用好法向量-巧解高考题

用好法向量-巧解高考题

用好法向量，巧解高考题

为了和国际数学接轨，全日制普通高级中学教科书中增加了向量的内容，随着课程改革的进行，向量的应用将会更加广泛，这在2004年高考数学试题中得到了充分的体现。向量在研究空间几何问题中为学生提供了新的视角，但在教学中，我们的应用还不够，特别是法向量的应用，教科书中只给了一个概

念：如果非零向量，那么叫做平面的法向量，实质上，法向量的灵活应用，将使得原本很繁琐的推理，变得思路清晰且规范。本文将介绍法向量在空间几何证明、计算中的应用。

（一）直线的方向向量和平面的法向量分别为，则直线和平面所成的角等于向量所成的锐角（若所成的角为钝角，则为其补角）

的余角，即。

(2003全国（理）18题) 如图，直三棱柱中，底面是等腰直角三角形,，侧棱，分别是与的中点，点在平面上的射影是的重心，

（Ⅰ）求与平面所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；

（Ⅱ）求点到平面的距离。

（Ⅰ）解：以为坐标原点，建立如图所示的坐标系，

设，则，，，

，，，

∴ ,，

∴，，

由得，，

∴，，，设平面的法向量为，则，，由，得，

，令得，，

∴平面的一个法向量为，

∴ 与的夹角的余弦值是，

∴ 与平面所成角为。

当直线与平面平行时，直线与平面所成的角为，此时直线的方向向量与平面的法向量垂直，我们可利用这一特征来证明直线与平面平行。

（二）如果不在平面内一条直线与平面的一个法向量垂直，那么这条直线和这个平面平行。

（2004年高考湖南（理）19题）如图，在底面是菱形的四棱锥中， ,，，点在上，且

，

（I）证明：；

（II）求以为棱，与为面的二面角的大小；

（Ⅲ）在棱上是否存在一点，使？证明你的结论。

（Ⅲ）解：以为坐标原点，直线分别为轴、轴，过点垂直平面的直线为轴，建立空间直角坐标系（如图），由题设条件，相关各

点的坐标分别为，

，

∴ ，，

设平面的法向量为，则由题意可知，，由得，

∴令得，，

∴平面的一个法向量为

设点是棱上的点，，则

，

由得，

∴ ，∴当是棱的中点时，。

同样，当直线与平面垂直时，直线与平面所成的角为，此时直线的方向向量与平面的法向量平行，我们可利用这一特征来证明直线与平面垂直。

（三）设二面角的两个半平面和的法向量分别为，设二面角的大小为，则二面角的平面角与两法向量所成的角相等或互补，

当二面角的锐角时，；当二面角为钝角时，

。

我们再来看2004年高考湖南（理）19题：

（Ⅱ）解：由题意可知， , , ∵ ∴ 为平面的一个法向量，

设平面的法向量为，则由题意可知， , 由得，

∴令得，，

∴平面的一个法向量为，

∴向量与夹角的余弦值是，∴ ，由题意可知，以为棱，与为面的二面角是锐角，

∴所求二面角的大小为。

我们知道当两个平面的法向量互相垂直时，两个平面所成的二面角为直角，此时两个平面垂直，我们可用这一特征来证明两个平面垂直。

（四）设两个平面和的法向量分别为，若，则这两个平面垂直。

（1996年全国（文）23题）在正三棱柱中，，分别是上的点，且，求证：平面平面

。

证明：以为坐标原点，建立如图所示的坐标系，

则，，，，，

∴，，

设平面的法向量为，则由题意可知，，由得，

∴令得，，

∴平面的一个法向量为，

由题意可知，平面的一个法向量为

∴ ∴平面平面

（五）设平面的法向量为，是平面外一点，是平面内一点，则点到平面的距离等于在法向量上的投影的绝对值，即

。

我们再来看2003年全国（理）18题：

（Ⅱ）解：设，则，，，，∴ ，，

设平面的法向量为，则，，

由，得，

，令得，，

∴平面的一个法向量为，而，

∴点到平面的距离。

我们知道直线与平面、两个平面的距离都归结为点到平面的距离，故此法同样可以解决直线与平面、两个平行平面的距离。

（六）设向量与两异面直线都垂直（我们也把向量称为两异面直线的法向量），分别为异面直线上的点，则两异面直线的距离

等于法向量上的投影的绝对值，即。

（1999年全国（理）21题）如图，已知正四棱柱中，点在棱上，截面，且面与底面所成的角为，，求异面直线与之间的距离。

解：以为坐标原点，建立如图所示的坐标系，

连结交于，连结，则就是

面与底面所成的角的平面角，

∴=，∴

又∵截面，为的中点，

∴ 为的中点，∴ ，

则，，，，

∴ ，，

设向量与两异面直线都垂直，由，得，

∴，∴ ，

∴异面直线与之间的距离

前面介绍了利用法向量解决空间几何的证明与计算问题，实现了几何问题的代数化，将复杂的几何证明转化为代数运算，从而避免了几何作图，减少了逻辑推理，降低了难度。但公式的应用也有一定的局限性，一般地，在能建立空间直角坐标系的情况下，利用法向量较为有效。