2020上海市上中、交附、七宝数学自招试卷

上中自招

1、有足够多的红球和篮球，取其中10个球排成一列，要求：每个红球至少与一个红球相邻，至少有多少种排法？

2、黑板上有2020个数，分别是11

11,,,,232020

，每次操作，选两个数a 和b ，计算得到ab a b ++，再把a 和b 擦掉，把计算的数写上，这样操作2019次最后得到的数是多少？

3、请根据右图写出一个关于整数n 的等式

4、求证：

1111112212221

n n n n +++++<++-

5、给定一个边长为32的正方形，有边长为111,,23

的正方形，设计把这些正方形全放到大正方形内，画出具体配法，并用语言具体描述

6、定义：黄金梯形是指一条对角线能将自己分为两个等腰三角形的等腰梯形，则黄金梯形的上下底（上底小于下底）比为多少？

七宝自招

1、菱形OABC 中，OB AC 、相交于()00,k M x y y x

=，过点M C 、，024x ≤≤，求菱形OABC 的面积最大值

2、二次函数2

y ax bx c =++，其图像都在x 轴及其上方，设212a b c t a ++=，则t 的最值为多少？3、对于各数互不相同的数列123,,,,k a a a a ，若1,n m m n k a a ≤<≤<，则(),n m a a 称为一个逆序，数列中逆序的总数称为该数列的逆序数，如3,2,1中23<，则称()3,2为一个逆序，同理()()3,1,2,1也为逆序，逆序数为213+=，现有一各数互不相同的数列123100,,,,a a a a ，逆序数为k ，则该数列颠倒后得到的100991,,,a a a ，逆序数为多少？4、已知实数t ，使得[]231,2,3,,n t t t t n ⎡⎤⎡⎤⎡⎤====⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 都成立，求正整数n 的最大值

交附自招

1、直线1234//////l l l l ，其中12,l l 之间距离和34,l l 之间距离均为1，23,l l 之间距离为2，正方形ABCD 的四个顶点分别在1234,,,l l l l 上，则_______

ABCD S =2、设()1x f x x =+，则()()()1112399______99982f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

3、设第n 行第m 个数为,n m a ，满足,1,1,1,11n n m n m n m a a a a n +++=

=+，，求12,11______a =

4、设()()1122,,P x y Q x y 、，定义PQ 的“xx 距离”为1212x x y y -+-，求下列情况中PQ 的“xx 距离”的最小值.

（1）()2,2P Q -，在1y x =-上；

（2）()2,2P Q -，在2

1y x =-上；（3）P 在1y x =-上，Q 在2

1y x =-上；

5、试用直尺、圆规在下图中作出90ACB CA CB ∠==

，的ACB ∆，其中A 在线段a 上，B 在线段b 上.

法二：第一步：过C 作CD b ⊥于D

第二步：如图，在b 上作DE CD

=第三步：过E 作EA b ⊥交a 于A

第四步：联结CA ，以C 为圆心CA 为半径画弧交AB ，ABC ∆为所求三角形

的正整数r s t 、、，其中r s t <<，使得()()()222

rs rt st +=

7、矩形34ABCD AB BC ==，，，联结AC ，若以B 为圆心，r 为半径的圆与线段AC AD CD ，，都有公共点，则r 的取值范围是___________

附加题：

1、解关于x 的方程()11301

a a x x --++=+6、我们知道存在无穷多组最大公约数为1的正整数a 、

b 、

c 使a 2+b 2=c 2，求证：存在无穷多组最大公约数为1

2、（1）如图1、求证：2AOD ACD

∠=∠（2）如图2、AC BD ⊥，M 是AB 中点；①求证：EM CD ⊥；②2CD OM =