2021-2022年高中数学课时天天提分练18平面向量数量积习题课北师大版必修
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2021年高中数学课时天天提分练18平面向量数量积习题课北师大版必修
一、选择题：(每小题5分，共5×6＝30分)
1．已知平面向量a ＝(1，－3)，b ＝(4，－2)，λa ＋b 与a 垂直，则λ＝( ) A ．－1 B ．1
C ．－2
D ．2 答案：A
解析：a ＝(1，－3)，b ＝(4，－2)，∴λa ＋b ＝λ(1，－3)＋(4，－2)＝(λ＋4，－3λ－2)，∵λa ＋b 与a 垂直，∴λ＋4＋(－3)(－3λ－2)＝0，∴λ＝－1，故选A.
2．设向量a ，b 均为单位向量，且|a ＋b |＝1，则a 与b 的夹角为( ) A.π3 B.π2 C.2π3 D.3π4 答案：C
解析：∵|a ＋b |＝1，∴|a |2＋2a ·b ＋|b |2
＝1，∴cos 〈a ，b 〉＝－12，∴〈a ·b 〉＝2π3
.
3．已知向量a ＝(3,4)，b ＝(6，t )，若a 与b 的夹角为锐角，则实数t 的取值范围是( ) A ．(8，＋∞) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－92，8 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－92，＋∞ D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－92，8∪(8，＋∞) 答案：D
解析：由题意，得a ·b >0，即18＋4t >0，解得t >－9
2
.又当t ＝8时，两向量同向，应
去掉，故选D.
4．如图，在四边形ABCD 中，∠B ＝120°，∠C ＝150°，且AB ＝3，BC ＝1，CD ＝2，则AD 的长所在的区间为( )
A ．(2,3)
B ．(3,4)
C ．(4,5)
D ．(5,6) 答案：C
解析：由向量的性质，知AD →＝AB →＋BC →＋CD →，其中AB →与BC →的夹角为60°，BC →与CD →
的夹角
为30°，AB →与CD →的夹角为90°，于是|AD →|2＝|AB →＋BC →＋CD →|2＝|AB →|2＋|BC →|2＋|CD →|2＋2AB →·BC
→
＋2BC →·CD →＋2AB →·CD →
＝9＋1＋4＋2×3×1×12＋2×1×2×32
＋0＝17＋23∈(16,25)，所
以AD ∈(4,5)．
5．在△ABC 中，AB ＝BC ＝4，∠ABC ＝30°，AD 是边BC 上的高，则AD →·AC →
的值等于( ) A ．0 B ．4 C ．8 D ．－4 答案：B
解析：因为∠ABC ＝30°，AD 是边BC 上的高，所以∠BAD ＝60°，AD ＝2，则AD →·AC →
＝AD →·(BC →－BA →)＝AD →·BC →－AD →·BA →
＝－2×4×cos120°＝4，所以选B.
6．已知a 、b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足(a －c )·(b －c )＝0，则|c |的最大值是( )
A ．1
B ．2
C. 2
D.2
2
答案：C
解析：由(a －c )·(b －c )＝0得a·b －(a ＋b )·c ＋c 2＝0，即c 2
＝(a ＋b )·c ，故|c |·|c |≤|a ＋b |·|c |，即|c |≤|a ＋b |＝2，故选C.
二、填空题：(每小题5分，共5×3＝15分)
7．已知向量a ，b 满足b ＝(1，3)，b·(a －b )＝－3，则向量a 在b 方向上的投影为__________．
答案：12
解析：||b ＝12
＋
3
2
＝2且由b ·(a －b )＝－3，解得a ·b ＝1，所以a 在b 方向上的投影为：||a cos＝a ·b ||b ＝1
2
.
8．△ABO 三顶点坐标为A (1,0)，B (0,2)，O (0,0)，P (x ，y )是坐标平面内一点，满足AP →·OA →
≤0，BP →·OB →≥0，则OB →·AB →
的最小值为
__________. 答案：3
解析：∵AP →·OA →
＝(x －1，y )·(1,0)＝x －1≤0，∴x ≤1.∴－x ≥－1， ∵BP →·OB →
＝(x ，y －2)·(0,2)＝2(y －2)≥0，∴y ≥2. ∴OP →·AB →
＝(x ，y )·(－1,2)＝2y －x ≥3.
9．已知向量a ＝(1,1)，b ＝(－1,1)，设向量c 满足(2a －c )·(3b －c )＝0，则|c|的最大值为
__________. 答案：26
解析：设c ＝(x ，y )，则由题意得(2－x )·(－3－x )＋(2－y )·(3－y )＝0，即(x ＋12
)
2
＋(y －52)2＝13
2
，所以|c |的最大值为直径26.
三、解答题：(共35分，11＋12＋12)
10．已知在四边形ABCD 中，AB →＝a ，BC →＝b ，CD →＝c ，DA →
＝d ，且a ·b ＝b ·c ＝c ·d ＝d ·a ，判断四边形ABCD 的形状．
解析：在四边形ABCD 中，AB →，BC →，CD →，DA →
四个向量顺次首尾相接，则其和向量为零向量，故有a ＋b ＋c ＋d ＝0，
∴a ＋b ＝－(c ＋d )，∴(a ＋b )2＝(c ＋d )2
，
即|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝|c |2＋2c ·d ＝|d |2
.
又a ·b ＝c ·d ，∴|a |2＋|b |2＝|c |2＋|d |2
.①