[整理]CH8(5)偏导数的几何意义.
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§8-5 多元函数微分学的几何应用
A 级同步训练题：
一、客观题：
1、 曲面z=F(x,y,z)的一个法向量为（ ）
（A ）{1,,-'''z y x F F F } ; （B ）{1,1,1-'-'-'z y z F F F }; （C ）{,,,z y x F F F '''} ; （D ）{1,,y z F F '-'-}.
2、 旋转抛物面z=x 2+2y 2-4在点（1，-1，-1）处的法线方程为（ ）
（A ）
114121-+=+=-z y x ; （B ）11
4121-+=
-+=-z y x ; （C ）114121-+=+=--z y x ; （D ）1
14121--=
-=-+z y x . 3、曲线2
,ln ),1sin(t z t y t x ==-=在对应于1=t 点处的切线方程是（ ）
(A)
11
11-=
=z y x ; (B) 21
111-=
-=z y x ; (C) 2
111-=
=z y x ; (D) 2
11z y x ==. 4、曲线x=t 3,y=t 2
,z=t 在点（1，1，1）的切向量s =
。 5、x 2－y 2+z 2=3在点（1，1，1）的切平面方程为
二、求曲面πππ
=-+z
x
y
y x 在点处的切平面和法线方程 。
三、求曲线3
2
,,t z t y t x ===上的点，使曲线在该点处的切线平行于平面16=-z y 。 四、求曲线19,1,123
2
--=+=--=t t z t y t t x 上的点，使曲线在该点处的切线垂直于
平面0432=+--z y x 。
五、求曲面z=x 2+y 2在（1，2，2）处的切平面与法线方程。
B 级同步训练题：
一、客观题：
1、 设曲面xy z =上点的切平面平行于平面，
则点到已知平面的距离等于（ ）
（A ）
;（B ） ;（C ）
21
24 ; （D ）.
2、曲面)cos(y x x e
z yz
++=在点⎪⎭
⎫
⎝⎛1,0,2π处的法线方程为（ ）
（A ）
1
1
2
122-=
+
=
-
z y x π
π
π
; （B ）1
1
212
2--=
+
=
-
-z y x π
ππ
; （C ）
1
1
2
122-=
-
=
-
-
z y x π
ππ
; （D ）1
1
2
12
2--=
-
=
-
-z y
x π
ππ
. 3、设曲面2
2
y x z -=在点)3,2,1(-处的切平面为，则点到的距离为（ ） （A ）21- ;（B ）21 ;（C ）
21
9 ;（D ）21
9-
.
4、若曲线t z t y t x tan ,sin ln ,cos ln ===在对应于点处的切线与平面交角的正弦值是（ ） (A)
6
1; (B) 6
1-
; (C) 0; (D) 1.
5、设都是可微函数，则曲线在点处的法平面方程为________
6、若曲线⎩⎨⎧=++=--3
20
2
2222z y x z y x 在点处的切向量与轴正向成钝角，则它与轴正向夹角的余弦_______
7、设函数具有一阶连续偏导数，且
1)1,1,1(,1)1,1,1(,3)1,1,1(=---=--=--w v u F F F ，曲面过点)1,1,1(--P ，则曲面过点的法线与平面的交角为_______ 。
8、设曲线2,12,122
2
+=-=+=t z t y t x 在对应点处的法平面为，则点)2,2,1(-到的距离______
二、求函数z y x u 32+-=在点（1,1,1）处沿球面外法线方向的方向导数。
三、求曲线t z t y t x ===,2,2
3
上的点，使曲线在该点处的切线平行于平面1=++z y x 。 四、求曲线上的点，使曲线在该点处的法平面平行于平面，并写出曲线在该点处的切线方程。 五、在柱面上求一曲线，使该曲线经过点，且在任一点处的切向量与轴的夹角等于与轴的夹
角。
六、设M （1，0，0）为曲面),(y x f e z
=上的一点，且2)0,1(='
x f ，2)0,1(-='y f ，求曲面在点M 处的切平面。
七、证明曲线)cos(),sin(,mt n z mt n y mt x ===上任意一点的切线与平面的夹角都相同
（其中0,0≠≠n m ）。
辅导与参考答案： A 级同步训练题：
一、客观题：
1、（A ）
2、（B ）
3、(C)
4、{}1,2,3
5、01=-+-z y x 二、解：对应的切平面法向量{}πππππππππln ),ln 1(),ln 1(-++=n
切平面方程0)ln 2(ln ))(ln 1(=+-⋅-++ππππz y x ， 法线方程
π
π
ππππln ln 1ln 1--=
+-=+-z y x 。 三、解：设所求的点对应于，对应切线方向向量
{}2
001,2,3S t t = ，2001230S n t t ⋅=-=
解得：和40=t ，和)64,16,4(。
四、解：设所求的点对应于，对应的切线方向向量
{}20022,1,39S t t =--，
解得：，所求点为（-1，3，－11）。
五、解：1,2,2,),,(2
2
-===-+=z y x F y F x F z y x z y x F
在点（1，2，2）处{}1,4,2-=n
切平面为0842=--+z y x ；法线为
1
2
4221--=
-=-z y x 。 B 级同步训练题：
一、客观题：
1、（C ）
2、（D ）
3、（C ）
4、(A)
5、
6、41
1-
7、 8、
6
1
二、解：{}{}2,2,221,1,1n x y z ==，
()
()
()
32
1
1,1,11,1,11,1,1=-==z u
y u
x u
∂∂∂∂∂∂，
3
2313312311=+⋅-⋅=n u ∂∂。 三、解：设所求的点对应于，对应的切线方向向量
{}2003,4,1S t t =，2003410S n t t ⋅=++=；