电磁学第五章

四川师范大学教案电磁学物理与电子工程学院
物理与电子工程学院
注：教案按授课章数填写，每一章均应填写一份。

重复班授课可不另填写教案。

教学内容须另加附页。

第五章恒定电流的磁场
§5.1 磁现象及其与电现象的联系人类对磁现象的研究早于对电现象的研究，早期对磁现象的观察（研究）是从天然磁体（永磁体）之间的相互作用开始的。

一、永磁体（早期的永磁体指天然磁体）
天然磁铁和人造磁铁统称永磁体（永磁铁）。

人类对磁现象的认识和研究就开始于永磁体之间的相互作用。

通过观察发现，永磁体的基本现象归结为：
（1）永磁体：具有吸引铁、钴、镍等物质的性质（具有磁性）；
（2）永磁体有两个磁性最强的区域，叫做磁极，分别叫做南北两极（南S，北N）；
（3）两磁铁的磁极之间有相互作用力，同性极相斥，异性极相吸；
（4）磁极不能单独存在。

二、电磁相互作用（电流具有磁效应）
十九世纪初，人们从一系列重要的实验中开始认识到电（现象）与磁（现象）之间有着不可分割的联系。

（1）1819年：丹麦科学家奥斯特发现：通电导线附近的磁针会发生偏转；
说明：电流具有磁效应电流→磁体
（2）1820年：安培发现：放在磁铁附近的载流导线或载流线圈受到磁力的作用而发生运动；
说明：磁体→电流
（3）同时期发现：两平行直导线间有相互作用力：电流同向，相吸；电流反向，相斥。

说明：电流→电流
一系列实验现象都说明磁现象与电流有密切的联系，迫使人们去探索磁现象的本质，并使人们想象磁现象是否就起源于电流（或电荷的运动）呢？
三、磁现象的本质：安培的分子电流假说
1、“磁荷”观点
由于有些磁现象与电现象有类似之处（如同性相斥，异性相吸等），因此人们最早参照电荷提出了“磁荷”的说法。

人们认为磁性起源于“磁荷”，大量“磁荷”集中在磁极处而显磁性。

磁铁之间的相互作用起源于“磁荷”之间的相互作用。

但这个观点不能解释磁棒被无限分小后仍有N、S极、N、S极不能单独存在这种现象（因正负电荷可以单独存在）。

2、分子电流观点（假说）
奥斯特的电流磁效应实验以后，特别发现了通电螺线管与一条形磁铁的外部磁性相似。

由此1822年安培提出了分子电流假说。

他认为：磁性物质的分子中存在圆形电流，称为分子电流。

分子电流相当于一个基元磁体，当物质不呈现磁性时，分子电流无规则排列，它们对外界所产生的磁效应互相抵消，使整个物体不显磁性。

在外磁场作用下，圆形电流受力矩作用，其轴线沿一定方向排列起来，在宏观上显示出N、S极来，呈现磁性。

安培的假说很容易解释为什么磁体的N、S两种磁极不能单独存在。

因为基元磁体的两个极对应于圆形电流的两个面，显然这两个面是不能单独存在的。

电子的轨道运动和自旋运动构成了等效的分子电流，这就是物质磁性
的基本来源。

总之，磁现象起源于电荷的运动（电流）。

磁铁与磁铁，磁铁与电流，电流与电流之间的相互作用，都是运动电荷（电流）之间的相互作用，而这种作用是通过磁场来传递的。

用图表示为：
说明：（1）电荷无论运动还是静止，它们之间都有库仑相互作用，在其周围都要激发电场；
（2）只有运动电荷在其周围激发磁场，运动电荷之间才有磁场相
互作用。

四、磁感应强度B
，磁感应线 （一）、磁感应强度B
1、磁场的性质
在磁场中引入试探运动电荷来了解磁场的性质，实验发现： （1）在磁场中的给定点P 处，存在一个特定方向，电荷沿此方向运动
时，受磁力为零。

此方向就是该点磁场的方向，即B
的方向；
（2）无论运动电荷以多大速率和什么方向通过P 点，总有F ⊥B
，及F ⊥v ，说明磁力为侧向力，只改变v
的方向不改变其大小；
（3）v
⊥B 时，运动电荷受力最大，用F m 表示，且F m 正比于运动电荷的电荷量q 和速率v ；v
∥B 时，F =0；
（4）对场中某一确定点，qv
F m 有确定的值且与q 、v 无关，把此量定义
为磁感应强度的大小。

2、磁感应强度B
大小：B =
qv
F m
方向：v ×B 的方向为F 的方向，v
，B ，F 三者间的方向关系如下
图所示。

（二）、磁感应线
1、作磁感应线的规定
（1）在磁场中画一系列曲线，使线上任一点的切线方向和该点处的磁
感应强度矢量B
的方向一致。

（2）通过垂直于B 的单位面积上的磁感应线的条数等于该点B
矢量的
量值。

因而磁场强的地方，磁感应线密，反之，磁感应线就疏。

2、磁感应线的性质
（1）磁感应线是无头无尾的曲线，或者从无限远到无限远。

说明磁场是涡旋场。

与电场线截然不同。

这是与正负电荷可以被分离，而N 、S 磁极不能被分离的事实相联系的。

（2）B
线环绕方向与电流方向彼此满足右手定则。

五、运动电荷在磁场中受到的力
1、洛仑兹力
实验表明：运动电荷q 在磁场中受力F 与其速度v
以及磁感应强度B 有
如下关系：
B v q F
⨯= （q 为代数量）——洛仑兹力
方向：F 与v
和B 构成的平面垂直，并满足右手法则
大小：θsin vB q F F ==
2、当空间除磁场B
外还存在电场时，电荷q 在空间某点受力：
B v q E q F
⨯+=， 电场力和磁场力的矢量和
3、洛仑兹力B v q F ⨯=，F ⊥v
，故它永远不对带电粒子作功，其作
用只改变运动电荷的速度方向，而不改变它的速度的大小（速率）以及动能。

六、带电粒子在均匀磁场中的运动 （P193—195 §5.5）
一电荷量为q ，质量为m （m 很小，忽略重力）的粒子，以速度v
进入
均匀磁场B 中（均匀磁场：B
线一定平行，等间距）。

1、如果v
∥B
由0=⨯=B v q F
知：带电粒子不受力，作匀速直线运动。

2、如果v
⊥B （电荷的圆周运动）
由B v q F ⨯= 知： ===qvB qvB F
90sin 恒量
即： （1）带电粒子受恒力的作用；
（2）F 的方向垂直v ×B 的平面，F 只改变v
的方向，不改变其大
小。

B
粒子在垂直于B
的平面内作匀速圆周运动，圆周运动的向心力就是电
荷受的洛仑兹力，即有：
R
v
m
qvB F 2
==向
∴ qB
mv R =
粒子作圆周运动的周期、角速度、频率均可求出： 周期： m
qB qB
m v
R T =
⇒===ωω
π
ππ222
频率： m
qB T
f π21=
=
3、如果v
与B 成任意夹角θ
此时v
可分解为θcos 11v v =和θsin v v =⊥，它们分别平行和垂直于B ，
11v 不受磁场力的影响，此部分作匀速直线运动，而⊥v 受磁场作用而在垂直于B
的平面内作圆周运动。

即粒子同时参与两个运动，其合成运动的轨迹
为一螺旋线。

螺旋线的半径：（一个周期内⊥v 方向的距离）
()T v qB
mv qB
mv R ⊥⊥=
=
=
θsin
螺旋线的旋距：（一个周期内11v 方向的距离）
qB
m v T v h πθ2cos 11⨯
=⋅=
以上结论是回旋加速器和磁聚焦等实验仪器的理论依据。

七、霍尔效应 （P198—199 §5.5）
§5.2 毕奥——萨伐尔定律
一、毕一萨定律 P177
主要讨论恒定电流产生的磁场，而恒定电流的电流线是闭合的。

为了求得任意电流激发的磁场，我们将电流分成许多小元段，每一小段取得无
限小，使得这一小段电流中电流密度矢量与线段元l
d 矢量的方向一致，我
们把I
与l
d 的乘积
I l
d 称为电流元，电流元
I l
d 产生磁场的规律称为毕奥—
—萨伐尔定律，其数学表达式为：
2
0ˆ4r
r l Id B d ⨯=
π
μ
大小： θπμsin 42
0r
Idl
dB =
→ 与I dl 成正比，与距离r 的平方成反比。

方向： B
d
（B ）的方向与I l d 满足右手螺旋法则
常数：7
10
4-⨯=πμ（韦伯/安培·米）或（牛顿/安培2），称为真空中
的磁导率。

实验表明：和电场一样，磁感应强度B
也遵从迭加原理。

故整个载流导线在空间任一点P 产生的磁场B 是各电流元产生的B d
的矢量迭加（场的
迭加性）
⎰⎰⨯=
=
2
ˆ4r
r l Id B d B
π
μ整根载流导线
二、直长载流导线的磁场 P178
设直长载流导线中的电流强度为I （方向如图），计算距导线为a 的场
点P 的B
：
过P 点作垂线与电流交于垂足O 点，离O 点为l 的地方取电流元
I l
d
（将长直导线分为许多电流元），应用毕一萨定律求出电流元的B
d
，再
运用场的迭加性。

任选一电流元：Idl
（如图，方向与
I
相同），r
为从Idl
指向
P 点的矢
径
∴ 2
04ˆr
r
l Id B d πμ⨯=
大小： θ
πμsin 42
0r
Idl
dB =
，θ为r ˆ与dl
的夹角，由dl
旋到r ˆ（0—π内）
方向： 所有电流元在P 点的B
的方向均相同，垂直纸面向外，用
⊙表示。

所以矢量和变为代数和，即求积分
⎰
⎰=
=
θ
πμsin 42
0r
Idl
dB B 整根导线
以下的工作就是怎样通过数学知识来积分：
统一变量：选θ为变量，将被积函数中的变量由已知量和θ表示出来。

（π4、0μ、I 均为常量）。

如图：()()cos cos sin sin sin l r r a
a r r r πθθ
πθθθ=-=-⎧⎪⎨=-=⇒=⎪
⎩
∴ cos sin l a
θθ
=-
求微分：2
sin d dl a
θθ
=
∴ )cos (cos 4sin 42100
2
1
θθπμθθπ
μθθ
-=
−−
→−⎰a
I
d a
I B 化简
特例：（1）导线为无限长时，π
θθ==21
,0（事实上，载流导线非有限
长）
02I
B a
μπ=
即无限长载流直导线周围的磁感应强度B
与距离a 的一次方向反比，与
电流强度I 成正比。

磁感应线是在垂直于导线的平面内以导线为圆心的一系列的同心圆。

（2）P 点位于半无限长导线一端时，⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
====πθπθπθθ2221,22
,0
04I
B a
μπ=
（3）P
点位于延长线上，⎩⎨
⎧===π
θθor 0
21 B =0
三、圆形载流导线的磁场
求圆形载流导线轴线上一点的磁感应强度B。

在线圈上A 点取电流元Idl ，它在轴线上P 点产生的元磁场B d
位于POA 平面内且与
PA （r
）垂直，所以B
d
与轴线OP 的夹角α等于∠PAO 。

现在A 点对称的另一端A ′取电流元l Id ' ，r '
也在平面
POA 内。

由对称
性知：
B d ' 与B
d 合成后垂直于OP
轴的分量相互抵消，合成后合
B d
为沿OP 轴线方向，
所以，圆形电流的所有电流元在P
点的B
d
只有11B d
对B
有贡献。

故 ⎰=
αcos dB B
（大小）方向沿轴方向
又 0
2
sin 4Idl
dB r
μθπ=
（θ为dl
与r
夹角）
当P 点在轴线上时，2
π
θ=
（r
垂直于圆切线，dl
正好沿切线方向）
∴ ⎰=
θ
π
μcos 42
0r
Idl
B
余下的问题又是把被积函数中的积分变量统一起来： 如图：α
sin a r
=
⎰=
dl
a
I
B ααπμcos sin
42
2
0 ⎰=
dl
a
I
ααπμcos sin
42
2
R R
a R R a a
a I ππμ242
2
2
2
2
20⋅⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛+⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛
+=
=
()
2
3
2
2
2
2
R
a
IR
+μ
讨论：（1）圆心处，a =0，R
I
B
20μ=
（方向沿右手螺施法则）
（2）>>a R ，P 点位于距圆形电流较远处的轴线上
()I R a
a
I
R B 2
3
3
2022
ππμμ=
=
=
3
02a
IS
πμ ∴ 3
02a
p B m
πμ=
（3）上式中定义n
IS p m
ˆ=
为载流线圈的磁矩（与电偶极子的电偶极矩类
似），n
ˆ为线圈平面的法线方向的单位矢量。

若载流线圈有N 匝，则n
IS p m ˆ=
四、载流螺流管轴线上一点的磁场
螺线管长L ，半径R ，通电流I ，单位长度匝数为n （n 足够大）。

将螺
旋状电流看作无限靠近的圆形电流，计算螺线管轴线上一点P 的B。

取电流元nIdl
（图形电流）
nIdl
的图形电流在P
点的B
d
为：
()
2
3
2
2
2
2
l
R
nIdl
R dB +=
μ
而 2
cot sin d l R dl R
βββ
=⇒=-
积分得：()210cos cos
2ββμ-=
nI
B
，B
方向由右手螺旋法则确立
讨论：（1）L
R
<<，螺线管可视为无限长，π
ββ==21
,0，则
B =0nI μ
说明密绕长直螺线管内部的磁场是均匀的。

（2）在螺线管任一端的轴线上，2
02
1212
π
βπββπ
β=
===
，或，
2
B nI
μ=
有限长螺线管轴线上磁场分布如下图。

（3）§5.4 将证明：理想的无限长螺线管，其内部各点的B 是均匀的，并等于nI 0μ，其外部各点B =0。

因此，无限长密绕载流螺线管是一种理想装置：在管内它产生一个匀强磁场，在管外磁场为零。

例题1（补充）：习题5.2.1 P212
解：载流导线分为三段：两半无限长导线，一个41
圆弧，它们在O 点产
生的B 的方向一致，所以矢量和变为代数和。

故B
的大小为：
⎪⎭
⎫ ⎝⎛
+=
+
⨯
=+=4122414220004
1
ππμμπμa I a
I a
I
B B B 圆
直
方向垂直于纸面向外。

例题2（补充）：习题5.2.6 P212
解：采用填补法：将AB 段填在两半无限长导线之间形成一无限长直导
线，填在矩形的另一边上组成四边矩形，故O 点的B
可看作一无限长直导
线和一矩形载流导线在O 点产生的磁感应强度的迭加：
直矩B B B +=
（1）直B 的大小为：a
I r
I
B πμπμ002=
=
直
，(2
a r
=
)方向垂直于纸面向外
（2）矩
B
的大小：b a B B B 22+=矩 B
矩
方向垂直纸面向里
由直长导线公式：()012cos cos 4I
B r
μθθπ=
-
得：a 段直导线在O 点：()210cos cos 24θθπμ-⎪⎭
⎫ ⎝⎛=
b I
B a
22
2
1cos cos θθ-=+=
b
a a
∴2
2
010cos 22b
a a b
I b
I
B a
+=
⨯=
πμθπμ
同理得：2
2
0b a b
a
I B b +=
πμ
∴()2
2022b
a ab
I
B B B b a +=
+=πμ矩
⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+=
-=12
2
2
0b
a b
a I B B B πμ直矩
方向垂直纸面向里。

例题3（补充）：习题5.2.10 P213
如图，O 点位于两载流直线部分的延长线上，所以AB 段、CD 段在O 处
产生的0=B。

B1C 段圆弧电流在O 点产生的磁感应强度为1B
，方向⊙ B2C 段圆弧电流在O
点产生的磁感应强度为2B
，方向⊗
由迭加原理求B
时，求矢量和变为求代数和：
()
()
22110
212
2
021
1
01
012
102
10
1444442sin
41
ϕϕπμϕπμϕπμϕπμϕϕπμπ
π
μϕI I r
B B B r
I B r
I d r
I B rd dl d r
r I r
dl I dB o
-=
-==
=
====⎰
同理
而1、2两条电路为并联：I 1R 1=I 2R 2
又 2
12122211
1ϕϕϕρ
ρϕρ
ρ
=⎪⎪⎭
⎪⎪
⎬
⎫
====R R S r S l R S r S l R
22111
21
22
1ϕϕϕϕI I R R I I =⇒=
=
故 B =0
例题4（补充）：习题5.2.15 P214
解：设单位弧长上电流线圈匝数为n ，则R
N
R N n ππ24
2==
，沿弧长取dl ，
则dl 内的总电流为：
dI Indl
=，每一个宽为dl 的小圆带相当于一个电流环，电流环在其轴线
上任一点产生的磁感应强度公式为：
()
2
3
2
2
2
2
r
a
Ir
B +=
μ圆
其中：a 为轴线上一点到圆心的距离，r 为圆环的半径
对此题：cos ,sin a R dl Rd r R α
α
α=⎧=⎨=⎩
，dl 宽的圆环上的电流为dI nIdl =。

半径为
r ，宽为dl 的圆环在球心O 点产生的磁感应强度为dB 环：
()
2
3
2
222
2
sin
cos 2
ααμR R
nIdl
r dB +⋅⋅
=
环
=
3
2
2
R
nIdl r ⋅⋅
μ =
2
0sin 2
nI d μαα
2
00022sin 2
2
4
4o
o
nI
nI N I
B dB d R
π
π
μμμπ
αα=
=
=
⋅=
⎰
⎰
环 方向如图
§5.3 磁场的高斯定理
我们在讨论电场时，为了描述电场的分布情况，引入电场强度矢量E
，
为了描述电场的性质，引入了场强E
的通量及环流，也用同样的方法，我们
来讨论磁感应强度B
的通量和环流。

一、磁通量
1、定义：磁感应强度B 是矢量，B 形成一矢量场，在B
场中取一小面
元S
d ，B 对面元S d
的磁通量定义为：
dS
B S d B d B
θφcos =⋅=
B
对任意曲面S 的磁通量为：
S
d B d S
B S
B ⎰⎰
⎰⎰
⋅=
=
φφ
2、单位：MKSA 制中，磁通的单位：韦伯 1韦伯=1特斯拉·米2 二、磁场的高斯定理
在学习静电场时，我们由库仑定律和场的迭加原理导出了以映静电场性质的高斯定理和环路定理。

用类似的方法，在稳恒电流产生的磁场中，我们从毕奥一萨线尔定律和场的迭加原理也可推出磁场中的“高斯定理”和环路定理。

⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅⇒⎪⎩⎪⎨
⎧=⨯=⎰
∑⎰⎰⎰环路定理高斯定理迭加原理I l d B S d B B d B r r
l Id B d S 02
00ˆ4μπμ
1、高斯定理的表述：通过任意闭合曲面S 的磁通量恒等于零。

⎰⎰
=⋅S
S d B 0
对这一结果可作如下理解：
前面引入磁感应线时规定：通过垂直于B
的单位面积上的磁感应线的条数等于该点B 矢量的量值。

若在B 场中任取一面元，则通过B
场中任一
面元的磁感应线等于该面无的磁通量：
通过dS
的B
线条数=S
d B
⋅
由于磁感应线是闭合曲线，穿入闭合曲面的磁感应线条数等于穿出闭合曲面的磁感应线条数，所以通过任一闭合曲面的总磁通量必然为零。

2、高斯定理的证明：（略、自学）
首先证明，磁场的“高斯定理”对电流元的场成立，然后利用迭加原理，证明对任意电流的磁场该定理也成立。

（1）电流元的场P182-183
（2）用磁场的迭加原理推广即可！！ 3、讨论
（1）定理反映静磁场的无源性（是无源场）； 静电场中，由于自由界有单独的正负电荷，所以⎰⎰
⋅s
d E
可以不为零，
但B 场中，由于无单独的N 、S 极存在，所以⎰⎰⋅s d B
为零。

（2）进一步说明：磁感应线（B
线）是无起点无终点（无头无尾）的
曲线，或从无限远来到无限远去；
在场中任取一S 面，由⎰⎰
⋅s
d B =0知进入S 的B 线与穿出S 的B
线条数
相等，所以是无起点无终点的。

（3）在磁场中以任一闭合曲线L 为边线的所有曲面都有相同的磁通量（由⎰⎰
⋅s
d B =0推得）。

如图：任意闭合曲面被曲线L 分割为S 1和S 2两曲面。

⎰⎰⎰⎰
⎰⎰
=⋅+
⋅=⋅1
2
s s s
s d B s d B s d B
⎰⎰
⎰⎰
'⋅+
⋅=
1
2
s s s d B s d B
由上得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⋅-=⋅⋅-=⋅⎰⎰
⎰⎰⎰⎰
⎰⎰'1
2
1
2
s s s s s
d B s d B s d B s d B
穿过L 为边界的两个面的磁通量等值异号，这时s d
的法线方向规定为
向外为正，若把S 1面及1S '面的法线方向选作如上图所示的方向，则有：
⎰⎰⎰⎰
⎰⎰
'⋅=
⋅=⋅1
1
2
s s s s
d B s d B s d B
§5.4 安培环路定理
仍然由⎰
⎰∑=⋅⇒
⎪⎩
⎪⎨⎧=⨯=环路定理
迭加原理I l d B B
d B r r l Id B d 02
0ˆ4μπμ
一、安培环路定理
1、定理的表述：磁感应强度B
沿任意闭合环路L 的线积分（环流）等
于穿过这个环路的所有电流强度的代数和I 的0μ倍，即：
⎰
=⋅L
I
l d B 0μ
（L 任意闭合曲线）
2、定理的证明：P185—186（略） （1）闭合曲线包围一载流直长导线P185 （2）不包围载流直导线P185 （3）包围多根载流导线P185
（4）电功力学中证明对任意恒定电流的磁场中均成立P186 3、讨论
（1）I 的“+”“－”号规定：当I 与回路积分方向符合右手螺旋关系时为“+”，反之为“－”。

（2） ① 当安培环路L 围绕一电流I 时，⎰=⋅I
l d B 0μ
，但B
并非只有
I 产生；
② 当安培环路不围绕电流时：I =0，⎰=⋅L
l d B 0
，并非
L
上的B
=0
（3）因为⎰≠⋅L
l d B 0
，所以磁场非保守场，为涡旋场
（4）已知I ，由⎰
=⋅I
l d B 0μ
，可计算B
（根据对称性）（不是任何情况
下都求出来），选对称性的目的在于使矢量积分变为标量：要么B ∥l d
或B
⊥l
d 。

步骤！！⎪
⎩⎪⎨⎧列方程求解
取积分环路
分析对称性
（找出B ∥l d 或B ⊥l d
）
二、安培环路定理的应用
1、均匀无限长圆柱载流直导线的磁场
半径为R 的均匀无限长圆柱载流直导线，其电流强度为I ，求距轴线为
r 处的B。

分析对称性：
将无限长圆柱形电流想象或许多无限长线电流的集合。

在OP 两侧对称位置取切面为ds 1和ds 2的两根无限长电流，在P 点产生的1B d 和2B d
的合磁
场21B d B d B
d
+=垂直于半径
r 。

由于整个柱面可以这样成对地分割为许多对
称的无限长直线电流，每对线电流的合成磁感应强度均垂直于半径r ，因而
总电流I 产生的B
的方向也垂直于r ，即柱内外磁场的磁感应线是在垂直轴线平面内以轴线为中心的同心圆，同一圆周上各点B
的量值相同，方向沿
圆周的切线方向。

取过P 点的周围为积分环线，有：
I r B l d B '=⋅=⋅⎰
02μπ
r
I B '
=
πμ20
（1）在圆柱形导体外，（r >R ）
I
I ='
r
I
B πμ20=
外（与无限长线电流的磁场相同）
（2）在圆柱形导线内（r <R ）
在柱内取以r 为半径的圆周作环路L ，穿过此圆面的电流为：
I
R
r I R
r I 2
22
2=
=
'ππ ∴r
R
I
B 2
02πμ=
内
（3）在圆柱形导线表面上，r =R
R
I
B πμ20=
比较结果可知：在柱表面上B 连续并有最大值 2、无限长载流螺线管的磁场
前面由毕奥——萨线尔定律求出了无限长密绕螺线管内轴线上一点的磁感应强度B =nI 0μ，方向沿轴线方向。

在此用安培环路定理求出螺线管内 部及外部各点磁感应强度的大小和方向：
（1）螺线管内任一点B
的方向平行于轴线方向
反证法：螺线管内任一点P ，其B 的方向偏离轴线为B
的方向：由于螺
线管无限长，认为P 点位于管内中心位置。

过P 点作直线zz ′垂直于轴线
00′，以zz ′为轴将螺线管转180°，则P 点B 的方向变为B '。

这时再令螺线管电流反向，由比萨定理，电流反向，则B 必反向，即P 点的B 为-B '
方向，而此时螺线管的状态和螺线管未绕zz ′轴转动前的状态完全相同，
即B 和-B '
应重合。

而前面所得结果与此矛盾，故P 点的B 只能取与轴线平行的方向。

而P 点是管内任取的点，类此可知，螺线管内各点B
的方向均
平行于轴线。

（2）求管内任一点B
的大小
将安培环路定理用于图中的矩形闭合曲线abcda ，其bc 段在轴线上，且长度为l 。

由⎰=⋅L
I
l d B 0μ
得
⎰⎰⎰⎰
⎰
=⋅+⋅+⋅+⋅=
⋅a d
b c
c b
abcda
b
a
l d B l d B l d B l d B l d B 0
而 ab 、cd
段上B
⊥l d 0⎰⎰
=⋅=⋅⇒
d c
b
a
l d B l d B
由于螺线管无限长，bc 段上各点B
大小相同，为B bc 同理认为da 段上各点B
的大小相等为B da ，故有
()0=-=-=⋅⎰⎰
⎰l B B l d B l d B l d B bc da c b
abcda
b a
bc da
bc
B =da B
又 轴线上bc B =nI
B B B nI
bc da 00μμ===⇒
因为矩形曲线是任取的，因此无限长螺线管内任一点的B
均有相同的
数值，方向平行于轴线，即
内
B =nI 0μ
（3）无限长螺线管外的B
的方向仍平行于轴线（仍用反证法） （4）无限长螺线管外B
的大小：
将安培环路定理用于矩形回路bcfeb ，环路包围的电流为（－nI l ），则
⎰⎰⎰⎰
⎰
-=⋅+⋅+⋅+⋅=
⋅b e
e f
f c
bcfeb
c
b
nIl
u l d B l d B l d B l d B l d B 0
而 ⎰⎰=⋅=⋅b e
f
c
l d B l d B 0
∴ ()nIl
l B B l d B B l d B B l d B c b fe c b
bcfeb
e f
c b fe 0μ-=-=⋅+⋅=⋅⎰⎰⎰
nIl
B B c b fe 0μ-=-
而
nI
B c b 0μ=
∴ 0==fe B B 外
3、螺绕环的磁场
密绕在圆环上的螺线形线圈叫做螺绕环。

设螺绕环的平均半径为R ，而环上每个载流线圈的半径远小于R ，螺绕环的剖面图如上。

由于对称性，环内外磁场的磁感应线是与环共轴的一些同心圆，且同一条磁感应线上各点
B
的量值相等，方向沿圆周的切线方向。

（1）环内B
的大小：
在环内取某点P ，过P 点作与环同轴的圆形环路L ，由于L 上任一点B
的量值相等，方向与l
d
相同，故得B
矢量的环流：
⎰⎰==⋅L
L
rB
l d B l d B π2
（r 为L 的半径）
设环上线圈的总匝数为N ，电流I ，由安培环路定律有：
NI
r B l d B L
02μπ=⋅=⋅⎰
∴ r
NI
B
πμ20=
B 与r 成反比，所以环内磁场不均匀。

对螺绕环的轴线上：
⇒
=⇒⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧==nI B R
N n R NI
0022B μππμ即在螺绕环的平均半径R 远大于环上线圈的半
径时，可以认为环内各点B
值均匀。

此结果与无限长螺线管的结果相同，实际上，当螺绕环的R 无限增大时，则螺绕环就过渡为一无限长螺线管。

（2）环外B
的大小
将安培环路定理用于环外与环同心的闭合路径L ′上，有
0='=⋅⎰L B l d B L
（进入L '的电流等于流出L '的电流）
∴ B 外=0
4、均匀载流无限大平面的磁场 在无限大平面上取宽为l 的一部分讨论！ 矩形回路ABCDA ：
AB 段B 与l d 同向，BC 段B ⊥l d
CD 段B 与l d 同向，DA 段B ⊥l d
l
l B l B l d B L
αμ0=⋅+⋅=⋅⎰
2
0α
μ=
B B
方向与I 方向垂直沿z
ˆ轴
§5.5 带电粒子在电磁场中的运动（略） P193-202
§5.6 磁场对载流导体的作用 一、安培力公式
由前知，磁场给运动电荷以作用力，即洛仑兹力，而电流是由电荷的定向运动产生的，因此磁场中的载流导体内的每一定向运动的电荷，都要受到洛仑兹力。

由于这些电荷（例如金属导体中的自由电子）受到导体的约束，而将这个力传递给导体，表现为载流导体受到一个磁场力，通常称为安培力。

下面从运动电荷所受的洛仑兹力导出安培力公式。

任取一电流元
I l d
（如图）并认为在电流元范围内有相同的B。

设导体
单位体积内有n 个载流子，则在电流元I l d
中运动的载流子为l
ndsd dN
=个，
ds 为电流元的横截面积。

每个载流子带电量q ，每个载流子受洛仑兹力
B v q
⨯，则电流元受到的磁力等于电流元
I l
d 内所有定向运动的载流子所受
到的合磁场力，即：
B v ndsdlq B v dNq F d ⨯=⨯=
又正电荷运动的方向为电流元
I l
d 的方向，则有
l Id dl v ndsq
= （t
q v nqds I 0
,==）
因此，电流元在磁场中所受的力，即安培力为：
B
l Id F d
⨯=
上式就是安培力公式，也称为安培定律。

此式是一小段电流元所受的磁力，一载流导体所受的磁力等于作用在它各段电流元上的安培力的矢量和：
⎰
⎰⨯=
=
L
L
B
l Id F d F
二、均匀磁场中的一段长直载流导线所受的安培力
如图：直导线长l ，通电流I ，放在均匀磁场B 中，导线与B
夹角θ。

此
时，作用在各电流元上的安培力F
d
的方向均为垂直图面向里，作用在长直
导线上的合力等于各电流元上的各个分力的代数和，即：
⎰⎰
⎰
===
=
l
o
L
l
o
IBl dl IB IdlB dF F θ
θθsin sin sin
此合力作用在长直导线中点，方向垂直图面向里。

三、非均匀磁场中的载流导线
载流导线处在非均匀磁场中，则每一小段上受安培力F d
的大小和方向
均不同。

求它们的合力比较复杂。

但可视情况把F
d
进行分解，先求出各分
量，再求合力F 。

F
的分量为：
⎰⎰⎰=
=
=
z
z y
y x
x dF F dF
F dF
F
可参考力学中合力分力的求法。

四、均匀磁场中的载流矩形线圈
如图，均匀磁场B
中有一刚性的矩形平面载流线圈abcd ，边长1l 和2l ，
通电流I ，线圈平面的法线方向（电流方向与线圈平面法线方向之间满足右
手关系）与磁场B 成任意角θ，对边ab 、cd 与B
垂直。

根据安培定律，ad 边和bc 边所受的磁场力分别为：
(
)
θθcos 90sin 111
IBl IBdl F F l o ab =+==⎰
(
)
θ
θcos 90sin 131
IBl IBdl F F l o
bc =-=
=⎰
这两个力作用在同一直线上，大小相等而指向相反，互相抵消，合力为零，对刚性线圈不产生影响。

ab 边和cd 边与B 垂直，它们受力2F 和4F 的方向如图（2F 指向读者，4
F
背离读者），大小为：
2
422
IBdl
IBdl F F l O
⎰
==
=
这一对力等大反向合力为零，但不在同一直线上，对线圈产生一力偶
矩T ，由图可知T
的大小为：
θ
θθsin F sin sin 2121412l IBl l F l F T 的值
代入==
而21l l S
=为矩形线圈的面积，所以 θ
sin IBS T =
若线圈有N 匝，则
θ
sin NBIS T =
在此引入一矢量：n
NIS p m
ˆ=
称为载流线圈的磁矩（前面已立义过）
n
NIS p m ˆ=
大小：NIS
p m
=
方向：线圈平面的法线方向
则可把载流线圈所受的力偶矩写成矢量积：
B
p T m
⨯=
此式类似于电偶极子（电矩l q p
=）
在均匀电场E 中所受的力偶矩公式，
所以磁矩（载流线圈的）与电偶极子的电矩处于等价的位置上，在前面已经提到过这一点。

说明：（1）办偶矩公式B
p T m
⨯=从矩形线圈导出，但对均匀磁场中的
任意形状的平面线圈均成立，即使是带电粒子沿闭合回路的运动以及带电粒子的自旋运动所具有的磁矩，在磁场中所受的磁力矩作用，也可用上述公式描述。

（2）由θ
sin B p T m =知：
A 、2
π
θ
=
时，线圈平面与B 方向相互平衡，此时T
取最大值，这一力偶
矩有使θ减小的趋势；
B 、0=θ时，线圈平面与B 方向垂直，B p m
与方向相同，这时T =0，这
是线圈的稳定平衡位置；
C 、π
θ
=时，
B
p m
与反向，仍有T
=0，但这一平衡位置不稳定。

因此：线圈在磁场中的转动促使线圈磁矩m
p 的方向与外磁场B
方向相
同，此时线圈达到稳定平衡。

（3）平面载流线圈在均匀磁场中任意位置上所受的合力均为零，仅受力偶矩的作用。

故在均匀磁场中的平面截流线圈只发生转动，不发生整个线圈的平动。

（4）平面载流线圈处在非均匀磁场中时，一般说来受合力和合力矩均不为零，即线圈除了转动外还有平动，这种情形在此不作要求。

五、磁电式电流计原理
P205-206 如图5-38，5-39
在永久磁铁的两极之间，有圆柱形的软铁芯，用来增强磁极和铁芯间空气隙内的磁场，并使磁场均匀地沿着径向分布。

在空气隙内放一可绕固定轴转动的线圈，轴的两端各有一个游丝且在一端上固定一指针，指针上方有一刻度盘，指针随线圈转动也沿刻度盘转动。

在没有电流时，线圈处在平衡位置，指针指在零点。

当电流通过线圈时，线圈在磁场中受到力偶矩的作用而转动。

由于磁场是轻向均匀的，所以无论线圈转到什么位置，线圈平面的法线方向总是和线圈所在处的磁场
方向垂直θ=90°。

因此，线圈所受的力偶矩T
的大小是不变的，即
T =nBIS （S 为线圈平面的面积）
当线圈转动时，游丝就要被卷紧，卷紧的游丝给线圈一个反方向的扭转力矩T '。

根据实验测定，游丝给线圈的扭转力矩与线圈相对于平衡位置
转过的角度α成正比，即T '
=α
k
式中k 称为游丝的扭转常数，对于一定的游丝来说，k 是恒量。

当线圈受到的磁力矩和游丝给线圈的扭转力矩相互平衡时，线圈停止转动并稳定在给定位置，这时有：
α
ααα
k nSB
k
I I
k nSB k nIBS ==
=
=或
此式说明：（1）I 与α成正比，只要测得指针所指的位置α便可测得电。