第八章 抽样推断

区间估计的基本步骤

1. 按照一定的抽样方式抽取适当的样本进行调查，计算 样本指标，以此作为总体参数的点估计； 2. 根据该种抽样方式的抽样平均误差公式计算出抽样误 差。


3. 根据所要求的置信水平，查正态分布表、t分布表或其
他分布表得对应的概率度，然后再计算出抽样极限误
差：

t
4.给出总体参数的置信区间：


5. 抽样推断的概率保证程度的大小。
1、从某大学的9000名学生中随机抽取1%，调查每周上网 次数，所得资料如下：
上网次数
学生数（人）
0—2
7
2—4
20
4—6
34
6—8
24
8次以上
5
试计算： 1、计算每周上网在4次以上的的学生比重、比重方差。 2、在重复抽样条件下，以95.45%的置信度来估计该校学 生每周上网的平均次数。 3、在重复抽样条件下，以同样的置信度估计该校每周上 网4次以上的学生比重。

方法：抽签法、随机数表法（计算机产生）。
2、分层抽样 分层抽样，即类型抽样，它先将总体各单位按某一
有关标志分成若干个类型组，然后按照一定比例再从各
类型组中随机抽取样本单位。采用这种方法可提高样本
的代表性，减少抽样误差。对于那些总体情况复杂、各
单位之间差异较大、单位数量较多的抽样调查问题，一 般都可以采用分层抽样的方法进行抽样调查。
1. 无偏性： E( x) ，E( p) P
2. 一致性：
lim P x 1 lim P p P 1
n n
ˆ ˆ 3. 有效性： 1 2


区间估计

总体参数的区间估计就是依照一定的概率保证程度，用
样本估计值估计总体参数的取值范围的方法。


例如从A、B、C、D、E五个字母中随机抽取两个作为 样本。N=5，n=2 考虑顺序时：样本个数 P n N! N (N - n)!

不考虑顺序时：样本个数 C n N
N! (N - n)!n!
5、抽样分布：

概念：由所以可能样本统计量的取值和与之相应的概率 （频率）组成的分配数列。（主要求出样本统计
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样方法有关。
4、抽样方法：重复抽样与不重复抽样
重复抽样又叫有放回抽样或重置抽样。它是每抽 出一个样本单位后，把结果记录下来，随即将其放回 到总体中去，使它和其余的单位在下一次抽选中具有 同等被抽中的机会。在重复抽样过程中，总体单位数 始终保持不变，并且同一个单位有多次被抽中的可能 性。

例如从A、B、C、D、E五个字母中随机抽取两个作为 样本。N=5，n=2

大样本的平均数近似服从正态分布。

重复抽样条件下的样本平均数和成数的分布
由概率论可知，如果总体是正态分布的，则样本 平均数的抽样分布服从如下正态分布：
E( X )
E ( P) p
2 2( X )
n
样本成数的抽样分布服从如下正态分布：
p 1 p p 1 p P n n n

抽样设计时，要充分考虑如何降低抽样的成本费用。
四、必要样本数目的确定及其影响因素
在组织抽样之前，必须确定必要抽样数目。
必要抽样数目受以下因素的影响：

1. 总体各单位标志变异程度。 2. 抽样极限误差的大小。 3. 抽样方法。在其他条件相同时，重复抽样比不重复抽 样要求样本容量大些。 4. 抽样方式。采用类型抽样的样本容量要小于简单随机 抽样的样本容量。
5、抽样误差与抽样平均误差

用样本指标来代表总体指标时会产生一定的误差，这种 误差是抽样推断方法本身所固有的，所以叫抽样误差， 属于代表性误差。 抽样误差主要包括样本平均数与总体平均数的差数，样 本成数与总体成数的差数。抽样误差愈小，表示样本的 代表性愈高；反之，代表性就愈低。 抽样误差的大小取决于以下几个因素：


1. 样本容量n的多少
2. 总体被研究标志的变异程度
3. 抽样方法的选择
抽样平均误差：
抽样误差也是一个随机变量，而且这一资料一般无 法取得，所以要准确地、概括地说明抽样误差的水平就 得使用抽样平均误差。

抽样平均误差是所有可能组成的样本的抽样误差的平均
数，反映抽样误差的平均水平，是衡量样本代表性大小
4、整群抽样 整群抽样是将总体所有单位划分为若干个群
（组），然后以群为单位从中随机抽取部分群，对抽中
的群内所有单位进行全面调查的抽样组织形式。整群抽
样与前面三种抽样组织方法相比，是抽样单位扩大了，
即抽取的基本单位不再是总体单位而是群。
不同抽样组织设计的比较

进行抽样设计时需要考虑的两个问题：

提高样本的代表性，增加抽样的效果。抽样要满足随 机性要求。

不重复抽样条件下样本平均数和成数的分布 由概率论可知，如果总体是正态分布的，则样本 平均数的抽样分布服从如下正态分布：
E( X )
(X ) X
2 N n
n N 1
样本成数的抽样分布服从如下正态分布：
E ( P) p
P
p 1 p N n n N 1
的尺度。 从概念出发的公式为：

2 （样本指标 全及指标）
样本个数

重复抽样条件下的抽样平均误差计算：
x p

n p (1 p ) n

不重复抽样条件下的抽样平均误差的计算：
N n n x ( ) (1 ) n N 1 n N
2 2
p(1 p) N n p(1 p) n p ( ) (1 ) n N 1 n N
总体参数 （样本指标 ，样本指标 ）
区间估计的基本要素

包括： 样本点估计值 抽样极限误差：可允许的误差范围。

抽样估计的可靠程度（置信度、概率保证程度）及 概率度
置信区间
样本统计量 (点估计)
置信下限
置信上限
三、几种抽样组织方式
1、简单随机抽样

简单随机抽样又叫纯随机抽样，是最简单、最普遍的抽 样组织方法。它是按照随机性原则直接从总体的全部单 位中，抽取若干个单位作为样本单位，保证总体中每个 单位在抽选中都有同等被抽中的机会。
2、某地种植农作物6000亩，按照随机抽样，调查了300亩。 调查结果如下：平均亩产量为650公斤，标准差为15 公斤，概率为0.9545。 根据上述资料，试求：
（1）利用点估计，推算农作物的总产量
（2）全部农作物的平均亩产量
（3）利用区间估计，求这6000亩农作物的总产量的可能
范围。
本课程圆满结束 谢谢大家
当样本容量n 充分大时，可以用样本平均数估计总体平均数。
m lim p p 1 n n
当试验次数n充分大时，可以用频率代替概率。

大数法则从数量关系角度阐明了样本和总体之间的内在 联系，证明了随着抽样容量n的增加，能够以接近1的概 率期望抽样平均数与总体平均数的偏差为任意小。

大数法则的意义：个别现象受偶然因素影响，但是，对 总体进行大量观察后进行平均，就能使偶然因素的影响 相互抵消，从而使总体平均数稳定下来，反映出事物变 化的一般规律。
中心极限定理

正态分布的再生定理 ：相互独立的两个正态随机变量
相加之和仍服从正态分布。

中心极限定理：
2 X ~ N , n

抽样推断的作用：
须采用抽样推断方法。
1. 某些现象不可能进行全面调查，为了解其全面资料就必
2. 某些理论上可以进行全面调查的现象，采用抽样推断可
以达到事半功倍的效果 。
3. 抽样推断可以对全面调查的结果进行评价和修正。
4. 抽样推断可用于工业生产过程中的质量检验和质量控制 。 来判断假设的真伪，为决策提供依据。
第二节 参数估计
一、概念：
参数估计就是根据样本统计量估计和推算总 体参数的过程。
样本 统计量
估计、推算
总体 参数
二、参数估计的方法

点估计 区间估计
点估计：

点估计：也称定值估计，就是以样本估计量直接代替总 体参数的一种推断方法。


点估计常用方法：矩估计法、极大似然估计法。
点估计量的优良标准
样本

参数

统计量 平均数 标准差、方差 成数
X
、2
p
S、 S2 P
( x x )2 s n 1
2
3、样本容量与样本个数

样本容量：一个样本中所包含的单位数，用n表示。 样本个数：又称样本可能数目，指从一个总体中所可能 抽取的样本的个数。对于有限总体，样本 个数可以计算出来。样本个数的多少与抽
5. 利用抽样推断的原理，可以对某些总体的假设进行检验，
二、抽样推断中的几个基本概念
1、总体和样本

总体：又称全及总体或母体，指所要研究对象的全体， 总体单位数用 N 表示。
由许多客观存在的具有某种共同性质的单位构成。 样本：来自总体，是从总体中按随机原则抽选出来的部 分，由抽选的单位构成。样本单位数用 n 表示。

根据n的多少把样本分为大样本和小样本。
注意：总体是唯一的、确定的，而样本是不确定的、可
变的、随机的。
2、全及指标和样本指标（参数与统计量）

全及指标：反映全及总体数量特征的指标。其数值是唯一的、确
定的。又称“参数”。 样本指标：根据样本分布计算的指标。是不唯一的，随机变量。

又称“统计量。 总体

考虑顺序时：样本个数=N2=52=25
( N n -1)! 不考虑顺序时：样本个数= C n N n -1 ( N -1)!n!
不重复抽样又叫无放回抽样或不重置抽样。它是每 抽出一个样本单位后，把结果记录下来，该单位就不再 放回到总体中去参加以后的抽选。在不重复抽样过程中， 总体单位数逐渐减少，并且每个单位至多只有一次被抽 中的可能性。
3、系统抽样 系统抽样又叫等距抽样或机械抽样。它是先把总体
所有单位按某一标志排队，并根据总体单位数与样本单
位数的比例计算出抽样距离和间隔，随机确定一个起始
点作为第一个样本单位，以后每隔相等的距离和间隔抽
取样本单位。 对总体单位排队时所采用的标志，可以是与调查项 目有关的，也可以是与调查项目无关的，前者称为有关 标志排队法；后者称为无关标志排队法。
量的期望与方差）。例教材P143表6.4，6.5。

包括以下内容：

重复抽样下的抽样分布
样本平均数的分布 样本成数的分布

不重复抽样下的抽样分布
样本平均数的分布 样本成数的分布

补充：大数法则和中心极限定理
Xi 1 i 1
n
1 lim p n n
总体中抽取一部分单位进行调查，并以其结果对总体某
一数量特征作出估计和推断的一种统计方法。

抽样推断的特点：
省力、快捷的特点，能以较小的代价及时获得总体的有
关信息。
抽样推断方法与其它统计调查方法相比，具有省时、
1.按照随机性原则从全部总体中抽取样本单位 2.根据样本资料对总体的数量特征作出具有一定可靠性的 估计和推断 3. 抽样推断必然会产生抽样误差，但误差可以事先计算， 并可以控制。
第八章 抽样推断
学习目标：通过本章的学习，使学生了解抽样调查 的组织形式，掌握抽样误差的计算和控制， 以及参数估计的方法，能进行简单的抽样调 查工作。 本章重点：抽样推断中的几个基本概念，抽样方 法，参数估计以及必要抽样数目的确定。
第一节 抽样推断中的基本概念
一、抽样推断的概念：
抽样推断是一种非全面调查，是按照随机原则，从

抽样分布总结
样本平均数的分布 样本成数的分布
E( X )
重复 抽样
E ( P) p
n
(X )
p 1 p P n
不重 复抽 样
E( X )
2 N n (X ) n N 1
E ( P) p
p 1 p N n P n N 1