第三章平面力系的平衡问题
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第三章 平面力系的平衡问题
力作用线在同一平面内，但彼此不汇交一点， 且不都平行的力系称为平面力系。
力系中各力近似作用在同一平面
力系有对称平面
§3-1 平面力系的平衡方程
1. 平面力系的合成结果、合力矩定理
主矢 主矩
F'R = F1 +F2+···+Fn=∑Fi
MO = ∑ MO (Fi )
代数和
（1） F'R =0，而MO≠0，原力系合成为力偶。
3．物体系统的平衡问题：
注意研究对象的选取.
M M
A B
(F) (F)
0 0
M C (F) 0
4．静力学的任务:
分析受力平衡条件约束反力
P ( 2l r) FBl P( 2l r) 0
Fx 0
FB 0
FAx P 0
FAx P
Fy 0 FAy P 0 FAy P
现将解平面力系平衡问题的方法和步骤归纳如下： 1．根据问题条件和要求，选取研究对象。 2．分析研究对象的受力情况，画受力图。画出研究 对象所受的全部主动力和约束力。 3．根据力系类型写平衡方程。平面一般力系只有三 个独立平衡方程。为计算简捷，应选取适当的坐标 系和矩心，以使方程中未知量最少。 4．求解。校核和讨论计算结果。
FAy FAx
解： 1.取整体为研究对象。 2.受力分析如图。
FCx FCy
3.列平衡方程。
M C F 0, 5r G 2r FAx 0
FAx 2.5G
G
4.取杆AB为研究对象，受力分析如图。
FAy FAx
Fx 0, FAx FBx FE 0
FE
例1 已知：a、P、Q。求A、B 的约束反力。
解：(1)考虑整体,受力如图所示，列平衡方程如下：
MA
0
YB
2a
Q
1a 2
P1a 2
0
得：YB
1 (P 4
Q)
MB
0
YA
2a
P
3 2
a
Q
a 2
0
得：YA
3 4
P
1 4
Q
Fx 0 X A X B Q 0
2. 选取DCE研究对象，
受力分析如图所示。
G
D
FDB K
FK
FCx C FCy
FEy
FEx
E
MC F 0,
FDB cos 45 2l FK l FEy 2l 0
FA
5 8
2
G
FEy
G FA sin
45
13G 8
FK
G 2
F Ex
5G 8
（1）平面一般力系的平衡方程的基本方程
Fx 0 Fy 0
M O (F ) 0
即：力系中各力在任选的两正交坐标轴上投影 的代数和为0，以及力系中各力对任一点之矩的 代数和也等于0。
对一个研究对象建立的独立方程数为3个. 方程中至少有一个矩方程. 投影轴及矩心均为任意.
在轴线平面内受横向力或力偶作用的杆件—梁
F
M
简支梁
F F
q FR l
M 外伸梁 M 悬臂梁
分 布 载 荷 的 处 理
连续梁 组合梁
例2 图示平面结构，各杆自重
不计。已知：l,r,P,=45,试确 定A、B处约束反力。
解：BC杆为二力杆，以整体为 研究对象，其受力如图所示。
列平衡方程：
M A(F) 0
注意: 1.销钉处的力如何处理 2. 中间结果为负值时,代入为代数值,受力图
遵守作用力反作用力不变.
思考:如图所示，已知重力G，DC=CE=AC=
CB=2l ； 定 滑 轮 半 径 为 R ， 动 滑 轮 半 径 为 r ， 且
R=2r=l, θ=45°。试求：A，E支座的约束力及BD
杆所受的力。
(2)考虑左半部
MC
0
XA
1 (P 4
Q)
代入得：
XB
1 (3Q 4
P)
例2 已知：四连杆机构ABCD 受力
P、Q 作用。 求: 机构平衡时P、Q 的关系。
解:考虑整体DABC的平衡：
ME 0
P cos30o BE Q AE
AE 2BE
2Q 3 P 2
平衡方程的其它形式
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ二矩式
M M
A B
( (
F F
) )
0 0
Fx 0
附加条件:AB连线不能与x轴垂直
三矩式
M M
A B
(F (F
) )
0 0
M C (F ) 0
附加条件:A、B、C不能共线
为什么?
（2）平面平行力系的平衡方程
P 2 2 0.61 Q3
例3.图示结构，各杆
自重不计。已知：
l,q,M。试确定固定 端E处约束反力。
解：首先以AC杆为 研究对象，其受力 如图所示。
列平衡方程：
MC (F) 0
M
FBl
1 2
ql 2
0
解得：
FB
M l
1 ql 2
再以整体为研究对象，其 受力如图所示。
列平衡方程：
FDx FDy
M D F 0
M F sin 60 4 F cos 60 4
FBy 6 FBx 4 0
FBx = 20.75 k N
FBy
Fx 0,
FBx F cos 60 FDx 0 FBx B
FDx = 13.25 k N
Fy 0,
§3-2 刚体系统的平衡
刚体系统是指由几个刚体通过约束组成的系统。 求解和研究刚体系统的平衡问题时需要注意以下 几点：
(1)整体系统平衡，每个刚体也平衡。因此，可 取整体或部分系统(有关联的若干刚体)或单个刚体为 研究对象。
(2)分清系统内力和外力。 (3)灵活选取研究对象和列写平衡方程。 (4)如系统由n个刚体组成，而每个刚体在平面力 系作用下平衡，则有3n个独立的平衡方程，可解3n 个未知量。
D
K A
C
BⅠ
E Ⅱ
G
FA A
D
1. 选取整体研究对象，受力分析如图所示。
K
C
BⅠ
FEy
E
FEx
Ⅱ
M E F 0,
FA
2 2l G 5 l 0 2
Fx 0, FA cos 45 FEx 0
Fy 0, FA sin 45 FEy G 0
Q3.某平面力系向同平面内任一点简化的结果都相 同,那此力系简化的最终结果可能是什么?
2. 平面力系的平衡方程
由前面力系简化结果可知，平面力系可以简化 为一个力和一个力偶。
平 面
FR F 0
力
系
平
衡 MO MO F 0
Fx 0 Fy 0
MO F 0
F DB
3
2G 8
§3-3 静定、静不定问题
静定与静不定概念
静定问题：未知量个数= 独立的平衡方程个数；
静不定问题：未知量个数 >独立的平衡方程个数。
1.如何判定? 正确的受力分析力系类型独立方程个数
2.静不定次数 静不定次数=未知量个数-独立方程个数
3.静不定问题的求解 在刚体已无自由度的基础上,增加“多余”约束. “多余”约束,力“多余”,刚度不多余. 约束反力与变形有关,需补充变形协调方程(材力)
Fx 0 M O (F )
0
其中: x 轴与力作用线平行
二矩式
M M
A (F) B (F)
0
0
附加条件:A、B连线不与力平行
为什么?
例1 梁AB上受到一个均布载荷和一个力偶作用，已 知载荷集度（即梁的每单位长度上所受的力）q=100 N/m，力偶矩大小M =500N•m。长度AB =3m，DB=1 m。求活动铰支D和固定铰支A的约束力。
解：取AB梁为研究对象，
q
M
受力如图所示。
y
A
D
B
M
FAy
F
2m
1m
A
C
FAx
D
Bx
FD
F =q×AB=100×3=300 N
Fx 0
FAx 0
M A(F) 0
F
AB 2
FD 2 M
0
Fy 0
FAy F FD 0
FD= 475 N FAy= －175 N
这时力系主矩MO与简化中心无关。 （2） MO=0，而FR ≠0，以及FR ≠0，MO≠0，
原力系合成为一个力。
（3） F'R =0，而MO=0，原力系平衡。
同向平行力系的合成
例 三角形分布载荷作用在水平梁上，如图所 示。最大载荷强度为qm ，梁长l。试求该力系的 合力。
解：先求合力。
q
x l
解：1.先取BC为研究对象，受力分析如图。
FBy
FBx
B
2m
F
60°C FCx E
2m FCy
M C F 0,
F sin 60 2 FBy 4 0 FBy = 6.5 k N
2.再取BCD为研究对
FBy FBx B
F
60 C E
4m
象，受力分析如图。 M
2m 2m 2m D
ME (F) 0
M
FB 3l
1 2
q( 3l
)2
ME
0
解得：M E 2M 3ql 2
Fx 0
FEx 0
Fy 0
FB 3ql FEy 0
解得：FEy
M l
2.5ql
练习1 A，B，C，D处均为光滑铰链，物块重为 G，通过绳子绕过滑轮水平地连接于杆AB的E点，各 构件自重不计，试求B处的约束力。
判断下面结构是否静定？静不定次数?
本章小结
1．平面力系平衡的必要与充分条件
FR F MO MO
0 (F
)
0
2．平面力系的平衡方程有三种形式：
Fx 0 Fy 0
M O (F ) 0
Fx M
A(
0 F
)
0
M B (F ) 0
qm
FR
l 0
qdx
1 2
qml
再求合力作用线位置。
M A
l q xdx
0
h MA 2l FR 3
思考与 讨论
同一力系向不同点简化结果不同,但 最终的合成结果相同.
Q1.某平面力系向A、B两点简化的主矩均为零,此 力系简化的最终结果是什么?
Q2.平面汇交力系向汇交点以外任一点简化,其结 果可能是什么?不可能是什么?
M A F 0, 2r FBx 2r FBy rFE 0
FBx FBy
联立求解可得
FBx 1.5G, FBy 2G
练习2 如图已知 F=15 kN， M =40 kN·m。 各杆件自重不计，试求D和B处的支座约束力。
F
B
60°C
E
A
2m
M
4m
4m
2m 2m 2m D
2m
FBy F sin 60 FDy 0
FDy = 6.5 k N
FBy = 6.5 k N
F
60 C E
M
4m 2m 2m D
FDx FDy
研究对象的选取,尤其是第一个研究对象. 问题的突破.
平衡方程的选取,尤其是第一个方程. 矩式(矩心)和投影式(投影轴)
求解的次序,先解含一个未知量的方程. 避免解联立方程.
力作用线在同一平面内，但彼此不汇交一点， 且不都平行的力系称为平面力系。
力系中各力近似作用在同一平面
力系有对称平面
§3-1 平面力系的平衡方程
1. 平面力系的合成结果、合力矩定理
主矢 主矩
F'R = F1 +F2+···+Fn=∑Fi
MO = ∑ MO (Fi )
代数和
（1） F'R =0，而MO≠0，原力系合成为力偶。
3．物体系统的平衡问题：
注意研究对象的选取.
M M
A B
(F) (F)
0 0
M C (F) 0
4．静力学的任务:
分析受力平衡条件约束反力
P ( 2l r) FBl P( 2l r) 0
Fx 0
FB 0
FAx P 0
FAx P
Fy 0 FAy P 0 FAy P
现将解平面力系平衡问题的方法和步骤归纳如下： 1．根据问题条件和要求，选取研究对象。 2．分析研究对象的受力情况，画受力图。画出研究 对象所受的全部主动力和约束力。 3．根据力系类型写平衡方程。平面一般力系只有三 个独立平衡方程。为计算简捷，应选取适当的坐标 系和矩心，以使方程中未知量最少。 4．求解。校核和讨论计算结果。
FAy FAx
解： 1.取整体为研究对象。 2.受力分析如图。
FCx FCy
3.列平衡方程。
M C F 0, 5r G 2r FAx 0
FAx 2.5G
G
4.取杆AB为研究对象，受力分析如图。
FAy FAx
Fx 0, FAx FBx FE 0
FE
例1 已知：a、P、Q。求A、B 的约束反力。
解：(1)考虑整体,受力如图所示，列平衡方程如下：
MA
0
YB
2a
Q
1a 2
P1a 2
0
得：YB
1 (P 4
Q)
MB
0
YA
2a
P
3 2
a
Q
a 2
0
得：YA
3 4
P
1 4
Q
Fx 0 X A X B Q 0
2. 选取DCE研究对象，
受力分析如图所示。
G
D
FDB K
FK
FCx C FCy
FEy
FEx
E
MC F 0,
FDB cos 45 2l FK l FEy 2l 0
FA
5 8
2
G
FEy
G FA sin
45
13G 8
FK
G 2
F Ex
5G 8
（1）平面一般力系的平衡方程的基本方程
Fx 0 Fy 0
M O (F ) 0
即：力系中各力在任选的两正交坐标轴上投影 的代数和为0，以及力系中各力对任一点之矩的 代数和也等于0。
对一个研究对象建立的独立方程数为3个. 方程中至少有一个矩方程. 投影轴及矩心均为任意.
在轴线平面内受横向力或力偶作用的杆件—梁
F
M
简支梁
F F
q FR l
M 外伸梁 M 悬臂梁
分 布 载 荷 的 处 理
连续梁 组合梁
例2 图示平面结构，各杆自重
不计。已知：l,r,P,=45,试确 定A、B处约束反力。
解：BC杆为二力杆，以整体为 研究对象，其受力如图所示。
列平衡方程：
M A(F) 0
注意: 1.销钉处的力如何处理 2. 中间结果为负值时,代入为代数值,受力图
遵守作用力反作用力不变.
思考:如图所示，已知重力G，DC=CE=AC=
CB=2l ； 定 滑 轮 半 径 为 R ， 动 滑 轮 半 径 为 r ， 且
R=2r=l, θ=45°。试求：A，E支座的约束力及BD
杆所受的力。
(2)考虑左半部
MC
0
XA
1 (P 4
Q)
代入得：
XB
1 (3Q 4
P)
例2 已知：四连杆机构ABCD 受力
P、Q 作用。 求: 机构平衡时P、Q 的关系。
解:考虑整体DABC的平衡：
ME 0
P cos30o BE Q AE
AE 2BE
2Q 3 P 2
平衡方程的其它形式
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ二矩式
M M
A B
( (
F F
) )
0 0
Fx 0
附加条件:AB连线不能与x轴垂直
三矩式
M M
A B
(F (F
) )
0 0
M C (F ) 0
附加条件:A、B、C不能共线
为什么?
（2）平面平行力系的平衡方程
P 2 2 0.61 Q3
例3.图示结构，各杆
自重不计。已知：
l,q,M。试确定固定 端E处约束反力。
解：首先以AC杆为 研究对象，其受力 如图所示。
列平衡方程：
MC (F) 0
M
FBl
1 2
ql 2
0
解得：
FB
M l
1 ql 2
再以整体为研究对象，其 受力如图所示。
列平衡方程：
FDx FDy
M D F 0
M F sin 60 4 F cos 60 4
FBy 6 FBx 4 0
FBx = 20.75 k N
FBy
Fx 0,
FBx F cos 60 FDx 0 FBx B
FDx = 13.25 k N
Fy 0,
§3-2 刚体系统的平衡
刚体系统是指由几个刚体通过约束组成的系统。 求解和研究刚体系统的平衡问题时需要注意以下 几点：
(1)整体系统平衡，每个刚体也平衡。因此，可 取整体或部分系统(有关联的若干刚体)或单个刚体为 研究对象。
(2)分清系统内力和外力。 (3)灵活选取研究对象和列写平衡方程。 (4)如系统由n个刚体组成，而每个刚体在平面力 系作用下平衡，则有3n个独立的平衡方程，可解3n 个未知量。
D
K A
C
BⅠ
E Ⅱ
G
FA A
D
1. 选取整体研究对象，受力分析如图所示。
K
C
BⅠ
FEy
E
FEx
Ⅱ
M E F 0,
FA
2 2l G 5 l 0 2
Fx 0, FA cos 45 FEx 0
Fy 0, FA sin 45 FEy G 0
Q3.某平面力系向同平面内任一点简化的结果都相 同,那此力系简化的最终结果可能是什么?
2. 平面力系的平衡方程
由前面力系简化结果可知，平面力系可以简化 为一个力和一个力偶。
平 面
FR F 0
力
系
平
衡 MO MO F 0
Fx 0 Fy 0
MO F 0
F DB
3
2G 8
§3-3 静定、静不定问题
静定与静不定概念
静定问题：未知量个数= 独立的平衡方程个数；
静不定问题：未知量个数 >独立的平衡方程个数。
1.如何判定? 正确的受力分析力系类型独立方程个数
2.静不定次数 静不定次数=未知量个数-独立方程个数
3.静不定问题的求解 在刚体已无自由度的基础上,增加“多余”约束. “多余”约束,力“多余”,刚度不多余. 约束反力与变形有关,需补充变形协调方程(材力)
Fx 0 M O (F )
0
其中: x 轴与力作用线平行
二矩式
M M
A (F) B (F)
0
0
附加条件:A、B连线不与力平行
为什么?
例1 梁AB上受到一个均布载荷和一个力偶作用，已 知载荷集度（即梁的每单位长度上所受的力）q=100 N/m，力偶矩大小M =500N•m。长度AB =3m，DB=1 m。求活动铰支D和固定铰支A的约束力。
解：取AB梁为研究对象，
q
M
受力如图所示。
y
A
D
B
M
FAy
F
2m
1m
A
C
FAx
D
Bx
FD
F =q×AB=100×3=300 N
Fx 0
FAx 0
M A(F) 0
F
AB 2
FD 2 M
0
Fy 0
FAy F FD 0
FD= 475 N FAy= －175 N
这时力系主矩MO与简化中心无关。 （2） MO=0，而FR ≠0，以及FR ≠0，MO≠0，
原力系合成为一个力。
（3） F'R =0，而MO=0，原力系平衡。
同向平行力系的合成
例 三角形分布载荷作用在水平梁上，如图所 示。最大载荷强度为qm ，梁长l。试求该力系的 合力。
解：先求合力。
q
x l
解：1.先取BC为研究对象，受力分析如图。
FBy
FBx
B
2m
F
60°C FCx E
2m FCy
M C F 0,
F sin 60 2 FBy 4 0 FBy = 6.5 k N
2.再取BCD为研究对
FBy FBx B
F
60 C E
4m
象，受力分析如图。 M
2m 2m 2m D
ME (F) 0
M
FB 3l
1 2
q( 3l
)2
ME
0
解得：M E 2M 3ql 2
Fx 0
FEx 0
Fy 0
FB 3ql FEy 0
解得：FEy
M l
2.5ql
练习1 A，B，C，D处均为光滑铰链，物块重为 G，通过绳子绕过滑轮水平地连接于杆AB的E点，各 构件自重不计，试求B处的约束力。
判断下面结构是否静定？静不定次数?
本章小结
1．平面力系平衡的必要与充分条件
FR F MO MO
0 (F
)
0
2．平面力系的平衡方程有三种形式：
Fx 0 Fy 0
M O (F ) 0
Fx M
A(
0 F
)
0
M B (F ) 0
qm
FR
l 0
qdx
1 2
qml
再求合力作用线位置。
M A
l q xdx
0
h MA 2l FR 3
思考与 讨论
同一力系向不同点简化结果不同,但 最终的合成结果相同.
Q1.某平面力系向A、B两点简化的主矩均为零,此 力系简化的最终结果是什么?
Q2.平面汇交力系向汇交点以外任一点简化,其结 果可能是什么?不可能是什么?
M A F 0, 2r FBx 2r FBy rFE 0
FBx FBy
联立求解可得
FBx 1.5G, FBy 2G
练习2 如图已知 F=15 kN， M =40 kN·m。 各杆件自重不计，试求D和B处的支座约束力。
F
B
60°C
E
A
2m
M
4m
4m
2m 2m 2m D
2m
FBy F sin 60 FDy 0
FDy = 6.5 k N
FBy = 6.5 k N
F
60 C E
M
4m 2m 2m D
FDx FDy
研究对象的选取,尤其是第一个研究对象. 问题的突破.
平衡方程的选取,尤其是第一个方程. 矩式(矩心)和投影式(投影轴)
求解的次序,先解含一个未知量的方程. 避免解联立方程.