高考数学 6.7 数学归纳法知识研习 理(通用版)

第六章 不等式、推理与证明
考点三 证明整除问题
【案例3】 用数学归纳法证明：f(n)＝3·52n＋1＋23n＋ 1(n∈N*)能被17整除．
关键提示：用数学归纳法证明整除问题，由k过渡到k＋
.(
其
中
n∈N*) 证明：(1)当 n＝1 时，等式左边＝2×1 4＝18，
右边＝81，
所以等式成立．
假设 n＝k(k≥1，k∈N*)时等式成立，
即2×1 4＋4×1 6＋6×1 8＋…＋2k21k＋2＝4k＋k 1成立，
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第六章 不等式、推理与证明
那么当 n＝k＋1 时， 2×1 4＋4×1 6＋6×1 8＋…＋2k21k＋2 ＋2k＋1[21k＋1＋2] ＝4k＋k 1＋4k＋11k＋2＝4kk＋k＋12k＋＋12 ＝4k＋k＋11k＋2 2＝4[k＋k＋11＋1]， 即 n＝k＋1 时等号成立． 由(1)、(2)可知，对任意 n∈N*等式总成立．
被m整除，猜想m的最大值为( )
A．9
B．18
C．27
D．36
解析：因为f(1)＝11×32＋9＝11×9＋9＝12×9，
f(2)＝(4＋9)×33＋9＝13×33＋9＝40×9，
故猜想m＝36.
答案：D
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第六章 不等式、推理与证明
在应用数学归纳法证明时：
第一步：验证n＝n0时，n0不一定为1，根据题设，有时
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第六章 不等式、推理与证明
证明：(1)当 n＝1 时，左边＝1×1 2＝12，右边＝12， 等式成立． (2)假设当 n＝k 时，等式成立， 即1×1 2＋3×1 4＋…＋2k－11·2k＝k＋1 1＋k＋1 2＋…＋21k. 则当 n＝k＋1 时，
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第六章 不等式、推理与证明
证明：(1)当 n＝1 时，a1＝25＞2，不等式成立． (2)假设当 n＝k 时不等式成立，即 ak＞2(k∈N*)， 则 ak＋1－2＝2aak－k2 1－2＝2aak－k－212＞0， 所以 ak＋1＞2. 当 n＝k＋1 时，不等式也成立． 综上(1)(2)，不等式对所有正整数都成立
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第六章 不等式、推理与证明
证明：①当 n＝1 时，有 a22＋a2－1＝0，
所以
a2＝－12±
5 .
又 an≥0⇒a2＝ 52－1＞0＝a1.
②假设 n＝k 时，ak＜ak＋1 成立． 又 an≥0，所以 ak2＜ak＋12. 所以 ak＋12＋ak＋1－1＜ak＋22＋ak＋2－1，
所以(ak＋2－ak＋1)(ak＋2＋ak＋1＋1)＞0.
可为2,3等．
第二步：证明n＝k＋1时命题也成立一定要用n＝k的假
设结论，否则不是数学归纳法．
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第六章 不等式、推理与证明
考点一 证明等式问题 【案例 1】 用数学归纳法证明： 1×1 2＋3×1 4＋…＋2n－11·2n＝n＋1 1＋n＋1 2＋…＋n＋1 n. 关键提示：注意证明 n＝k＋1 时，左右两边均产生变化．
＝
1 k＋1＋1
＋
1 k＋1＋2
＋
…
＋
1 k＋1＋k
＋
k＋1＋1 k＋1，
即当 n＝k＋1 时，等式成立．
根据(1)(2)可知，对一切 n∈N*，等式成立．
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第六章 不等式、推理与证明
【即时巩固 1】 用数学归纳法证明：
1 2×4
＋
1 4×6
＋
1 6×8
＋
…
＋
1 2n2n＋2
＝
n 4n＋1
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第六章 不等式、推理与证明
1．在应用数学归纳法证明凸 n 边形的对角线为12n(n－
3)条时，第一步检验 n 等于( )
A．1
B．2
C．3
D．0
解析：第一步应为n＝3.
答案：C
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第六章 不等式、推理与证明
2．用数学归纳法证明 1＋a＋a2＋…＋an＋1＝1－1－ana＋2
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第六章 不等式、推理与证明
考点二 证明不等式问题
【案例2】 已知数列{an}，an≥0，a1＝0，且an＋12＋an ＋1－1＝an2，求证：n∈N*时，an＜an＋1.
关键提示：可以利用ak2＝ak＋12＋ak＋1－1实现ak到ak＋1， ak＋1到ak＋2的转化．
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(a≠0)，在验证 n＝1 时，等式左端计算所得的项是( )
A．1
B．1＋a
C．1＋a＋a2
D．1＋a＋a2＋a3
解析：n＝1，左边为1＋a＋a2.
答案：C
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第六章 不等式、推理与证明
3．设 f(n)＝n＋1 1＋n＋1 2＋n＋1 3＋…＋21n(n∈N*)，那么
f(n＋1)－f(n)等于( )
1×1 2＋3×1 4＋…＋2k－11·2k＋2k＋112k＋2 ＝k＋1 1＋k＋1 2＋…＋21k＋2k＋112k＋2 ＝k＋1 2＋k＋1 3＋…＋21k＋2k＋1 1－2k＋1 2＋k＋1 1 ＝k＋1 2＋k＋1 3＋…＋21k＋2k＋1 1＋2k＋1 2
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第六章 不等式、推理与证明
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第六章 不等式、推理与证明
一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步
骤进行：
(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0时命题成立 ； (2)(归纳递推)假设n＝k(k∈N*，k≥n0)时命题成立， 证明当n＝k＋1时结论也成立． 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所 有正整数n都成立．上述证明方法叫做 数学归纳法 ．
1 A.2n＋1
1 B.2n＋2
C.2n1＋1＋2n1＋2
D.2n1＋1－2n1＋2
解析：f(n＋1)－f(n)＝2n1＋1＋2n1＋2－n＋1 1＝2n1＋1－
1 2n＋2.
答案：D
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第六章 不等式、推理与证明
4．设函数f(n)＝(2n＋9)3n＋1＋9.当n∈N*时，若f(n)能
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第六章 不等式、推理与证明
因为an≥0恒成立，所以ak＋2＋ak＋1＋1＞0， 所以ak＋2－ak＋1＞0，即ak＋1＜ak＋2， 所以命题对n＝k＋1时也成立．
综上①②可知，原命题成立．
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第六章 不等式、推理与证明
【即时巩固 2】 数列{an}中，a1＝52，an＋1＝2aan－n2 1 (n∈N*)，用数学归纳法证明：an＞2(n∈N*)．