
K G ( s) H ( s) 2 G0 ( s ) s
1 ssp 0 1 KP 1 ssv 0 Kv 1 1 ssa Ka K
单位阶 跃输入
稳态偏差
单位速 单位加速 度输入 度输入
1 1 K
0
∞
∞ ∞
1 K
0
Ⅱ型
∞
∞
K
0
1 K
几点结论：
不同类型的输入信号作用于同一控制系统，其稳态误 差不同；同一输入信号作用于不同的控制系统，其稳态 误差也不同；
系统的稳态误差与开环增益有关，开环增益越大，稳 态误差越小；
如果输入量非单位量时，其稳态偏差（误差）按比例 增加；
G(s) H ( s)
X o (s)
E (s) X i (s) H (s) X o ( s) X i (s) H (s) E (s)G(s)
1 E ( s) X i ( s) 1 G( s) H ( s)
稳态偏差εss为 ：
1 ss lim sE ( s) lim s X i ( s) s 0 s 0 1 G ( s ) H ( s )
传递函数极点的性质决定自由响应分量的类型：
实数极点 → 系统响应的非周期自由响应分量 共轭复数极点 → 系统响应的阻尼振荡自由响应分量
传递函数的极点决定了自由响应分量的特点：
具有负实部的极点 → 自由响应分量衰减
具有零实部的极点 → 自由响应分量既不衰减也不 发散
具有正实部的极点 → 自由响应分量发散
ss
H (0)
结论：系统的稳态误差和稳态偏差取决于输入信号和系 统的开环传递函数，即取决于输入信号的特性及系统的 结构和参数。
3.稳态误差系数
稳态位置误差系数
输入单位阶跃信号时系统的稳态偏差εss为 ：
sX i ( s) 1 ss lim lim s 0 1 G ( s ) H ( s ) s 0 1 G ( s ) H ( s )
v0 v2
—— 0型系统 ——Ⅱ型系统
v 1
—— Ⅰ型系统
不同类型系统的稳态误差系数和稳态误差
0型系统： G( s) H ( s)
KG0 (s)
1 1 ssp 1 KP 1 K 1 ssv Kv 1 ssa Ka
K P lim G( s) H ( s) K
1 1 1 lim 2 2 2 s 0 s s G ( s ) H ( s ) lim s G ( s) H ( s) K a s 0
记为Ka 其中K a lim s 2G( s) H ( s) ，称为稳态加速度误差系数。
s 0
4.系统结构对稳态误差的影响
将系统的开环传递函数表示成如下形式 ： 记为G0(s) 开环增益
1 1 1 G (0) H (0) 1 K P
记为KP 其中，KP = G(0)H(0)，称为稳态位置误差系数。
稳态速度误差系数
输入单位斜坡信号时系统的稳态偏差εss为 ：
sX i ( s) s 1 ss lim lim 2 s 0 1 G ( s ) H ( s ) s 0 1 G ( s ) H ( s ) s
sN
G2 ( s) H ( s) lim s N ( s) s 0 1 G1 ( s)G2 ( s) H ( s)
引例：求下列系统在单位阶跃扰动作用下的稳态误差
ssN
K 2 K3 1 1 s Ts 1 lim s s 0 K 2 K3 s K 1 1 K1 s Ts 1
结论：增大扰动作用点前比例环节（P控制器）的增益 K1，可减小系统稳态误差，提高稳态精度。
1 1 1 lim s 0 sG ( s ) H ( s ) Kv lim sG ( s) H ( s) s 0
记为Kv 其中 K v
lim sG ( s) H ( s)，称为稳态速度误差系数。
s 0
稳态加速度误差系数
输入单位斜坡信号时系统的稳态偏差εss为 ：
sX i ( s) s 1 ss lim lim 3 s 0 1 G ( s ) H ( s ) s 0 1 G ( s ) H ( s ) s
偏差Ε(s)定义为输入信号Xi(s)与主反馈信号B(s)之差， 即：
E ( s ) X i ( s ) B( s ) X i ( s ) H ( s ) X o ( s )
误差E1(s)（时域表达式记为e(t) ）
误差Ε1(s)定义为系统期望输出Xor(s)与实际输出Xo(s) 之差，即：
m
进行部分分式展开，有
r A0 q A j Bk s Ck X o ( s) 2 2 s j 1 s p j k 1 s 2 k nk s nk
xo (t ) Biblioteka Baidu A0 A j e
j 1
q
p jt
D e
k 1 k
r
k nkt
sin( dk t k )
k 1
强迫响应 一阶因子引起 分量 的非周期指数 响应分量
二阶因子引 起的阻尼振 荡响应分量
高阶系统单位阶跃响应的特点
高阶系统的响应函数由一阶系统和二阶系统的响应函数 叠加而成；
极点的来源决定响应分量的类型：
输入信号的极点 → 系统响应的强迫响应分量 传递函数的极点 → 系统响应的自由响应分量
K P lim G ( s) H ( s)
s 0
K v lim sG ( s) H ( s)
s 0
K a lim s G(s) H (s) K
2 s 0
表1：系统的稳态误差系数及稳态偏差：
系统 类型
0型 Ⅰ型
稳态误差系数 Kp K ∞ Kv 0 K Ka 0 0
E1 (s) X or (s) X o (s)
期望输出如何确定？
控制系统的期望输出Xor(s)为偏差Ε(s)=0时的实际输 出Xo(s)，此时控制系统无控制作用。
E ( s) X i (s) H (s) X or (s) 0
X or (s) X i (s) / H (s)
偏差E(s)与误差E1(s)的关系
系统在多个信号共同作用下总的稳态偏差（误差）等 于多个信号单独作用时稳态偏差（误差）之和；
稳态误差系数只对相应的阶跃、速度及加速度输入有 意义。
5.减小稳态误差的措施
减小有用输入信号作用下的稳态误差的措施
提高系统的开环增益
增加系统开环传递函数中积分环节的个数 减小干扰信号作用下的稳态误差的措施
s 0
K v lim sG ( s) H ( s) 0
s 0
K a lim s G(s) H (s) K
2 s 0
Ⅰ型系统：
K G ( s) H ( s) G0 ( s) s
1 ssp 0 1 KP 1 1 ssv Kv K 1 ssa Ka
s sX i ( s) lim v X i ( s) ss lim s 0 s KG ( s ) s 0 1 G ( s ) H ( s ) 0
v 1
s v 1 lim v X i ( s) s 0 s K
s→0时G0(s)=1
结论：系统的稳态偏差取决于系统的开环增益、输入信 号以及开环传递函数中积分环节的个数v。 根据系统开环含有积分环节的个数，可将系统划分为 ：
G( s)
K ( s zi )
i 1
m
(s p ) (s
j j 1 k 1
q
r
2
2 k nk )
2 nk
在单位阶跃输入下，系统输出为：
1 X o ( s) s
K ( s zi )
i 1 2 2 ( s p ) ( s 2 j k nk nk ) j 1 k 1 q r
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q r
xo (t ) A0 A j e
j 1
p jt
Dk e knkt sin( dk t k )
结论：只有所有的闭环极点都具有负实部，系统才是稳 定的，此时，系统的自由响应分量又叫做瞬态响应分量， 强迫响应分量又叫做稳态响应分量。
系统零极点分布对时间响应的影响
极点距虚轴的距离决定了其对应的瞬态响应分量衰减的 快慢，距离越远衰减越快；
xo (t ) A0 A j e
j 1
q
p jt
衰减系数pj、ξknk
Dk e
k nkt
sin( dk t k )
传递函数零点影响各极点处留数的大小和符号（即各个 自由响应分量的相对强度），影响系统响应曲线的形状。
主导极点：
距虚轴最近、实部的绝对值为其它极点实部绝对值 的1/5或更小，且其附近没有零点的闭环极点。
m
GK ( s ) G ( s ) H ( s )
K (Ti s 1) s
v
(T s 1)
j j 1
i 1 n
v为开环串联积分环节 则系统的开环传递函数可简记为 ： 的个数，称为系统的 无差度
K GK ( s) G ( s) H ( s) v G0 ( s) s
则系统的稳态偏差为 ：
2.稳态误差及其计算
稳态误差ess
稳态误差为为系统期望输出与实际输出在稳定状态 （t→∞)下的差值，即：
ess lim e(t ) lim sE1 ( s)
t t 0
y (t )
稳态误差反映了系统的准确 性，是系统控制精度的测度
1
0
ts
t
稳态误差的计算
X i ( s)
+ E (s)
稳态误差ess为 ：
E ( s) ess lim e(t ) lim sE1 ( s) lim s t s 0 s 0 H ( s ) X i ( s) 1 1 lim s lim s 0 H ( s) 1 G ( s) H ( s) s 0 H ( s) ss ess
控制工程基础
主讲教师：韩锟
QQ：1297548665 Tel：82655345（O） Email:hkun@csu.edu.cn
第三章
时间响应分析
四、高阶系统的时间响应
1.高阶系统的单位阶跃响应
考虑高阶系统：
X o ( s) bm s m bm1s m1 b1s b0 G( s) (n m) n n 1 X i ( s) an s an 1s a1s a0
主导极点对高阶系统的瞬态响应起主导作用。
对高阶系统，如果能找到主导极点（通常选为一对 共轭复数极点，即二阶系统），就可以忽略其它远离 虚轴的极点，近似为二阶系统进行处理。
五、误差分析和计算
1.控制系统的偏差与误差
Xi (s) +
B( s )
E ( s)
-
G( s )
H(s)
X o (s)
偏差Ε(s)（时域表达式记为ε(t) ）
E1 (s) X or (s) X o (s) E1 (s) X i (s) / H (s) X o (s) E1 (s) H (s) X i (s) X o (s) H (s) E ( s)
E ( s) E1 ( s) H ( s)
对单位反馈系统，有
E1 (s) E (s)
与干扰有关的稳态误差
N ( s)
X i ( s) +
E(s)
-
+
G1 (s)
+
G2 (s)
X o (s)
B(s)
H (s)
干扰引起的稳态偏差为 ：
Es B ( s ) X o ( s ) H ( s )
G2 ( s) N ( s) H ( s) 1 G1 ( s)G2 ( s) H ( s)
K P lim G ( s) H ( s)
s 0
K v lim sG ( s) H ( s) K
s 0
K a lim s G( s) H (s) 0
2 s 0
Ⅱ型系统：
K G ( s) H ( s) 2 G0 ( s ) s
1 ssp 0 1 KP 1 ssv 0 Kv 1 1 ssa Ka K
单位阶 跃输入
稳态偏差
单位速 单位加速 度输入 度输入
1 1 K
0
∞
∞ ∞
1 K
0
Ⅱ型
∞
∞
K
0
1 K
几点结论：
不同类型的输入信号作用于同一控制系统，其稳态误 差不同；同一输入信号作用于不同的控制系统，其稳态 误差也不同；
系统的稳态误差与开环增益有关，开环增益越大，稳 态误差越小；
如果输入量非单位量时，其稳态偏差（误差）按比例 增加；
G(s) H ( s)
X o (s)
E (s) X i (s) H (s) X o ( s) X i (s) H (s) E (s)G(s)
1 E ( s) X i ( s) 1 G( s) H ( s)
稳态偏差εss为 ：
1 ss lim sE ( s) lim s X i ( s) s 0 s 0 1 G ( s ) H ( s )
传递函数极点的性质决定自由响应分量的类型：
实数极点 → 系统响应的非周期自由响应分量 共轭复数极点 → 系统响应的阻尼振荡自由响应分量
传递函数的极点决定了自由响应分量的特点：
具有负实部的极点 → 自由响应分量衰减
具有零实部的极点 → 自由响应分量既不衰减也不 发散
具有正实部的极点 → 自由响应分量发散
ss
H (0)
结论：系统的稳态误差和稳态偏差取决于输入信号和系 统的开环传递函数，即取决于输入信号的特性及系统的 结构和参数。
3.稳态误差系数
稳态位置误差系数
输入单位阶跃信号时系统的稳态偏差εss为 ：
sX i ( s) 1 ss lim lim s 0 1 G ( s ) H ( s ) s 0 1 G ( s ) H ( s )
v0 v2
—— 0型系统 ——Ⅱ型系统
v 1
—— Ⅰ型系统
不同类型系统的稳态误差系数和稳态误差
0型系统： G( s) H ( s)
KG0 (s)
1 1 ssp 1 KP 1 K 1 ssv Kv 1 ssa Ka
K P lim G( s) H ( s) K
1 1 1 lim 2 2 2 s 0 s s G ( s ) H ( s ) lim s G ( s) H ( s) K a s 0
记为Ka 其中K a lim s 2G( s) H ( s) ，称为稳态加速度误差系数。
s 0
4.系统结构对稳态误差的影响
将系统的开环传递函数表示成如下形式 ： 记为G0(s) 开环增益
1 1 1 G (0) H (0) 1 K P
记为KP 其中，KP = G(0)H(0)，称为稳态位置误差系数。
稳态速度误差系数
输入单位斜坡信号时系统的稳态偏差εss为 ：
sX i ( s) s 1 ss lim lim 2 s 0 1 G ( s ) H ( s ) s 0 1 G ( s ) H ( s ) s
sN
G2 ( s) H ( s) lim s N ( s) s 0 1 G1 ( s)G2 ( s) H ( s)
引例：求下列系统在单位阶跃扰动作用下的稳态误差
ssN
K 2 K3 1 1 s Ts 1 lim s s 0 K 2 K3 s K 1 1 K1 s Ts 1
结论：增大扰动作用点前比例环节（P控制器）的增益 K1，可减小系统稳态误差，提高稳态精度。
1 1 1 lim s 0 sG ( s ) H ( s ) Kv lim sG ( s) H ( s) s 0
记为Kv 其中 K v
lim sG ( s) H ( s)，称为稳态速度误差系数。
s 0
稳态加速度误差系数
输入单位斜坡信号时系统的稳态偏差εss为 ：
sX i ( s) s 1 ss lim lim 3 s 0 1 G ( s ) H ( s ) s 0 1 G ( s ) H ( s ) s
偏差Ε(s)定义为输入信号Xi(s)与主反馈信号B(s)之差， 即：
E ( s ) X i ( s ) B( s ) X i ( s ) H ( s ) X o ( s )
误差E1(s)（时域表达式记为e(t) ）
误差Ε1(s)定义为系统期望输出Xor(s)与实际输出Xo(s) 之差，即：
m
进行部分分式展开，有
r A0 q A j Bk s Ck X o ( s) 2 2 s j 1 s p j k 1 s 2 k nk s nk
xo (t ) Biblioteka Baidu A0 A j e
j 1
q
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D e
k 1 k
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k nkt
sin( dk t k )
k 1
强迫响应 一阶因子引起 分量 的非周期指数 响应分量
二阶因子引 起的阻尼振 荡响应分量
高阶系统单位阶跃响应的特点
高阶系统的响应函数由一阶系统和二阶系统的响应函数 叠加而成；
极点的来源决定响应分量的类型：
输入信号的极点 → 系统响应的强迫响应分量 传递函数的极点 → 系统响应的自由响应分量
K P lim G ( s) H ( s)
s 0
K v lim sG ( s) H ( s)
s 0
K a lim s G(s) H (s) K
2 s 0
表1：系统的稳态误差系数及稳态偏差：
系统 类型
0型 Ⅰ型
稳态误差系数 Kp K ∞ Kv 0 K Ka 0 0
E1 (s) X or (s) X o (s)
期望输出如何确定？
控制系统的期望输出Xor(s)为偏差Ε(s)=0时的实际输 出Xo(s)，此时控制系统无控制作用。
E ( s) X i (s) H (s) X or (s) 0
X or (s) X i (s) / H (s)
偏差E(s)与误差E1(s)的关系
系统在多个信号共同作用下总的稳态偏差（误差）等 于多个信号单独作用时稳态偏差（误差）之和；
稳态误差系数只对相应的阶跃、速度及加速度输入有 意义。
5.减小稳态误差的措施
减小有用输入信号作用下的稳态误差的措施
提高系统的开环增益
增加系统开环传递函数中积分环节的个数 减小干扰信号作用下的稳态误差的措施
s 0
K v lim sG ( s) H ( s) 0
s 0
K a lim s G(s) H (s) K
2 s 0
Ⅰ型系统：
K G ( s) H ( s) G0 ( s) s
1 ssp 0 1 KP 1 1 ssv Kv K 1 ssa Ka
s sX i ( s) lim v X i ( s) ss lim s 0 s KG ( s ) s 0 1 G ( s ) H ( s ) 0
v 1
s v 1 lim v X i ( s) s 0 s K
s→0时G0(s)=1
结论：系统的稳态偏差取决于系统的开环增益、输入信 号以及开环传递函数中积分环节的个数v。 根据系统开环含有积分环节的个数，可将系统划分为 ：