11 静电场中的导体和电解质习题参考答案 (1)
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第十一章 静电场中的导体和电介质习题参考答案
三、计算题
1．答案：（1）330V ，270V ； （2）270V ，270V ； （3）60V ， 0V ； （4） 0V ，180V 。
解：本题可用电势叠加法求解，即根据均匀带电球面内任一点电势等于球面上电势，均匀带电球面外任一点电势等于将电荷集中于球心的点电荷在该点产生的电势。首先求出导体球表面和同心导体球壳内外表面的电荷分布。然后根据电荷分布和上述结论由电势叠加原理求得两球的电势。若两球用导线连接，则电荷将全部分布于外球壳的外表面，再求得其电势。
（1） 据题意，静电平衡时导体球带电101.010C q -=⨯，则 导体球壳内表面带电为101.010C q --=-⨯； 导体球壳外表面带电为101210C q Q -+=⨯， 所以，导体球电势U 1和导体球壳电势U 2分别为
101231330V 4q q q Q U R R R πε⎛⎫
+=-+= ⎪⎝⎭
203331270V 4q q q Q U R R R πε⎛⎫
+=
-+= ⎪⎝⎭
（2）两球用导线相连后，导体球表面和同心导体球壳内表面的电荷中和，电荷全部分布于球壳外表面，两球成等势体，其电势为
1203
1
270V 4q Q
U U U R πε+'===
=
（3）若外球接地，则球壳外表面的电荷消失，且02=U
1012160V 4q q U R R πε⎛⎫
=
-= ⎪⎝⎭
（4）若内球接地，设其表面电荷为q '，而球壳内表面将出现q '-，球壳外表面的电荷为Q q '+．这些电荷在球心处产生的电势应等于零，即
10123104q q q Q U R R R πε⎛⎫
'''+=
-+= ⎪⎝⎭
解得10310C q -'=-⨯，则 203331180V 4q q q Q U R R R πε⎛⎫
'''+=-+= ⎪⎝⎭
2．解：(1) d
S
C r 2101εε=
d
S
C r 2202
εε=
, 则)(221021r r d
S
C C C εεε+=
+=
（2）2
/101d S
C r εε=
2
/202
d S
C r εε=
, 则 )
(2111212
102
1r r r r d S C C C εεεεε+=
+=
3．答案：（1）2倍； （2）
21r
r
εε+倍。
解：（1）平行插入/2d 厚的金属板，相当于原来电容器极板间距由d 减小为 /2d ，则
0022/2S S
C C d d
εε'=== （2）插入同样厚度的介质板，则相当于一个极板间距为/2d 的空气平行板电容器与另一个极板间距为/2d 、充满电容率为0r εε的电介质的电容器的串联，则
000111111
222r r r r C C C C C C εεεε+=+=+=''''，解得 021r r
C C εε''=+ 4. 解：分析：电荷q 及电介质呈球对称分布，则E 、
D 也为球对称分布。
取半径为r 的高斯同心球面
r r R ≥ 2 4 D d S D r π⋅=⋅⎰ i q q ==∑ 则2 ˆ4q D r r π= 5．答案：（1）1 120 () ()4r R D Q r R r π<⎧⎪ =⎨>⎪⎩； （2）()112012202 2200 ()4 ()4 () 4r r r R Q R r R r E Q R r R r Q r R r πεεπεεπε<⎧⎪⎪<<⎪⎪=⎨<<⎪⎪⎪>⎪⎩ ； （3）12011122211114r r r r Q U R R R R πεεεεε⎛⎫ = -+- ⎪⎝⎭ 。 解：由高斯定理2int 4D r q π=及0r D E εε=得： 当1r R <时， 110, 0D E == 当1R r R <<时，22 22 01, 44r Q Q D E r r ππεε= = 当2R r R <<时，33 22 02, 44r Q Q D E r r ππεε= = 当2r R >时， 442 2 0, 44Q Q D E r r ππε== 两球壳之间的电势差为 2 2 1 1 1223011122211114R R R R R R r r r r Q U Edr E dr E dr R R R R πεεεεε⎛⎫ ==+= -+- ⎪⎝⎭ ⎰⎰⎰ 6．答案：2 0320Q R πε。 解：由高斯定理易得球体内外场强为 in 3 04r Q E R πε= ， out 2 04Q E r πε= 把空间看成由许多与带电球体同心的球壳组成，任取一个内径为r ，外径为r r d +的球壳，其体积为 2d 4d V r r π=，球壳中的电场能量为 201 d d 2 W E V ε= 则整个空间的电场能量为 in out 222 00in 0out 111d d d 222V V W E V E V E V εεε==+⎰⎰⎰ 2 2 22200 330 00034πd 4πd 242420R R Qr Q Q r r r r R r R εεπεπεπε∞⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰ ⎰