物流运输路径规划

3. 网 络
一个图连同定义在其边集上的实函数一起称为一 个网络．网络一般是连通图．定义在边集上的实函数 称为边的权数记为
wij＝w (vi，vj)
它与边(vi，vj)具有一一对应关系，可以用以表达 网络上的各种有关性质，如路长、流量、费用等 等．网络的图解即在每条边旁标上相应的权数．
若一网络的每条边都是无向边，则称为无向网络，
第二节 最短路径问题
基本算法有两种： •Dijkstra算法：求某一点到其他各点之间的最短距离 •矩阵算法：求任意两点之间的距离。
第二节 最短路径问题
二、最短路问题的算法
1、双标号法（Dijkstra算法），它是在1959年提出来 的。目前公认，在所有的权wij ≥0时，这个算法是寻 求最短路问题最好的算法。并且，这个算法实际上也 给出了寻求从一个始定点vs到任意一个点vj的最短路。
第二节 最短路径问题
Dijkstra算法
设dij表示两个相邻点i——j点距离；如果不相邻dij
设Lsi表示不相邻的S-i之间的距离。 为了标志最短路的点，就对其标号。整个方法里面有 两种标号： （1）最短路上的点的标号，用P（permanent）表示; （2）不是最短路上的点的标号，用T(temporary)表示。
1736年瑞士科学家欧拉发表了关于图论方 面的第一篇科学论文《与位置几何有关的一个 问题的解 》，解决了著名的哥尼斯堡七座桥问 题。17世纪的东普鲁士有一座哥尼斯堡城（现 在叫加里宁格勒，在波罗的海南岸），城中有 一条普雷格尔河，河中有两个岛屿，河的两岸 和岛屿之间有七座桥相互连接，如下图所示。
第六章 物流运输路径规划
哥尼斯堡一角
第六章 物流运输路径规划
当地的居民热衷于 这样一个问题，一个漫 步者如何能够走过这七 座桥，并且每座桥只能 走过一次，最终回到原 出发地。 尽管试验者很多， 但是都没有成功。
A D
C B
第六章 物流运输路径规划
为了寻找答案，1736年欧拉把
陆地缩为一点，把桥作为连接点的
边，将这个问题抽象成图形的一笔
一、图的定义
无向图G =（V，E）
其中：V ＝｛v1、v2、v3、v4、v5｝ E ＝｛e1、e2、e3、e4、e5、e6、e7｝ 并且： e 1 ＝（v1、v2） e 2＝（v1、v2） e 3 ＝（v1、v3） e 4 ＝（v1、v4） e 5 ＝（v3、v4） e 6 ＝（v3、v3） e 7 ＝（v2、v5）
6
政府的难题
政府想在7个小区准备共建一套医务所、邮局、 储蓄所等服务设施，应建于哪一居民小区，使 对居民总体来说感到方便。
电信部分拟将布设宽带到各个小区，应如何铺 设最为经济？
工作组组织考察，从小区①出发，经过各小区 （顺序不限），最后到小区⑦再离去，哪条路 最近？
第六章 物流运输路径规划
e22 v5
e45
一、图的定义
次：一个顶点v具有关联边的总数称为该顶点的次，
记作d(v)（每个环视作两条边），如图6-4。
d(v1)= 3，d(v2)= 4， d(v5)= 1。 把次为奇数的顶点称
e22
v1
v2
e12
为奇顶点，次为偶数 的顶点称为偶顶点。
e'13 e13
e24
e34
v3
v4
图图 66-.14
v5
e5
是一条连接v6、v3 的初等链。
e6
v6
e7
e8
e9
e1
图6-5
v1
e2
v4
e4
e10
v3
v2 e3
二、连通图
连通的 规定：
在无向图中，若顶点vi与vj之间存在链， 则称vi与vj是连通的。 vi与自身是连通的
连通图 若无向图G中的任意两个顶点都是连通的，
则称G是连通图，否则称G是非连通图。
二、连通图
例如在图6-5中： S={v6 e6 v5 e7 v1 e8 v5 e7 v1 e9 v4 e4 v3}是一 条连接v6、v3的链，链长为6. S1={v6 e6 v5 e7 v1 e8 v5 e5 v4 e4 v3}是一条连接v6、v3的简单 链，链长为5.
S2={v6 e6 v5 e7 v1 e9 v4 e4 v3}
图6-4（a）
图6-4（b）
图6-4（c）
一、图的定义
子图与支撑子图：在图G=(V，E)中，若V1V，E1E，则 图G1=(V1、E1)称为G的子图，如图6-4中的(b)就是(a)的 子图。特别地：V1=V，E1E时，称G1是G的支撑子图 (生成子图）。如图6-4中(c)、(b)都是(a)的支撑图。
☞ 第一节 图的基本概念 ☞ 第二节 最短路径问题 ☞ 第三节 最大流问题 ☞ 第四节 最小费用流问题 ☞ 第五节 单、多回路运输路线问题
第六章 物流运输路径规划
图论是应用非常广泛的运筹学分支，它已 经广泛地应用于物理学控制论，信息论，工程 技术，交通运输，经济管理，电子计算机等各 项领域。对于科学研究，市场和社会生活中的 许多问题，可以同图论的理论和方法来加以解 决。例如，各种通信线路的架设，输油管道的 铺设，铁路或者公路交通网络的合理布局等问 题，都可以应用图论的方法，简便、快捷地加 以解决。
怎么走，成本最低？应该先送哪一个商店？
现需要送20吨百货到A、B…等10个分店， 每个分店的需求都很零散， 至少需要多少什么型号的车辆？
每天各个分店都有部分百货要运回或转移到 其他分店，怎么运输车辆返空率最低，成本最低？
利客隆 超市分部图
总部
小李的答案类似解
太原 重庆
石家庄
北京 天津
塘沽
济南 青岛
第六章 物流运输路径规划
随着科学技术的进步，特别是电子计算机技 术的发展，图论的理论获得了更进一步的发展， 应用更加广泛。如果将复杂的工程系统和管理问 题用图的理论加以描述，可以解决许多工程项目 和管理决策的最优问题。因此，图论越来越受到 工程技术人员和经营管理人员的重视。
第六章 物流运输路径规划
图6-4（a）
图6-4（b）
图6-4（c）
一、图的定义
定理1 在任何图中顶点次数总和等于边数的2倍。 定理2 任何图中，次为奇数的顶点必有偶数个。
即奇顶点必有偶数个。
二、连通图
定义2 无向图G=(V，E)中，称某些点及其关联边的 交替序列{v1 e1 v2 e2 … en vn }为从v1到vn的一条链， v1、vn分别称为链的始点和终点，链长为n。 若一条链的始点与终点重合，则称为闭链(在 无向图中闭链又称为回路），否则，称为开链。 点边序列中若只有重复的点而无重复的边，则称 为简单链。点边序列中若既没有重复的点也无重 复的边，则称为初等链（也称为通路）。
画问题。即能否从某一点开始不重
复地一笔画出这个图形，最终回到
原点。欧拉在他的论文中证明了这
是不可能的，因为这个图形中每一
个顶点都与奇数条边相连接，不可
能将它一笔画出，这就是古典图论
中的第一个著名问题。
C
A D
C B
A
D
B
第六章 物流运输路径规划
第一节 图的基本概念
在实际的生产和生活中，人们为了反映事物之间的 关系，常常在纸上用点和线来画出各式各样的示意图。
第六章 物流运输路径规划
主讲人：邓建新 dengjxin@163.com
小李的难题
小李自广西大学营销专业毕业进入利客隆工作前天刚 过1年，昨天得到了一个好消息，公司调它到总部做配 送调度。小李very,very高兴，说公司很给力，决定 一定要做好这份工作。而公司也希望借用小李的学识， 以进一步规范企业配送，提高质量，降低成本，在沃 尔玛、南城百货等大型超市挤压下争取生存机会。但 对小李来说，调度还真是新鲜事。对于干了1年的小李， 对公司的规模、布局了如指掌。
我们就把类似以上的几个例子中通过点和点之间 的线来反映实际生产和生活中的某些特定对象之间的 特定关系的所构成图形称为图（Graph）。一般来说， 通常用点表示研究对象,用点与点之间的线表示研究对 象之间的特定关系。由于在一般情况下，图中的相对 位置如何，点与点之间线的长短曲直，对于反映研究 对象之间的关系，显的并不重要，因此，图论中的图 与几何图，工程图等本质上是不同的。
图6-3
第一节 图的基本概念
v2
v4
v1
•有向图D（V，A）
•V为顶点集
•A（arc）为边或弧
v3
v6 v5
一、图的定义
关联边：和同一个顶点相
连的边，均称为该点的
关联边，如图6-4中的 e24、e34、e45均是v4的关 联边。
相邻点：一条边的两个顶
点，称为相邻点，如v2 与v4，v4与v5等是相邻 点，而v2与v5则不是。
记为
N＝(G，w ) 或 N＝(V，E )
3. 网 络
若一网络的每条边都是有向边，则称为有向网络，
记为
N＝( D，w ) 或 N＝ ( V，A )
若一网络中既有无向边，也有有向边，则称为混合 网络．
所谓网络分析，即对网络进行定性和定量分析，以 便为实现某种优化目标而寻求最优方案．这方面的典型 问题有：最小树问题，最短路问题，中心问题，重心问 题，最大流问题，最小费用最大流问题，网络计划问题， 等等．
C
D
一、图的定义
定义1： 一个图是由点集V={vi }和V中元素的
无序对集E={ ek }所构成的二元组，记作：G = （V，E），其中 vi 称为顶点，ek 称为边。|V | 表 示顶点个数，|E | 表示边的个数。当V和E都是有 限集合时，G为有限图，否则，称为无限图。本 书只论及有限图。图中所有边都没有方向，称为 无向图，否则称为有向图。例如下面图6-3，即 为无向图.
一、图的定义
例1 某地区有五
个镇A、B、C、D、 E它们之间有公路 相通的情况如图所 示。
一、图的定义
在图论中，我们只关心两点间是否有联系，至于 公路的大小、等级、状况均无关紧要，亦即不考虑线 段（边）的长度，点的位置带有随意性，它们并不按 比例尺画，如五个镇之间的连接图也可画成右图表示。
A
E
B
第二节 最短路径问题
v2
6
v4
从v1到v6的路线是很多 v1 的。比如从v1出发，经过 v2 ,v4到达v6或者从v1出 发，经过v2，v3，v5到达
3 14
5 1
v3
3
2
v6
6
v5
v6等等。但不同的路线，经过的总长度是不同的。例如， 按照第一个线路，总长度是3+6+3=12单位，按照第二个路
线，总长度是3+1+1+6=11单位。
例 有六支球队进行足球比赛，我们分别用点
v1…v6 表示这六支球队，它们之间的比赛情况，也可 以用图反映出来，已知v1 队战胜v2 队，v2 队战胜v3队 ，v3 队战胜v5 队，如此等等。这个胜负情况，可以用 下图所示的有向图反映出来。
第一节 图的基本概念
v2
v4
v1
v6
v3
v5
第一节 图的基本概念
郑州
徐州 连云港
武汉
南京
上海
长途运输路线问题
长虹街道近年新建了11个居民小区，各小区的大致位 置及相互间的道路距离如图所示，单位（100m）， 各居住小区居民数为：①2000, ②3000, ③3500, ④ 3700, ⑤5000, ⑥2800, ⑦4500。
16
4
5
4
2
7
33
2
7
4
75
2
6
5
v5 e45
一、图的定义
悬挂点与孤立点：
次为1的顶点称为
悬挂点，如v5。次为
0的顶点称为孤立点， v1
v2
如v6。
e12
e'13 e13
e24
e34
v3
v4
图图 56-.41
悬
e22
挂 点
v5
e45
孤 立
点
v6
一、图的定义
简单图：无环、无多重边的图称为简单图，如图6-4(a)、 (b)、(c)，后面如无特殊说明，均指简单图。
第一节 图的基本概念
一、图的定义
图论中所研究的图，是指反映或描述自然界或 人类社会中，大量的事物及事物之间关系的图形。 是由点和线组成的。点称为顶点，它的集合用V （Vertex）表示，顶点通常表示有形或无形的事物。 线称为边，它的集合用E（Edge）表示，边通常表 示事物与事物（点与点）之间的联系或特定的关系。
第二节 最短路径问题
Dijkstra算法
1
2
4
3
假定1——2——3——4是1—4的最短路。 则1——2——3一定是1—3的最短路， 2——3——4也一定是2—4的最短路。
第二节 最短路径问题
Dijkstra算法
1
2
4
3
5
反证：设1—3的最短路为1——5——3。 则1——5——3——4的路长肯定小于 1——2——3——4。 这与假设矛盾。
v1
v2
e12
e'13 e13
e24
e34
v3
v4
图图 66-.41
e22 v5
e45
一、图的定义
环与多重边： 两个顶点相同的 边称为环，如e22， 两个顶点之间的 边数≥2时,叫多 重边,如e13 ,e’13 就是二重边。
环
二重边
Leabharlann Baidu
v1
v2
e12
e'13 e13
e24
e34
v3
v4
图图 66-.41