2019-2020学年北京四中八年级(上)期中数学试卷 -(含答案解析)

2019-2020学年北京四中八年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）
1.在下列学校校徽图案中，是轴对称图形的是()
A. B. C. D.
2.某种流感病毒的直径是0.000000085米，这个数据用科学记数法表示为()
A. 0.85×10−7
B. 85×10−7
C. 8.5×10−8
D. 8.5×108
3.若点(a,−3)与点(2,b)关于y轴对称，则a，b的值为()
A. a=2，b=3
B. a=2，b=−3
C. a=−2，b=3
D. a=−2，b=−3
4.约分：6a2b
3abc
=()
A. 2a
c B. 2abc C. a
2c
D. 2
c
5.下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是()
A. (a+3)(a−3)=a2−9
B. a2−b2=(a+b)(a−b)
C. a2−4a−5=(a−2)2−9
D. x2−4+3x=(x−2)(x+2)+3x
6.如图是两个全等三角形，则∠1=()
A. 62°
B. 72°
C. 76°
D. 66°
7.要使分式1
x−1
有意义，则x的取值范围是()
A. x≠1
B. x=1
C. x=−1
D. x≠−1
8.计算a3·(1
a
)2的结果是()
A. a
B. a5
C. a6
D. a8
9.如图，已知△ABC，AB<BC，用尺规作图的方法在BC上取一点P，使得PA+PC=BC，则下
列选项正确的是()
A. B.
C. D.
10.如图，将一张长方形纸片的角A、E分别沿着BC、BD折叠，点A落
在处，点E落在边上的处，则∠CBD的度数是()
A. 85∘
B. 90∘
C. 95∘
D. 100∘
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
11.若分式x−2
x−1
的值为零，则x=______．
12.分解因式：8x2y−18y=______．
13.化简：m−1
m ÷m−1
m2
=______．
14.已知△ABC中，DE垂直平分AB，如果△ABC的周长为22，AB=10，则△ACD的周长为______．
15.如图，OP平分∠AOB，PB⊥OB，OA=8cm，且△POA的面积为12cm2，则PB的长为．
16.若x+1
x =3，则分式x2
x4+x2+1
的值是______．
17.△ABC中，AB=9，AC=7，则中线AD之长的范围________．
18.阅读下面材料：数学课上，老师提出如下问题：
尺规作图：作一角等于已知角．
已知：∠AOB(图1)，
求作：∠FBE，使得∠FBE=∠AOB
小明解答如图2所示：
老师说：“小明作法正确．”
请回答：
(1)小明的作图依据是______；
(2)他所画的痕迹弧MN是以点______为圆心，______为半径的弧．
三、计算题（本大题共2小题，共16.0分）
19.分解下列因式：(1)2x2−8xy+8y2；
(2)3x2−27；
(3)4+12(x−y)+9(x−y)2．
20.解方程：5x−4
x−2=4x+10
3x−6
−1．
四、解答题（本大题共8小题，共50.0分）
21.已知：点D在BC边上，AB=AD，BC=DE，AC=AE，求证：
∠1=∠2．
22. 先化简，再求值：(x −1−3x+1)÷x 2−4x+4
x+1，其中x =−4．
23. 作图题：如图，在10∗10的方格纸中，有一个格点四边形ABCD(即四边形的顶点都在格点上)．
(1)在给出的方格纸中，画出四边形ABCD 关于直线I 对称的图形A 1B 1C 1D 1的面积;
(2)若小正方形的边长是1，求四边形A 1B 1C 1D 1的面积．
24. 为加快交通建设，
促进经济发展，国家发改委于2015年批准武汉至十堰高铁孝感至十堰段建设，该工程于2015年开工，预计2019年完成并开通运营．原来武汉至十堰动车铁路全长约490km ，
建成后的高铁路段全长约460km，预测届时从武汉至十堰高铁比动车平均每小时快9
倍，高铁
14比动车少用1.5小时，问该段高铁平均每小时多少km？
25.如图，已知△ABC
(1)利用尺规作图：①在边AC下方作∠CAE=∠ACB；
②在射线AE上截取AD=BC；③连结CD，记CD交AB于点G.(
尺规作图要求保留作图痕迹．不写作法)
(2)请写出按要求作图后所有全等的三角形：______．
26.(1)如图1，利用网格线，作出三角形关于直线l的对称图形．
(2)如图2，利用网格线：
①在BC上找一点P，使点P到AB和AC的距离相等；
②在射线AP上找一点Q，使QB=QC.此时QB与QC的位置关系是______．
27.化简√6
．
√3+√2−√5
28.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC.D为BC边上任一点，
连接AD，过D作DE⊥AD，且DE=AD.连接BE，探究BE与AB 的位置关系，并说明理由．
-------- 答案与解析 --------
1.答案：D
解析：解：A、不是轴对称图形，故此选项错误；
B、不是轴对称图形，故此选项错误；
C、不是轴对称图形，故此选项错误；
D、是轴对称图形，故此选项正确；
故选：D．
根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行解答即可．
此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的概念．
2.答案：C
解析：解：0.000000085米，这个数据用科学记数法表示为8.5×10−8．
故选：C．
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
3.答案：D
解析：【分析】
此题主要考查了关于y轴对称点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律，根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可得a、b的值．
【解答】
解：∵点(a,−3)与点(2,b)关于y轴对称，
∴a=−2，b=−3，
故选D．
4.答案：A
解析：【分析】
本题考查了约分，对分子分母分解因式，并找出公因式是解题的关键．
①先找出分子分母的公因式，然后约去即可；
②把分子分母分解因式，然后约去公因式即可．
【解答】
解：6a2b
3abc =2a
c
，
故选A．
5.答案：B
解析：【分析】
本题考查了因式分解的意义.把一个多项式分解成几个整式的积的形式叫因式分解，先看等式左边是否是一个多项式，等式右边是否是几个整式的积的形式即可．
【解答】
A.本选项是多项式乘多项式，不是因式分解；
B.本选项是因式分解；
C.本选项不是因式分解；
D.本选项不是因式分解．
故选B．
6.答案：C
解析：【分析】
根据全等三角形的对应角相等解答．本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等、全等三角形的对应角相等是解题的关键．
【解答】
解：第一个图中，∠1=180°−42°−62°=76°，
∵两个三角形全等，
∴∠1=76°，
故选C．
7.答案：A
解析：【分析】
本题主要考查的是分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是解题的关键．分式有意义的条件是分母不等于零．
【解答】
有意义，
解：∵分式1
x−1
∴x−1≠0．
解得：x≠1．
故选A．
8.答案：A
解析：【分析】
本题考查了分式的乘除法，分式的乘除混合运算一般是统一为乘法运算，如果有乘方，还应根据分式乘方法则先乘方，即把分子、分母分别乘方，然后再进行乘除运算．先算出分式的乘方，再约分．【解答】
=a，
解：原式=a3⋅1
a2
故选A．
9.答案：D
解析：解：∵PB+PC=BC，
而PA+PC=BC，
∴PA=PB，
∴点P在AB的垂直平分线上，
即点P为AB的垂直平分线与BC的交点．
故选：D．
由PB+PC=BC和PA+PC=BC易得PA=PB，根据线段垂直平分线定理的逆定理可得点P在AB 的垂直平分线上，于是可判断D选项正确．
本题考查了复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线定理的判定．
10.答案：B
解析：【分析】
此题考查了折叠的性质与平角的定义，解题的关键是掌握翻折的性质.由折叠的性质，即可得：
∠ABC=∠A′BC，∠EBD=∠E′BD，然后由平角的定义，即可求得∠A′BC+∠E′BD=90°，则可求得∠CBD的度数．
【解答】
解：根据折叠的性质可得：∠ABC=∠A′BC，∠EBD=∠E′BD，
∵∠ABC+∠A′BC+∠E′BD+∠EBD=180°，
∴2∠A′BC+2∠E′BD=180°，
∴∠A′BC+∠E′BD=90°，
∴∠CBD=90°．
故选B．
11.答案：2
解析：解：由分式的值为零的条件得x−2=0且x−1≠0，
由x−2=0，解得x=2，
故答案为2．
根据分式的值为零的条件可以求出x的值．
本题考查了分式的值为零的条件，具备两个条件：(1)分子为0；(2)分母不为0.这两个条件缺一不可．12.答案：2y(2x+3)(2x−3)
解析：解：原式=2y(4x2−9)=2y(2x+3)(2x−3)，
故答案为：2y(2x+3)(2x−3)
原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
13.答案：m
解析：解：原式=m−1
m ⋅m2
m−1
=m．
故答案为：m．
原式利用除法法则变形，约分即可得到结果．
此题考查了分式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
14.答案：12
解析：解：∵DE垂直平分AB，
∴DA=DB，
∵△ABC的周长为22，AB=10，
∴AB+AC+BC=10+AC+BC=22，
解得，AC+BC=12，
∴△ACD的周长=AC+CD+AD=AC+CD+DB=AC+BC=12，
故答案为：12．
根据线段垂直平分线的性质得到DA=DB，根据三角形的周长公式计算即可．
本题考查的是线段垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
15.答案：3cm
解析：【分析】
本题考查的是角平分线的性质，三角形的面积，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．
过点P作PD⊥OA于点D，由三角形的面积公式可求出PD，再根据角平分线的性质即可得出结论．【解答】
解：过点P作PD⊥OA于点D，
∵OP平分∠AOB，PB⊥OB，
∴PD=PB，
∵OA=8cm，
∴S△POA=1
2OA⋅PD=1
2
×8⋅PD=12，
∴PD=PB=3(cm)．故答案为3cm．
16.答案：1
8
解析：解：把x+1
x =3，两边平方得：(x+1
x
)2=x2+1
x2
+2=9，即x2+1
x2
=7，
则原式=
1
x2+1
x2
+1
=1
8．
故答案为：1
8
．
已知等式两边平方，利用完全平方公式化简求出x2+1
x2
的值，原式变形后代入计算即可求出值．
此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
17.答案：1<AD<8
解析：【分析】
本题考查了三角形的三边关系及三角形全等的判定与性质，先作辅助线，延长AD至点E，使DE=AD，连接EC，先证明△ABD≌△ECD，在△AEC中，由三角形的三边关系定理得出答案．
【解答】
解：延长AD至点E，使DE=AD，连接EC，
∵{BD=CD
∠ADB=∠EDC AD=DE
，
∴△ABD≌△ECD(SAS)，
∴CE=AB，
∵AB=9，AC=7，
∴CE=9，
设AD=x，则AE=2x，
∴2<2x<16，
∴1<x<8，
∴1<AD<8．
故答案为1<AD<8．
18.答案：(1)三边对应相等的两个三角形全等，全等三角形的对应角相等；
(2)E；CD．
解析：解：(1)连接CD、EF，
由小明的作图知，
OC=OD=BE=BF，CD=EF，
在△OCD和△BEF中，
∵{OC=BE OD=BF CD=EF
，
∴△OCD≌△BEF(SSS)，
∴∠FBE=∠AOB，
∴小明的作图依据是三边对应相等的两个三角形全等，全等三角形的对应角相等，
故答案为：三边对应相等的两个三角形全等，全等三角形的对应角相等；
(2)他所画的痕迹弧MN是以点E为圆心，CD的长度为半径的弧，
故答案为：E、CD．
【分析】
(1)根据作图痕迹知OC=OD=BE=BF，CD=EF，证△OCD≌△BEF得∠FBE=∠AOB，从而得出答案；
(2)根据尺规作图步骤可知．
本题考查了基本作图和全等三角形的判定与性质；由全等得到角相等是用的全等三角形的性质，熟练掌握三角形全等的性质是正确解答本题的关键．
19.答案：解：(1)2x2−8xy+8y2
原式=2(x2−4xy+4y2)
=2(x−2y)2；
(2)原式=3(x2−9)
=3(x+3)(x−3)；
(3)原式=[3(x−y)+2]2=(3x−3y+2)2．
解析：此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练掌握公式法分解因式是解题关键．
(1)首先提取公因式，进而利用完全平方公式分解因式即可；
(2)原式提取3，再利用平方差公式分解即可；
(3)利用完全平方公式分解可得．
20.答案：解：去分母得：15x−12=4x+10−3x+6，
移项合并得：14x=28，
解得：x=2，
经检验x=2是增根，分式方程无解．
解析：此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．21.答案：证明：在△ABC与△ADE中，
{AB=AD BC=DE AC=AE
，
∴△ABC≌△ADE(SSS)，
∴∠ABC=∠ADE，
∴∠ADC=∠ADE+∠CDE=∠ABC+∠BAD，
∴∠CDE =∠BAD ，即∠1=∠2．
解析：此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据SSS 证明△ABC≌△ADE ．
根据SSS ，即可证得△ABC≌△ADE ，利用三角形的外角性质和等式的性质证明即可．
22.答案：解：(x −1−3x+1)÷x 2−4x+4x+1 =(x −1)(x +1)−3x +1⋅x +1(x −2)2
=x 2−1−3x +1⋅x +1(x −2)2
=(x +2)(x −2)x +1⋅x +1(x −2)2
=x+2
x−2，
当x =−4时，原式=−4+2−4−2=−2−6=13．
解析：根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将x 的值代入化简后的式子即可解答本题．
本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
23.答案：解：①四边形A 1B 1C 1D 1如图所示；
②四边形A 1B 1C 1D 1的面积=3×3−12×1×2−1
2×1×3，
=9−1−1.5，
=9−2.5，
=6.5．
解析：本题考查了利用轴对称变换作图，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键． ①根据网格结构找出点A 、B 、C 、D 关于直线l 的对称点A 1、B 1、C 1、D 1的位置，然后顺次连接即可；
②利用四边形所在的正方形的面积减去四周两个小直角三角形的面积，列式计算即可得解． 24.答案：解：设该段高铁的平均速度为xkm/ℎ，
依题意列方程，4901423x =460x +3
2，
解得，x=230，
经检验，x=230是原方程的根，
答：该段高铁的平均速度230km/ℎ．
解析：设该段高铁的平均速度为xkm/ℎ，找出合适的等量关系，列方程求解即可．
本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂原题，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解，注意检验．
25.答案：△ACD≌△CAB、△ADG≌△CBG
解析：【分析】
(1)根据题目要求作图即可得；
(2)先根据AC=CA、∠DAC=∠BCA、AD=CB证△ACD≌△CAB，得∠D=∠B，再结合∠AGD=∠CGB、AD=CB可证△ADG≌△CBG．
本题主要考查作图−复杂作图，熟练掌握做一个角等于已知角和全等三角形的判定与性质是解题的关键．
【解答】
解：(1)如图所示；
(2)在△ACD和△CAB中，
∵{AC=CA
∠DAC=∠BCA AD=CB
，
∴△ACD≌△CAB(SAS)，∴∠D=∠B，
在△ADG和△CBG中，
∵{∠D=∠B
∠AGD=∠CGB AD=CB
，
∴△ADG≌△CBG(AAS)，
故答案为：△ACD≌△CAB、△ADG≌△CBG．26.答案：(1)如图所示：；
(2)①如图所示，点P即为所求；②垂直
解析：【分析】
此题主要考查了轴对称变换以及角平分线的性质以及线段垂直平分线的性质，正确借助网格是解题关键．
(1)直接利用轴对称图形的性质得出对应点位置进而得出答案；
(2)①借助网格得出∠CAB的角平分线；
②借助网格得出Q点位置，进而得出QB与QC的位置关系．
【解答】
解：(1)见答案
(2)①见答案
②如图所示，点Q即为所求；QB与QC的位置关系是垂直．
故答案为：垂直．
27.答案：解：原式=√2)2√6+(√3)2√5)2
√3+√2−√5
=(√2+√3)2−(√5)2√3+√2−√5
=√2+√3+√5)(√2+√3−√5)
√3+√2−√5
=√2+√3+√5．
解析：本题考查的是二次根式的混合运算和分母有理化.掌握分母有理化是关键.根据原式的特点将分子加上(√2)2+(√3)2−(√5)2，式子的值不变，然后将分子按照完全平方公式和平方差公式进行变形，再与分母约分即可．
28.答案：解：AB⊥BE.理由如下：
如图，过点E作EM⊥BD，交DB延长线于点M．
∵∠ACB=90°，DE⊥AD，
∴∠ADC+∠EDM=90°，∠ADC+∠DAC=90°，
∴∠DAC=∠EDM．
又DE=AD，∠C=∠M=90°，
∴△EMD≌△DCA(AAS)，
∴EM=CD，MD=CA=BC，
∴MD−BD=BC−BD，
∴BM=CD=EM，
∴∠MEB=∠MBE=45°．
∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠ABC=45°，
∴∠ABE=180°−∠MBE−∠ABC=90°，
∴AB⊥BE．
解析：过点E作EM⊥BD，交DB延长线于点M，由“AAS”可证△EMD≌△DCA，可得EM=CD，MD=CA=BC，可得EM=BM，由等腰直角三角形的性质可得∠ABC=45°=∠MBE，可得∠ABE= 90°，即AB⊥BE．
本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．。